随机变量的函数的分布77640

.,2.6随机变量函数的分布,问题：已知X的分布，求Y=g(X)的分布?,例如：Y1=4X+3；Y2=|X|；Y3=X2.,.,当X为离散随机变量时，Y=g(X)为离散随机变量.,将g(xi)一一列出,再将相等的值合并即可.,2.6.1离散随机变量函数的分布,.,2.6.2连续随机变量函数的分布,定理2.6.1设XpX(x)，取值范围为c,d;y=g(x)是x的严格单调函数，记x=h(y)为y=g(x)的反函数,且h(y)连续可导，则Y=g(X)的密度函数为:,1.公式法,.,例2.6.1设X,求Y=eX的分布.,y=ex单调可导,反函数x=h(y)=lny,所以当y0时,由此得,解：,.,正态变量的线性不变性,定理2.6.2设XN(,2)，则当a0时，Y=aX+bN(a+b,a22).,由此得：若XN(,2)，则Y=(X)/N(0,1).,.,例2.6.2(1)设XN(10,22)，求Y=3X+5的分布;(2)设XN(0,22)，求Y=-X的分布.,.,对数正态分布,定理2.6.3设XN(,2)，则Y=eX的服从,.,伽玛分布的有用结论,定理2.6.4设XGa(,)，则当k0时，Y=kXGa(,/k).,.,2.分布函数法,步骤：1、由X的取值范围确定Y=g(X)的取值范围；2、由分布函数的定义求Y=g(X)的分布函数：FY(y)=PYy=Pg(X)y；3、由分布函数与密度函数的关系求得Y=g(X)的概率密度。,.,均匀分布的有用结论,定理2.6.5设XFX(x)，若FX(x)为严格单调增的连续函数，则Y=FX(X)U(0,1).,.,例2.6.3设随机变量XN(0,1),求随机变量Y=X2的概率密度函数。,例2.6.4设X的概率密度函数为,.,2.7分布的其它特征数,矩、变异系数、分位数、中位数,.,2.7.1k阶原点矩和中心矩,k阶原点矩：k=E(Xk)，k=1,2,.,注意:1=E(X).,k阶中心矩：k=EXE(X)k，k=1,2,.,注意:2=Var(X).,定义2.7.1,.,2.7.2变异系数,方差（或标准差）反映了随机变量取值的波动程度，但在比较两个随机变量大小时会产生不合理的现象。,原因有二：,（1）方差（或标准差）是有量纲的；,（2）有一个相对性问题，取值较大的随机变量的方差（或标准差）也允许大一些。,.,定义2.7.2,为X的变异系数.,作用：,称,CV是无量纲的量,用于比较量纲不同的两个随机变量的波动大小.,.,2.7.3分位数,P(Xxp)=F(xp)=p,定义2.7.3,设0p1，,若xp满足,则称xp为此分布p-分位数，,亦称xp为下侧p-分位数.,.,注意点,(1)因为X小于等于xp的可能性为p，所以X大于xp的可能性为1p.,(2)对离散分布不一定存在p-分位数.,(3),.,上侧p-分位数,若记xp为上侧p-分位数，即,则,P(Xxp)=p,.,2.7.4中位数,定义2.7.4,称p=0.5时的p分位数x0.5为中位数.,中位数是反映随机变量位置的特征数，即随机变量取值的中心.,.,中位数与均值,相同点：都是反映随机变量的位置特征.,不同点：,含义不同.,有时中位数比均值更能说明问题.若分布是对称的，则中位数=均值.,.,统计中常用的p-分位数,(1)N(0,1)：Z,U,(2)2(n)：,(3)t(n)：,(4)F(n,m)：,.,2.7.5偏度系数,定义2.7.5,设随机变量X的三阶矩存在，则称,为X的分布的偏度系数，简称偏度.,正态分布N（，2）的偏度1=0.,.,2.7.5峰度系数,定义2.7.5,设随机变量X的四阶矩存在，则称,为X的分布的峰度系数，简称峰度.,正态分布N（，2）的峰度2=0.,.,偏度与峰度,相同点：都是反映分布的形态特征.,不同点：,含义不同.,偏度刻画的是分布的对称性，峰度刻画的是分布的峰峭性.,.,习题讲解,.,例1从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是1/3。(1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律；(2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率。,解(1)由题意，XB(6,1/3)，故X的分布律为：,.,例2设某国每对夫妇的子女数X服从参数为的泊松分布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e-2。求任选一对夫妇,至少有3个孩子的概率。,解由题意,.,例3设随机变量XU1,6，求一元两次方程t2+Xt+1=0有实根的概率。,解当=X2-40时，方程有实根。所求概率为,而X的密度函数为,另解,.,例4长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客候车时间超过10分钟的概率。,解设A乘客候车时间超过10分钟，X乘客于某时X分钟到达，则XU(0,60),.,例5设有一项工程有甲、乙两家公司投标承包。甲公司要求投资2.8亿元，但预算外开支波动较大，设实际费用XN(2.8,0.52)。乙公司要求投资3亿元，但预算外开支波动较小，设实际费用YN(3,0.22)。现假定工程资方掌握资金(1)3亿元，(2)3.4亿元，为了在这两种情况下，不至造成资金赤字，选择哪家公司来承包较为合理？,解（1）工程资方掌握资金3亿元。,若委托甲公司承包,若委托乙公司承包,标准正态分布表,=0.6554,(2)请自己完成。,委托甲公司承包较为合理。,.,例6一种电子元件的使用寿命（小时）服从正态分布(100,152),某仪器上装有3个这种元件，三个元件损坏与否是相互独立的。求：使用的最初90小时内无一元件损坏的概率.,其中,故,解设Y为使用的最初90小时内损坏的元件数，则Yb(3,p),.,例7设XU(-1,1),求Y=X2的分布函数与概率密度。,当y0时，,当0y1时,当y1时,解,.,例8设国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量X(单位吨)，它服从2000,4000上的均匀分布。若售出这种商品1吨，可赚3万元，但若销售不出去，则每吨需付仓储费1万元，问该商品应出口多少吨才可使平均收益最大？,解由题意可知X的密度函数为,设每年出口该商品y吨，(2000y4000)，则收益,可知y=3500时，E(Y)取到最大值，故出口3500吨此商品才可使平均收益最大。,.,.,.,.,.,.,.,P115习题2.5,#10某种设备的使用寿命X(以年计)服从指数分布,其平均寿命为4年.制造此种设备的厂家规定,若设备在使用一年之内损坏,则可以予以调换.如果设备制造厂每售出一台设备可赢利100元,而调换一台设