高三中学生标准学术能力诊断性测试数学理答案

第1页 共 5 页 中学生标准学术能力测试诊断性测试中学生标准学术能力测试诊断性测试 2019 年年 7 月测试月测试 理理科数学科数学答案答案 一 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B B A D A D B C D A B 二 填空题：本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分 13. 5 3 2 14. 1 3 ,n 2 3n ,n 2 n 为奇数 为偶数 15. 3 1+ 16. 3 4 a 三、解答题：共三、解答题：共 66 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.（12 分） 解： （1）Baba 2222 cos434= 222 3)cos1 (4bBa=,bBa3sin2=, 由正弦定理， 得：BBAsin3sinsin2=，0sinB， 3 分 所以 2 3 sin=A， 0A ，所以 3 =A或 3 2 =A 6 分 （2） 3 =A， 3 2 =+CB， 得： 3 2 0 B ) 6 5 sin(sin3) 6 sin(sin3BBCBy+=+= =)sin(7cos 2 1 sin 2 33 +=+BBB，其中 9 3 tan=， 9 分 第2页 共 5 页 当1)sin(=+B时，即 = 2 B时， 3sinsin() 6 yBC =+取最大值7. 12 分 18.18. （12 分） （1）连接AC，由于 11 AACC且 11 CCAA =，所以四边形 11 ACC A为 平行四边形，ACCA/ 11 . 又底面ABCD为等腰梯形，ADCDBCAB 2 1 =， BCAD/，延长DCAB,交于G， 60= ADC， 30=BACACBDAC 90= DCA，ACCD.2 分 侧棱 1 C C 平面ABCD,AC 平面ABCD， 所以 1 C CAC. 4 分 又 1 CDCCC=，所以AC 平面 11 CDDC， 故 11 AC 平面 11 CDDC. 6 分 （2）解法一 由题意 1 2 2BC =,延长DC、 11 DC、AB、 11 A B交于点G,取CG中点M，连BMAC、. 由 11 BMACAC,BM 平面 111 ABC， 11 AC 平面 111 ABC，所以BM平面 111 ABC. 因此点B到平面 111 ABC的距离和点M到平面 111 ABC的距离相等. 8分 由（1）知 11 AC 平面 11 CDDC，又 11 AC 平面 111 ABC，所以平面 111 A BC 面 11 CDDC. 过点M作 1 MHGD，则MH 平面 111 ABC， 即点M到平面 111 ABC的距离为 2 2 MH =. 10分 所以直线 1 BC与平面 111 ABC所成角为， 则有 1 2 1 2 sin 42 2 MH BC =.12 分 第3页 共 5 页 解法二：建系法 ABCDDD平面 1 ，DADD 1 ， 以D为坐标原点O， DA为x轴，过D作平面 11ADD A的垂线为y轴， 1 DD为 z轴 如 图 所 示 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则 ()()()() 111 3, 3,0 ,4,0,2 ,3, 3,1 ,1, 3,2BABC . () 1 2,0,2BC = , ()() 1111 3, 3,0 ,2,0,1ACBC= = ，设平面 111 ABC的法向量为(), ,nx y z=. 由 11 11 330 20 AC nxy BC nxz = += = += ，解得3 ,2yx zx=. 令1x=，则3,2yz=， () 1, 3,2n =. 9 分 设直线 1 BC与平面 111 ABC所成角为，则 1 21 sincos, 42 2 2 2 BC n= .12 分 19. （12 分） （1）这四位同学中有且仅有两位同学报同一个项目的概率为： 9 4 3 ACC P 4 2 2 1 3 2 4 = = 4 分 （2）由题设知这四位同学报名参加校运会项目的个数的可能取值为 1,2,3 () 27 1 3 C 1P 4 1 3 = 6 分 () 27 14 3 AC 2P 4 2 2 2 2 2 4 3 4 2 3 = + = A C C 8 分 () 9 4 3 C 3P 4 3 3 2 4 = = A 10 分 第4页 共 5 页 的分布列为 ( ) 27 65 9 4 3 27 14 2 27 1 1E=+= 12 分 20. （15 分） （1）由 2 2 1 xy =求导得xy = ，设 ()() 2211 ,yxByxA ，其中 2 22 2 11 2 1 , 2 1 xyxy= 则() 1111 :,xxxyyPAxkPA= 设()1, 00 kxxP ，代入 PA 直线方程得 0110 1xxykx=+ ， 2 分 PB 直线方程同理，代入可得 0220 1xxykx=+ 所以直线 00 1:xxykxAB=+ 4 分 即()01 0 =+yxkx，所以过定点()1 , k . 6 分 （2） 直线l方程与抛物线方程联立， 得到022 2 =+ kxx， 由于无交点解0可得2 2 k. 将1: 00 +=kxxxyAB代入 2 2 1 xy =，得01 2 1 00 2 =+kxxxx， 8 分 所以 2 00 220 xkx =+，+= 2 0 12xAB 10 分 设点 P 到直线 AB 的距离是d，则 2 0 0 2 0 1 22 x kxx d + + = 12 分 所以= dABS PAB 2 1 ()()2 3 2 2 0 2 3 0 2 0 222kkxkxx+=+ 14 分 所以面积最小值为()2 3 2 2k . 15 分 21. （15 分） 解：（1）当 2 1 =a时，2)2ln() 1( 2 1 )( 1 += + xxxexf x ，1x 1 2 1 )2ln( 2 1 )( 1 + + += + x x xexf x ， 2 分 令1 2 1 )2ln( 2 1 )( 1 + + += + x x xexh x ，则 + + + = + 2 1 )2( 1 2 1 2 1 )( xx exh x ， 1 2 3 P 27 1 27 14 9 4 第5页 共 5 页 1x，1 1 +x e，2 )2( 1 2 1 0 2 + + + xx ，1 )2( 1 2 1 2 1 2 + + + xx 5 分 0)( x h，)(xh单调递增，0) 1()(=hxh，即0)( x f，可得： )(xf单调递增，0) 1()(= fxf恒成立. 7 分 （1）1 2 1 )2ln()( 1 + + += + x x xaexf x ,1x 令1 2 1 )2ln()( 1 + + += + x x xaexg x ，则 + + + = + 2 1 )2( 1 2 1 )( xx aexg x ， 当 2 1 a时，由（1）知，0)()(=xhxg，)(xg单调递增，0) 1()(= gxg，即 0)( x f，)(xf单调递增，0) 1()(= fxf恒成立. 10 分 当 2 1 a时，显然易知)(x g 单调递增. 因为021) 1(=ag， 0 4 1 16 1 4 4 1 16 1 ) 16 1 4 1 ()24(