数学人教版八年级上册13.4最短路径问题.ppt

13.4课题学习最短路径问题,练习1：如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？,两点之间,线段最短,解：走路线最近。,练习2：如图所示，现要在一条直线m上找到一点P，使点A到点P的距离最短，应怎样修建？你的理由是什么？,垂线段最短,解：过点A作APm，垂足为P。点P即为所求。,P,前面我们研究的关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等问题，我们称它们为最短路径问题,最短路径问题,问题1：两点在一条直线异侧,已知：如图，点A，B在直线m的两侧，在直线m上求一点C，使得AC+CB最小。,解：连接AB,线段AB与直线m交于点C，则点C即为所求。,这样做的依据是什么？根据是：两点之间，线段最短.,C,l,问题2：两点在一条直线同侧,相传，古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？,l,假设他在河边点C处饮马，那么他所走的总路程就是AC+BC。当点C在直线l的什么位置时，AC+BC的值最小？,问题2：两点在一条直线同侧,分析：,问题2：两点在直线同侧,问题1：两点在直线异侧,B,B,问题2：两点在一条直线同侧,问题转化：如图，点A，B在直线l的同侧，点C在直线上，当点C在l的什么位置时，AC+CB的值最小？,作法：（1）作点B关于直线l的对称点B；（2）连接AB，与直线l相交于点C则点C即为所求此时路径AC+CB最小,追问：你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？,C,AC+BC=AC+BC=AB,AC+BC=AC+BC,ABAC+BCAC+BCAC+BC即AC+BC最短,证明：如图，在直线l上任取一点C（与点C不重合），连接AC，BC，BC由轴对称的性质知，BC=BC，BC=BCAC+BC=AC+BC=AB，AC+BC=AC+BC在ABC中，ABAC+BC，AC+BCAC+BC即AC+BC最短,追问：你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？,如图，A和B两地在同一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）,思考：你能把这个问题转化为数学问题吗？,问题3：造桥选址问题,我们可以把河的两岸看成两条平行直线a和b,点N为直线b上一点，MN垂直于直线b,交直线a于点M，这样，上面的问题可以转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？,问题3：造桥选址问题,由于河宽是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小.,a,b,A,M,N,B,a,b,A,M,N,B,分析：,问题1：两点在直线异侧,问题3：造桥选址问题,A,作法：1.将点A沿与河岸垂直的方向平移到点A使AA等于河宽，2.连接AB交河岸b于点N,3.则点N为建桥MN的位置。4.此时路径AM+MN+BN最短。,如图，A和B两地在同一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）,问题3：造桥选址问题,a,b,A,M,N,B,A,a,B,A,b,M,N,A,N,M,追问：你能用所学的知识证明AM+NB最短吗？,AM+BNAN+BN=AB,AM+BNAN+BN,AN+BNABAM+BNAM+BN,另任意造桥MN，连接AM、BN、AN,由平移性质可知，AMAN，AMANAAMNMN.,AM+BNAN+BN=AB，AM+BNAN+BN.,在ANB中，AN+BNAB，,AM+BNAM+BNAM+MN+BNAM+MN+BN.,证明：,a,b,小结归纳,化归,轴对称变换,平移变换,两点之间，线段最短.,课后作业,1、小组作业请小组合作探究共同完成导学案的课后习题。2、个人作业课时练第65-66页。,1、已知：如图，在射线OA、OB之间有一点C.求作：分别在OA、OB上确定一点M、N，使CM+MN+NC最小.,O,B,A,2.如图：C为马厩，D为帐篷，OA是草地，OB是河流。牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。(画出图形),A,O,B,D,C,3、如图1，长方形ABCD是球桌台面，有两个球分别位于P、Q两点上，先找出P点关于BC的对称