两圆的公切线(1)幻灯片.ppt

7.14两圆的公切线,(1),1.掌握两圆内、外公切线的概念及公切线长的意义。,2.掌握求两圆外公切线长的方法。,1生活、生产中的两圆公切线,两圆同时和一条直线相切，这样的实例，在生活和生产中到处可见，如,自行车，链盘，飞轮与链条，火车的两轮子与铁轨，滑轮与铁链等。,尤其是机器上的传动带和主动轮、从动轮之间的位置关系更给人以一条直线和两个圆同时相切的形象。,和两个圆同时相切的直线我们称之为两圆的公切线。,2内、外公切线概念：,和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线，两个圆在公切线同旁时，这样的公切线叫做外公切线，两个圆在公切线两旁时，这样的公切线叫做内公切线，公切线上两个切点的距离叫做公切线的长。,如图(1)，直线AB、CD分别切O1、O2于A、B、C、D四点，AB、CD都是O1和O2的外公切线，线段AB、CD的长就是外公切线的长。图(2)中的AB、CD分别与O1和O2相切于A、B、C、D四点，直线AB、CD都是O1和O2的内公切线，线段AB、CD的长就是内公切线的长。,3外公切线长的计算：,设有O1和O2其半径分别为r和R，AB是O1和O2的外公切线、切点分别为A、B。怎样求公切线AB的长呢？,(1)若O1和O2外离，则连结O1A,O2B和O1O2,(2)特别，当O1与O2外切时，因O1O2Rr,由此可知，只要知道两圆连心线的长及两圆半径，便可求出公切线AB的长。,r,C,R,公切线AB,得直角梯形O1ABO2，,过O1作O1CO2B于C点，得矩形ABCO1，,在RtO1O2C中，O1CAB，O2CRr,O1C,O1C2O1O22O2C2,AB切两圆于点A、BO1AAB，O2BAB,例1、已知：O1、O2的半径分别为2cm和7cm，圆心距O1O2=13cm，AB是O1、O2的外公切线，切点分别是A、B求：公切线的长AB,解：连结O1A、O2B，则O1AAB，O2BAB过O1作O1CO2B，垂足为C，则四边形O1ABC为矩形，于是有O1CCO2，O1C=AB，O1A=CB在RtO2CO1和O1O2=13，O2C=O2B-O1A=5AB=O1C=(cm),反思：（1）“转化”思想，构造三角形；（2）初步掌握添加辅助线的方法,4范例解析：,例1如图(4)，O1与O2外切于P，一条公切线为AB，A、B为切点，设两圆的半径为r1,r2(r2r1)，求证：AB24r1r2.,分析：欲证AB24r1r2，须将AB以及两圆的半径r1,r2转化到同一直角三角形中来，连结O1A，O2B，作O1CO2B，通过解直角三角形O1O2C，即可获证。,证明：,又O1与O2外切于点PO1O2r1r2,AB切两圆于点A、BO1AAB，O2BAB,ABCO1为矩形BCAO1，ABO1C,O2Cr2r1,在RtO1O2C中,O1C2O1O22O2C2(r1r2)2(r2r1)24r1r2,AB24r1r2,连结O1A、O2B，作O1CO2B于C,C,例2如图(5)，已知：C为线段AB上一点，在AB同侧，分别以AB、BC、AC为直径作圆O、O2、O1，过C点作CDAB交O于D，EF分别切O1和O2于E、F点，,分析：,求证：EFCD.,则ADB为直角三角形，,又DCAB，可得CD2ACCB，,故只须证EF2ACCB，,EF是O1和O2的外公切线，,这就使人联想到处理外公切线求法的常用方法将其构置在一个直角三角形中，然后用勾股定理解之。,连结AD、BD，,证明：,AB为O直径ADB90,CDAB于CACDDCB,CD2ACCB4rR,连结EO1，FO2，过O1作O1PEF交FO2于点P。,EF切O1和O2于E、F,O1EEF，O2FEF，O1PO2F，EFO1P,在RtO1O2P中，O1P2(rR)2(Rr)24rR,O1P2CD2O1PEFCD,连结AD、BD，设O1和O2的半径分别为r、R,P,通过本讲的学习，必须掌握好下列知识和技能：两圆的公切线及公切线长的概念：(1)和两圆相切的直线，叫做两圆的公切线，两个圆在公切线的同旁时，这样的公切线叫做外公切线，两圆在公切线两旁时，这样的公切线叫做内公切线。(2)公切线上两个切点的距离叫做公切线的长。,7(1),7(2),两圆公切线的性质：(1)首先两圆的公切线是圆的切线，因此具有圆的切线的性质、例如公切线垂直过切点的半径，当两圆内切时，内公切线垂直于连心线，如图7(1)。当两圆内切时，外公切线垂直于连心线，如图7(2)。,(2)两圆如果有两条外公切线或两条内公切线时，则：由圆的对称性易知：两条外公切线的长相等；两条内公切线的长相等。两条外(内)公切线如果相交，那么由轴对称的性质易知，交点一定在连心线上，并且进一步可以由切线定理推知，两圆连心线平分两条外(内)公切线的夹角，如图8(1)中，APO1CPO1，如图8(2)中，FQO2HQO2。