高中数学备课参考数学通报问题解答0009pdf

数学问题解答 2000年8月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 1266 在 ABC中,ABC =70,ACB =10, D为BC上一点,DAC =20,求证: BA DA = BD CD 证明 如图,设A 为A关于BC的对称点,在 CA 延长线上取一点D,使AD= AA.连AD、 AA、AB、DD、DB、DA. 显然 DAA 为正三角形.可知AD = AA = AD,即A 为 DDA的外心,有 ADD = 1 2 AAD =30. 由 AAC =80,可知 ADC =40,有 DDC =10=DCD. DD= DC. 显然 BAD =BAD =80,DAC = DAC =20.可知 BAD=80=BAD. 由 ADD=10=ADD ,可知AB为 DD的中垂线.有 BDD =BDD=20. 易知 ABA DBD,可知 BA AA = BD DD 故 BA DA = BD CD (黑龙江绥化地区教育学院 田永海) 1266(补) 审题者另证:作DEAB于E,作CFAD 于F. RtCFA中, CF = ACsin20 RtADE中, DE = ADsin80 = AC sin10sin80 sin150 =2ACsin10sin80 = ACsin20 DE = CF SADB SADC = 1 2 ABDE 1 2 ACCF = AB AC = BD DC 1267 试确定实数a0的取值范围,使得由递推式 an+1= -3an+2 n ( n = 0,1,2)决定的数列 an 为严格递增数列. 解 欲使得 an为严格递增的数列,即对任 意n( n =0,1,2, ) , 总有an+1 an. 不妨设di= ai+1- ai ( i = 0,1,2, ) , 显然di 0. 由条件an+1= -3an+2 n ( n 0),得an = -3an-1+2 n-1 ( n 1). -得, an+1-an= -3 ( a n- an-1 ) + 2 n-1 ,即为dn= -3dn-1+2 n-1. 因为dn0,从而 -3dn-1+2 n-1 0.对于n1,2 n-1 1,当 3dn-11 ( n 1)时,必定成立. 当n =1时,由 知a1= -3a0+1,即a0+ d0= -3a0+1,得1-4a0= d0.为使3d01/6时,由递推公式 an+1= -3an+2 n( n = 0,1,2,)决定的数列 an为严格递增. (上海市东华模范中学 钱雪华 200040) 1268 给定两个实数a和b.试求出所有的函数 f : RR ,使得对于所有的x , yR ,都有 f ( x + f ( y) ) = a( x + y)f ( x -y) + b 解 若a =0,则f ( x + f ( y) ) = b,故 f ( x) = b(x R) ,下面假定a0. 在 中取y =0得: f ( x + f (0 ) ) = axf ( x) + b , 又在 中取x =0得: f (f ( y) ) = ayf ( -y) + b , 再在 中取y = x得: f ( x + f ( x) ) =2ax f ( 0) + b , 最后在 中取y = -x得: 742000年 第9期 数学通报 f ( x + f ( -x) ) = b. 由 可得: f (f ( 0) ) = b , 在 中取x = f (0)得: f (f ( 0) + b) =2a(f (0) ) 2 + b. 因为a0,所以由 和 可得: ( x + f ( y) - f (0) )f ( x + f ( y) - f (0) ) = ( x + y)f ( x - y) 在 中取x = f (0) - f ( y) (y R) 得:对于 yR ,或y - f ( y) + f (0 ) = 0,或f ( - y - f ( y) + f ( 0 ) ) = 0. 在 中取y = f (0)得: 或 f ( 0 ) = b 2 ,或 f ( -b) =0 如果b =0,则由 可得 :f ( 0 ) = 0,再由 可得: f ( x) = axf ( x) (xR) ,于是 f ( x) =0(x1 a ) . 又在 中取y = - 1 a 可得: f (f (- 1 a ) )= -f 1 a ,即 f ( 0)= -f 1 a 于是 f 1 a = - f (0 ) = 0,所以f ( x) =0(xR) . 下面假定a0, b0,再分两种情况进行讨 论: ()当 f ( 0 ) = b 2 时,由 得:f 3 2 b= b + ab2 2 . 由 得: f b 2 = b.? 在 中取x =0得: f ( y) - b 2 ff ( y) - b 2 = yf ( - y) ? 在 ? 中取y = b 2 ,并利用 ? ,得: f- b 2 = b? 