立体几何专题——空间角

立体几何专题：空间角第一节：异面直线所成的角一、基础知识1.定义： 直线a、b是异面直线，经过空间一交o，分别a/a，b/b，相交直线ab所成的锐角（或直角）叫做 。2.范围： 3.方法： 平移法、问量法、三线角公式（1）平移法：在图中选一个恰当的点（通常是线段端点或中点）作a、b的平行线，构造一个三角形，并解三角形求角。（2）向量法：可适当选取异面直线上的方向向量，利用公式 求出来方法1：利用向量计算。选取一组基向量，分别算出 ，代入上式方法2：利用向量坐标计算，建系，确定直线上某两点坐标进而求出方向向量 （3）三线角公式 用于求线面角和线线角斜线和平面内的直线与斜线的射影所成角的余弦之积等于斜线和平面内的直线所成角的余弦 即： 二、例题讲练例1、（2007年全国高考）如图，正四棱柱中， ，则异面直线与所成角的余弦值为 例2、在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=，BC=,AA1=c，求异面直线D1B和AC所成的角的余弦值。方法一：过B点作 AC的平行线（补形平移法）方法二：过AC的中点作BD1平行线方法三：（向量法）例3、 已知四棱锥的底面为直角梯形，底面，且，是的中点 （）证明：面面；（）求与所成的角；例4、 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面， 为的中点 求直线与所成角的余弦值；训练题1. 正方体的12条棱和12条 面对角线中，互相异面的两条线成的角大小构成的集合是 。2. 正方体中，O是底面ABCD的中心，则OA1和BD1所成角的大小为 。3. 已知为异面直线a与b的公垂线，点，若a、b间距离为2，点P到的距离为2，P到b的距离为 ，则异面直线a与b所成的角为 。4. 如图正三棱柱ABC-A1B1C1中AB=AA1，M、N分别是A1B1，A1C1的中点，则AM与CN所成角为 。5. 如图PD平面ABCD,四边形ABCD为矩形，AB=2AD=2DP，E为CD中点。（1）与BE所成的角为 （2）若直线PD，且AF与BE所成角为1. =30行吗？2. =75时；= 。6. 空间四边形ABCD中，对角线AC，BD与各边长均为1，O为的重心，M是AC的中点，E是 AO的中点，求异面直线OM与BE所成的角 。7.空间四边形ABCD中AB=BC=CD，BCD=ABC=120，ABCD，M、N分别是中点（1）AC和BD所成的角为。（2）MN与BC所成的角为。8.已知正方体AC1中，（1）E、F分别是A1D1，A1C1的中点，则AE与CF所成的角为（2）M、N分别是AA1，BB1的中点，则CM和D1N所成的角是。9、如图，三棱锥PABC中， PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB (I) 求证：AB平面PCB； (II) 求异面直线AP与BC所成角的大小；（） 第二节、直线和平面所成的角 一、基础知识1.定义： （斜线和平面所成的角垂线与平面所成的角）2.直线与平面所成角范围是。3.斜线与平面所成的角是此斜线与平面内所有直线所成角中最小的角。（最小值定理）4. 求法： 几何法公式法问量法（1）几何法：作出斜线与射影所成的角，论证所作（或所找）的角就是要滶的角，解三角形求出此角。（2）公式法：（即：与斜线射影所成的两角的余弦的积等于斜线和平面内的直线所成角的余弦值）（3）向量法：设直线与平面所成角为，直线的方向向量与面的法向量分别是, 则的余角或其补角的余角即为与所成的角，二、例题讲解例1、在长方体AC1中，AB=2，BC=CC1=1，求（1）CD与面ABC1D1所成的角（2）A1C与平面ABC1D1所成的角（3）A1C与平面BC1D所成的角例2、四面体ABCD中，所有棱长都相等，M为AD的中点，求CM与平面BCD所成角的余弦值。例3、四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面已知，（）证明；（）求直线与平面所成角的大小例4、如图,是互相垂直的异面直线，M、N分别在上，且MN，MN，点AB在上，C在上，AM=MB=MN。（1）证明：AC NB（2）若ABC=60，求NB与平面ABC所成角的余弦值。训练题1、（2008年高考全国卷1）已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为三角形ABC的中心，则AB1与底面ABC所成的角的正弦值等于 2、（2008上海高考）如图，在棱长为2的正方体中，是的中点。求直线与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.AEB1D1DC1A1BC3、过点P作平面的两条斜线段PA和PB，则PA=PB是斜线PA和PB与平面成等角的 条件。4、如图所示，BOC在平面内，OA是的斜线，AOB=AOC=60，OA=OB=OC=a，BC=a，求OA和平面所成的角的大小。