高中数学一轮复习第2讲排列与组合

第2讲 排列与组合随堂演练巩固1.8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（） A.B.C.D. 【答案】 A 【解析】 因2名老师不相邻,故可采用插空法. 学生8人中有9个空,且学生全排列为,故排法种数为,选A. 2.在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息.若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( ) A.10B.11C.12D.15 【答案】 B 【解析】 若0个相同,共有1个; 若1个相同,共有C个; 若2个相同,共有C个, 故共有1+4+6=11个. 3.某台小型晚会由6个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前两位,节目乙不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位,该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 ( ) A.36种B.42种C.48种D.54种 【答案】 B 【解析】 先排丙,只有一种可能即排最末位,再排甲需分情况讨论,若甲排在第一位则有种排法;若甲排在第二位则有种可能.故所有排法为=24+18=42种,选B. 4.2位男生和3位女生共5位同学站成一排,若男生甲不站两端,3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是( ) A.60B.48C.42D.36 【答案】 B 【解法一】 从3名女生中任取2人”捆”在一起记作A(A共有CA种不同排法),剩下一名女生记作B,两名男生分别记作甲、乙;则男生甲必须在62=12种排法(A左B右和A右B左).最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙,所以共有种不同排法. 【解法二】 同解法一,从3名女生中任取2人”捆”在一起记作A(A共有CA种不同排法),剩下一名女生记作B,两名男生分别记作甲、乙;为使男生甲不在两端可分三类情况: 第一类:女生A A种排法;第二类:”捆绑”A和男生乙在两端,则中间女生B和男生甲只有一种排法,此时共有6A种排法;第三类:女生B和男生乙在两端,同样中间”捆绑”A和男生甲也只有一种排法.此时共有6A种排法; 三类之和为24+12+12=48种. 5.用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有个(用数字作答). 【答案】 324 【解析】 个位、十位和百位上的数字都是偶数的四位数有CACAC个;个位、十位和百位上的数字只有一个偶数的四位数有CACCCAC个,所以共有90+234=324个. 4用心 爱心 专心课后作业夯基基础巩固 1.等于( ) A.AB.AC.AD.A 【答案】 C 2.CCC+的值为（）A.990B.120C.720D.165 【答案】 D 3.(2012山东威海阶段测试)四张卡片上分别标有数字”2”“0”“0”“9”,其中”9”可当”6”用,则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为( ) A.6B.12C.18D.24 【答案】 B 【解析】 先在后三位中选两个位置填两个数字”0”有4.(2012广东广州月考)已知集合A=1,2,3,4,B=5,6,7,C=8,9.现在从这三个集合中取出两个集合,再从这两个集合中各取出一个元素,组成一个含有两个元素的集合,则一共可以组成集合的个数为( ) A.24B.36C.26D.27 【答案】 C 【解析】 分三类:C5.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都有,则不同的组队方案共有 ( ) A.70种B.80种C.100种D.140种 【答案】 A 【解析】 方法一:当选择的3名医生都是男的或都是女的时,共有方法二:(直接法)当队中有一名女医生时,有6.有8张卡片分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,从中取出6张卡片排成3行2列,要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5,则不同的排法共有( ) A.1 344种B.1 248种C.1 056种D.960种 【答案】 B 【解析】 中间行两张卡片为1,4或2,3,同时另两行不可出现这两组数字.用间接法.先写出中间行为(1,4)或(2,3),有种;去掉两行同时出现1,4或2,3,有种,所以共有1 440-192=1 248种排法,故选B. 7.(2012湖南十二校)某人制定了一项旅游计划,从7个旅游城市中选5个进行游览,如果A、B、C为必选城市,并且游览过程中必须按照先A后B再C的次序经过A、B、C三个城市(A、B、C三个城市可以不相邻),则不同的游览线路共有( ) A.80种B.120种C.480种D.600种 【答案】 B 【解析】 首先从剩余的另外4个城市中选出2个,共有种方法,将选出的5个城市全排,则共有种方法,由于要求必须按照先A后B再C的顺序经过A、B、C三个城市,所以需去除三座城市的全排的情况,所以不同的游览线路共有种线路. 8.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站法的位置,则不同的站法种数是(用数字作答). 【答案】 336 【解析】 分两类:每级台阶上一人共有A种站法; 一级二人,一级一人,共有种站法, 故共有种). 9.有5名男生和3名女生,从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的科代表,若某女生必须担任语文科代表,则不同的选法共有种(用数字作答). 【答案】 840 【解析】 由题意知,从剩余7人中选出4人担任4个学科课代表,共有种. 10.(2012山东泰安模拟)从集合O,P,Q,R,S与0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中各任取2个元素排成一排(字母和数字均不能重复).每排中字母O、Q和数字0至多只出现一个的不同排法种数是(用数字作答). 【答案】 8 424 【解析】 问题分为两类:一类是字母O、Q和数字0出现一个,则有(种;另一类是三者均不出现,则有种.故共有 424种. 11.如果把个位数是1,且恰有3个数字相同的四位数叫做”好数”,那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中,”好数”共有个(用数字作答). 【答案】 12 【解析】 当相同的数字不是1时,有个;当相同的数字是1时,共有个,由分类加法计数原理得共有”好数”个. 12.三位数100,101,999共900个,在卡片上打印这些三位数.每张卡片打印1个三位数.有的卡片所印的,倒过来看仍为三位数如:198倒过来看是861(1倒过来看仍视为1);有的卡片则不然,如531倒过来是135,因此有些卡片可以一卡两用,问至多可少打印多少张卡片? 【解】 (方法一)把卡片倒过来仍为三位数,这些数的十位数字只可取0,1,6,8,9,而百位数字与个位数字只可取1,6,8,9,这种三位数共有AAA个). 但其中有卡片倒过来虽然仍为三位数,但与原数相同,如619,808等等,这种数的十位数字只能取0,1,8,百位数中可取1,6,8,9,这时个位数字就随之确定了.共有AA个). 所以可少打印的卡片数至多有34(张). (方法二)因为倒过来的两用数字有0,1,6,8,9, 所以由这些数字可排出两用的三位数,分三类讨论: (1)第一类:无重复数字的三位数有A25(个). 其中含有0的三位数有106,108,109,608,906;不含0的三位数中注意619,689,916,986,倒过来仍是本身,故为(A个. (2)第二类:含有两个重复数字的三位数有606,119,191,911,166,616,661,881,共8个. (3)第三类:含有三个重复数字的三位数只有666. 故两用的三位数共有25+8+1=34(个),即可少打印的卡片数至多有34张. 13.某市有7条南北向街道,5条东西向街道. (1)图中共有多少个矩形? (2)从A点走到B点最短路线的走法有多少种? 【解】 (1)在7条竖线中任选2条,在5条横线中任选2条,这样的4条线可组成1个矩形,故可组成矩形CC个). (2)每条东西向的街道被分成6段,每条南北向的街道被分成4段,从A到B最短路线的走法无论怎样走,一定包括10段,其中6段东西方向,另4段南北方向.每种走法,即是从10段中选出6段,这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的),共有CC（种）14.有五张卡片,它们的正、反面分别写着0与1,2与3,4与5,6与7,8与9,将其中任意三张并排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同的三位数? 【解】 方法一(直接法):从0与1两个特殊值着眼,可分三类: 取0不取1,可先从另四张卡片中选一张作百位,有种方法;0可在后两位,有