数学圆锥曲线的概念,解题方法、题型、易误点总结

数学概念、方法、问题类型和容易延迟的总结技巧圆锥曲线1.圆锥曲线的两种定义：(1)在第一个定义中，我们应该注意括号中的限制条件：在椭圆中，两个固定点f，f的距离之和等于一个常数，并且这个常数必须大于。当常数等于时，轨迹为直线FF，当常数小于时，没有轨迹；在双曲线中，距离两个固定点f，f的距离之差的绝对值等于一个常数，这个常数必须小于|FF|。不能忽略定义中的“绝对值”和| ff |。如果=| ff |，轨迹是两条以f和f为端点的射线。如果ff |，则轨迹不存在。如果定义中的绝对值被移除，轨迹仅代表双曲线的一个分支。例如：(1)给定不动点，满足下列条件的平面上的移动点p的轨迹是椭圆的A.B.c . d .(a:c)；(2)方程表示的曲线是_ _ _ _ _ (a:双曲线的左分支)(2)在第二个定义中，应该注意固定点和固定直线是相应的焦点和准线，“点到点的距离是分子，点到线的距离是分母”，商是偏心率。圆锥曲线的第二个定义给出了从该点到圆锥曲线上焦点的距离和从该点到相应准线的距离之间的关系。我们应该善于用第二种定义把它们相互转化。如果已知点和抛物线上的移动点P(x，y)已知，则y |PQ|的最小值为_ _ _ _ _ (a: 2)2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置方程):(1)椭圆：当焦点在轴上时()(参数方程，其中是参数)，当焦点在轴上时=1()。方程表示椭圆的充要条件是什么？(ABC0，A、B、c符号相同，AB)。例如：(1)如果已知方程表示椭圆，则值的范围为_ _(A:)；(2)如果和的最大值为_ _，最小值为_ _ (A)(2)双曲线：聚焦轴：=1，聚焦轴：=1()。方程表达双曲线的充要条件是什么？(ABC0，和a、b不同的数字)。例如：(1)如果双曲线的偏心率等于椭圆并与椭圆有一个公共焦点，则双曲线的方程为(a:)；(2)如果中心在坐标原点、焦点和坐标轴，偏心率的双曲线C与该点相交，则C的方程为(A:)(3)抛物线：当向右打开时，向左打开，向上打开，向下打开。3.圆锥曲线焦点位置的判断(先转换成标准方程，再判断):(1)椭圆：由分母的大小决定，焦点在具有最大分母的坐标轴上。如果已知方程代表焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为_ _ (a)(2)双曲线：由项的正系数和负系数决定，焦点在具有正系数的坐标轴上；(3)抛物线：焦点在主项的坐标轴上，主项的符号决定开口方向。特别提醒：(1)解决椭圆和双曲线问题时，首先要判断焦点的位置，焦点的位置f，f是椭圆和双曲线的定位条件，它决定了椭圆和双曲线的标准方程的类型，方程中的两个参数决定了椭圆和双曲线的形状和大小，这是椭圆和双曲线的设定条件；在解抛物问题时，首先必须判断开口方向。(2)在椭圆中，最大值，在双曲线中，最大值。4.圆锥曲线的几何属性：(1)椭圆(以()为例):范围：(2)焦点：两个焦点；(3)对称性：两个对称轴，一个对称中心(0，0)和四个顶点，其中长轴为2，短轴为2；准线：两条准线；偏心率：椭圆越小，椭圆越圆；椭圆越大，越平坦。例如：(1)如果椭圆的偏心率为_ _(3或)；(2)当以椭圆上的一个点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1时，椭圆长轴的最小值为_ _ (A)(2)双曲线(以()为例):范围：或；(2)焦点：两个焦点；(3)对称性：两个对称轴，一个对称中心(0，0)和两个顶点，其中实轴长度为2，虚轴长度为2。特别地，当实轴和虚轴具有相同的长度时，它们被称为等边双曲线，并且它们的方程可以被设置为：准线：两个准线；离心率：双曲线、等边双曲线、较小、较小、较大、较大开口；两条渐近线：例如：(1)双曲线渐近线方程是，那么双曲线的偏心率等于_ _ _ _ _ _ (A:或)；(2)如果双曲线的偏心率为，则=(a: 4或)；(3)如果偏心率e，2设置为双曲线(a0，b0)，两条渐近线之间的角度的取值范围为_ _ _ _ _ _ (A:);(3)抛物线(例如):范围：(2)焦点：焦点，其几何意义是：从焦点到准线的距离；(3)对称性：对称轴，没有对称中心，只有一个顶点(0，0)；准线：准线；离心率：抛物线。