在 中取x = b 2 得:f 3 2 b= b ,但这与 矛 盾 !( 因为a0且b0 ) . ()当f ( - b) =0时,在 中取x = - b得: f ( 0 ) = 1 2a ? 由 可得: f 1 2a = b.? 在 中取x =0得: f ( y) - 1 2a ff ( y) - 1 2a = yf ( - y) ? 在 中取x = b得:f ( b) = b? | 在 中取y = 1 2a 得:f- 1 2a =0.? 在 ? 中取y = - 1 2a 得:f 1 2a =0,但这与 ? 矛 盾 !( 因为a0, b0 ) . 综上所述,得出结论如下: 若a =0,则f ( x) = b(xR) ; 若b =0,则f ( x) =0(xR) ; 若a0且b0,则不存在满足题给函数方 程的函数. (广州师范学院 吴伟朝 510405) 1269 ABC中, ma、mb、mc; ha、hb、hc分别为三 边上的中线和高,求证: hb+ hc ma + hc+ ha mb + ha+ hb mc 6 证明 如图AD、BE、CF为 ABC三边上的 中线,并设 EBC =1,FCB =2,FCA = 1,DAC =2,DAB =1,EBA =2. 过E作EGBC,垂足为G,则EG = 1 2 ha 在RtBEG中, EG = BEsin1,则 1 2 ha= mbsin1 ha mb =2sin1,同理 ha mc =2sin2 故 ha( 1 mb + 1 mc ) = 2(sin1+sin2) =4sin 1+2 2 cos 1-2 2 4sin 1+2 2 . 同理 hb( 1 mc + 1 ma) 4sin 1+2 2 , hc( 1 ma + 1 mb) 4sin 1+2 2 ha( 1 mb + 1 mc) + hb ( 1 mc + 1 ma) + hc ( 1 ma + 1 mb) 842000年 第9期 数学通报 4(sin 1+2 2 +sin 1+2 2 +sin 1+2 2 ) 43 2 =6. 即 hb+ hc ma + hc+ ha mb + ha+ hb mc 6. (山东广饶一中 侯良田 257300) 1270 设、 、 为锐角,cos2+cos2+cos2= 1,试证: ctgctg+ctgctg+ctgctg 3 2 . 证明 依题意,可令 cos2= a a + b + c ,cos2= b a + b + c ,cos2 = c a + b + c (其中a、b、c均为正数 ) , 则 sin2= b + c a + b + c , ctg= a b + c . 同理 ctg= b c + a , ctg= c a + b. 于是 ctgctg+ctgctg+ctgctg = b c + a c a + b + c a + b a b + c + a b + c b c + a = c c + a b a + b + a a + b c b + c + b b + c a c + a 1 2 c c + a + b a + b + a a + b + c b + c + b b + c + a c + a = 1 2 ( b + c b + c + c + a c + a + a + b a + b ) = 3 2 (浙江湖州市双林中学 李建潮 313012) 2000年9月号问题 (解答由问题提供人给出) 1271 已知a , b , cR+,求证: 若abc1时, a b + b c + c a a + b + c; 若abc1时, a b + b c + c a 1 a + 1 b + 1 c . (江苏省张家港市职业高级中学 韩文美 215600) 1272 设a1, a2, an为小于c的正数, n i =1 ai= S ,求证: (1) n i =1 ai c -ai nS nc - S ; (2) n i =1 ai2 c -ai S2 nc - S . (山东省惠民师范学校 胡斌 251700) 1273 O是正 ABC的内切圆, E、F为AB、AC 上的切点,劣孤EF上任一点P到BC, CA , AB的距 离分别为d1, d2, d3,求证: d1=d2+d3 (安微省怀宁江镇中学 黄全福 246142) 1274 求 证: 1 n02 + 1 ( n 0+1) 2 + 1 n2 n -n0+1 n0n ( n n02, n , n0 N) (云南省会泽二中 张国坤 654211) 1275 试求所有函数f : RR ,使对任何x , y R都有 f ( xf ( y) = f ( xy2 ) - 2x2f ( y) - f ( x) -1 (广州师范学院数学系 吴伟朝 510405) (上接41页) 时光流逝了一个世纪,数学发展已今非昔比, 值此2000国际数学年和迎接2002年第24届国际 数学家大会在北京召开这两件数学界盛事,100 年前的巴黎盛会和希尔伯特的历史性演说,直