5、如图，已知正方形ABCD，SA现面ABCD，且SA=AB，M、N分别为SB、SD的中点，求SC和平面AMN所成的角第6题图第7题图6、给出下列命题，其中正确命题序号是。（1）若PA、PB、PC与平面成等角，则迠P在平面上的射影O是ABC的外心（2）已知直线上与平面所成角是，直线a是内与异面的任一直线，则与平面 所成角范围是(3) 在三棱锥P-ABC中，若二面角P-AB-C，P-BC-A，P-CA-B，大小相等，则点P在平面ABC上射影O是ABC内心。（4）坡度为的斜坡，有一条与坡脚水平线成30的小道，若沿小道每前进100m，高度就上升25m,那么此坡坡度为30。BVADC7、如图，在三棱锥中，底面，是 的中点，且，（I）求证：平面；（II）试确定的值，使得直线与平面所成的角为。（）当解变化时，求直线与平面所成的角的取值范围 第三节 平面与平面所成的角一、基础知识1.定义：二面角:由一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角平面角：过棱上同一点分别位于二面角的两个面内，且与棱同时垂直的两条射线所成的角叫做二面角的平面角，二面角的取值范围是 .注:二面角是空间图形，平面角是平面图形。在书写时不要写成”AOB为所求二面角”，而应写成”AOB为二面角的平面角”。2.求法：几何法 向量法 公式法（1）几何法：作出二面角的平面角，再求解，常见的有作 法图 形定义法在棱CD上找一点O，在两个面内分别作棱的垂线AO,BOAOB为二面角的平面角垂面法过棱上一点O作棱的垂直平面与两个半平面的交线分别为AOBOAOB为的平面角三垂线法过B内一点A，作AB交于B，作BOCD于O，连结AO,AOB的平面角或其补角（2）向量法：分别求出和的法向量，则二面角的大小为或 用此法须知：1需建空间直角坐标系，定准相应点的坐标2通常容易找到一个面的法向量，只需通过二次垂直，求另一个平面的法向量3当为锐角时 （为锐角）或 （为钝角）在平面内 在平面内，BDEF，且BEF分别求出，则即为二面角的大小（3）公式法：设二面角的大小为令则注意：与所成的角一定与二面角的平面角大小相等，但不一定是异面直线BA和CD所成角的大小。 面积法： 设二面角的平面内某一图形（一般取三角形）面积为S，该图形在平面上射影面积为，二面角的大小为，则 二、例题讲练ABCDA1B1C1D1FMOE例1、如图，已知棱柱的底面是菱形，且面，为棱的中点，为线段的中点，（1）求证：面；（2）求面与面所成二面角的大小例2、如图，直二面角DABE中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF平面ACE。（1）求证：AE平面BCE；（2）求二面角BACE的大小；例3、如图所示的几何体中,平面， ,，是的中点.()求证:;()求二面角的余弦值. 例4、 已知四棱锥的底面为直角梯形，底面，且，是的中点 （）证明：面面；（）求面与面所成二面角的大小 例5、如图，三棱锥PABC中， PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB (I) 求证：AB平面PCB； (II) 求二面角C-PA-B的大小训练题1.如图：三棱锥A-BCD中，AC=AB=BD=DA=2，BC=CD=，则二面角A-BD-C大小为 。二面角B-AC-D大小为 2.已知，所成角为，与所成角为2，大小为3则恒成立的是（ ）A. B. C. D. 3.如图，四边形BCEF、AFED都是矩形，且平面AFED平面BCEF，则下列结论中正确的是ABCD3.如图，四棱锥P-ABCD中所有的棱长都相等。求：二面角C-PD-B大小设M、N分别为AD、PC中点，试求MN与底面AC及平面BDP所成的角平面PAB与平面PCD所成二面角的大小4. 如图，四边形ABCD为直角梯形，AD/BC BAD=90，PA底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点求证：PBDM求BD与平面ADMN所成角的大小求二面角A-PB-C5.如图所示多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB=4，BC=2，C C1=3，BE=1 （补形成正方体）求BF求二面角A-EF-B6.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在棱CC1上求证：AEBD当A1E与面BED所成角为多大时，面A1BD面EBD在（2）的结论下，求此时二面角A-A1D-E的大小8.如图，在棱长AB=AD=2，AA1=3的长方体AC1中点E是平面BCC1B1上动点，点F是CD的中点试确定E的位置，使D1E平面AB1F求二面角B1-AF-B的大小9、 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形,平面底面 （）证明：平面；