,外离,外切,相交,内切,内含,2,2,2,1,0,2,1,0,0,0,4,3,2,1,0,不同位置关系的两圆，公切线的位置及条数如下表所示：,O1O2d，ABO1C。,外公切线长的计算：如果已知两圆的半径R、r和圆心距O1O2d（如图(9)）要求外切线的长，则常将公切线作平行移动，也就是过其中小圆的圆心作公切线的平行线。设法与两圆连心线构成一个直角三角形、然后运用直角三角形性质进行计算或论证，这是解决有关两圆公切线问题的基本思路和方法之一，如图(9)，作O1CAB交O2B于C，构成RtO1O2C，则O2CRr，,作业,P13813910、11、14,4已知两圆的半径为3和4，这两圆的圆心距长是方程x28x200的一个根，则这两个圆的公切线条数是_。,5如图(6)，O1和O2的半径分别为5厘米、2厘米，圆心距为6厘米，AB、CD为外公切线，A、B、C、D为切点，求两圆外公切线的长和两圆中以切点为端点的弦长。,1若两圆半径分别为R，r，外公切线的长为Rr，那么这两个圆的位置关系是()：A相交B外切C外离D外切或外离,2两圆的外公切线成60角，它们的圆心距为6cm，则外公切线长为()：A6cmB3cmC3cmD3cm,3两圆的直径分别为18cm和8cm，它们的外公切线长为12cm，则两圆的位置关系是_。,课堂练习,6如果两圆半径的差是3，一条外公切线的长为4，则两圆的圆心距是_。,A点在圆内B点在圆上C点在圆外D关系不确定,7两圆外离、圆心距为5，大圆半径为2.5，小圆半径为1.5，则外公切线长为_。,8O1与O2外切于点A，BC为O1与O2的外公切线，B、C为切点，则点A与以BC为直径的圆的位置关系是()：,9若两圆外切于P点，AB、CD是两圆的外公切线，A、B、C、D是切点，过P点的公切线分别交AB、CD于E、F点，则可能是：ABCDCDEFAD与BC相交于P点。,以上结论正确的是()：,A只有和B只有和C只有和D、和,10判断正误（正确的打，错误的打）,(1)相切的两个圆必有三条公切线。(),(2)若两个圆相切，则过切点的公切线只有一条。(),(3)两个圆的内公切线长等于外公切线长。(),(4)两个圆的每条外公切线长永远小于圆心距。(),参考答案：,外公切线长6cos3063,1解：设两圆连心线长为D，,则D2(Rr)2(Rr)22(R2r2)4Rr,D,两圆外切时D,选D。,2解：由外公切线长的求法可知，,选D。,3解：设两圆的圆心距为d，则d13cmdRr（其中R9cm,r4cm）故两圆外切。4解：x28x200得(x10)(x2)0x110，x22故两圆的圆心距长1034两圆外离，其公切线条数应是4。,5解：O1O26cm，52652两圆相交连结O1A、O2B、O1O2，过O2作O2EO1A，交O1A于E，则在RtO1O2E中，O1O26厘米，O1E3厘米。O2E3厘米，且O1O2E30O1AAB，O2BAB，O2EO1A四边形ABO2E是矩形ABCDO2E3厘米设AC与O1O2的交点为F，则O1AFAO1F90，AFO1O2,O1AFO1O2E30O1FO1AAFAC(厘米)AC5厘米(同理可知BD2(厘米)。,6解：设两圆的圆心距是d，则d57解：外公切线长8解：如下图，连结AB、ACBC切O1和O2于B、C两点1O1，2O2，且O1BO2C12(O1O2)18090A点在以BC为直径的圆上，选B。,9解：由切线长定理知FCFP，FPFDCD2FP由圆的对称性知FPPEEF2FPEFCD又显然ABCD故选A。10(1)(2)(3)(4),1如图(10)，O1与O2相交于A、B两点，CD是O1与O2的外公切线，切点分别为C、D，且CBD135，求CAD的度数。,课外作业,2如图(11)，两圆外切于C，外公切线AB分别与O，O相切于A、B，连接AC交延长交O于D，如果AC:CD1:3，求ABC的度数。,3如图(12)，O1与O2内切于P点，O2的弦AB切O1于点C，连结PA、PB，PC的延长线交O2于点D。求证：(1)APCBPC，(2)PC2ACBCPAPB。,4如图(13)，已知O与O外切于A点，BC为外公切线，B、C为切点，BC与OO的延长线交于D，DEBD交BA延长线于E点。求证：2DE2AEBE。,5已知，如图(14)，O1与O2外切于P，外公切线AB交O1O2的延长线于E，PCO1O2，交AB于C，(1)求证：，(2)若两圆半径之比为4:1，CE2cm，求O2E的长。,6如果两圆只有外公切线，那么这两圆公共点的个数是：A没有公共点B1C2D1或27两个等圆的圆心距与外公切线长相等，则两圆的位置关系是：A外离B外切C相交D外离、外切或相交8如图，已知AB8cm，C为AB上的一点，且AC6cm，分别以AC和BC为直径作半圆，两半圆的一条外公切线交AB延长线于P，求BP和外公切线