如果是这样，抛物线的焦点坐标是_ _ _ _ _ _(A:)；(1)该点在椭圆之外；(2)椭圆上的点=1；(3)该点在椭圆中6.直线和圆锥曲线之间的位置关系：(1)交点：直线与椭圆相交；直线和双曲线相交，但直线和双曲线的相交不是必须的。当直线和双曲线的渐近线平行时，直线和双曲线只相交于一个交点，这是直线和双曲线相交的充分条件，但不是必要条件。直线与抛物线相交，但直线与抛物线的交点不一定存在。当直线平行于抛物线的对称轴时，直线只与抛物线相交一个交点，所以这只是直线与抛物线相交的一个充分条件，但不是一个必要条件。例如：(1)如果直线y=kx 2和双曲线x2-y2=6的右分支有两个不同的交点，那么k的取值范围是_ _ _ _ _ _ (a: (-，-1)；(2)如果直线y-kx-1=0与椭圆有一个公共点，则m的取值范围为(a: 1，5)(5，)；(3)穿过双曲线的右焦点线与双曲线在点A和点B相交。如果AB u 4，则有_ _ _ _ _条这样的线(A:3)；(2)相切：直线与椭圆相切；直线与双曲线相切；直线与抛物线相切；(3)分离：直线和椭圆分离；直线与双曲线分开。直线与抛物线分开。特别提醒：(1)当直线、双曲线和抛物线之间只有一个公共点时，有两种情况：相切和相交。如果直线平行于双曲线的渐近线，直线和双曲线相交，但只有一个交点；如果直线平行于抛物线的轴，则直线与抛物线相交，并且只有一个交点。(2)通过双曲线=1以外的点的直线与双曲线之间只有一个公共点，如下：当点P在两条渐近线之间且不包含双曲线时，有两条平行于渐近线的直线和两条与双曲线的两条分支相切的切线，共四条；(2)当点p在两条渐近线之间且在包含双曲线的区域中时，有两条平行于渐近线的直线和两条仅与双曲线的一条分支相切的切线，总共四条；(3) P在两条渐近线上，但不是原点，只有两条：一条是平行于另一条渐近线的直线，另一条是切线；(4)当p为原点时，不存在这样的直线；(3)总有三条直线穿过抛物线外的点，抛物线只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。例如：(1)直线和抛物线之间只有一个公共点，这样的直线有_ _ _ _ _ _(A:2)；(2)有交点(0，2)和双曲线且只有一个公共点的直线的斜率为_ _ _ _ _ _ (A:);(3)双曲线的右焦点在点A和点B处被一条直线穿过。如果是4，则有_ _ _ _条直线满足条件(A:3)；(4)对于抛物线C:我们说满意点在抛物线内。如果点在抛物线内，那么直线和p之间的位置关系如果双曲线的右焦点设为，右准线设为，如果一条直线分别与它的左分支、右分支和右准线相交，则和的大小关系为_ _ _ _ _ _(填入大于、小于或等于)(A:等于)；找出椭圆上的点到直线的最短距离(A:)；直线和双曲线相交于两点。(1)当值分别在双曲线的两个分支上时？(2)当值是多少时，以AB为直径的圆与坐标原点相交？(一)；)；7.焦点半径的计算方法(从圆锥曲线上的点P到焦点F的距离):使用圆锥曲线的第二种定义，到相应准线的距离，即焦点半径，被转换，其中从点P到对应于F的准线的距离被表示。例如：(1)如果从椭圆上的点P到椭圆左焦点的距离已知为3，则从点P到右准线的距离为_ _(A:)；(2)已知的抛物线方程是，如果从抛物线上的点到轴的距离等于5，那么从它到抛物线焦点的距离等于_ _；(3)如果抛物线上的点到焦点的距离为4，则该点的坐标为_ _ _ _ _(A:)；(4)点P在椭圆上，它到左焦点的距离是它到右焦点的距离的两倍，那么点P的横坐标是_ _ _ _ _ _(A:)；(5)如果抛物线上两点A和B到焦点的距离之和为5，线段AB中点到轴线的距离为(A:2)；椭圆上有一个点，f是右焦点，椭圆上有一个点m使这个值最小，那么点m的坐标就是(a)8.焦点三角形(由一个点和两个焦点在椭圆或双曲线上形成的三角形):第一个定义和正弦和余弦定理经常被用来解决这个问题。如果椭圆或双曲线上的一点到两个焦点的距离分别是，并且焦点的面积是，那么在椭圆中，当=，并且紧接着是短轴的终点时，最大值是=；(2)当它是短轴端点时，最大值为BC；双曲线的焦点三角形有：；.例如：(1)短轴长度为，偏心椭圆的两个焦点为，如果椭圆在a点和b点被一条直线穿过，圆周为(a: 6 );(2)设P为等边双曲线右支的上点，F1和F2为左右焦点。如果|PF1|=6，则双曲方程为(A:)；(3)双曲线的虚轴长为4，偏心率e=，F1和F2为其左右焦点。如果穿过F1的直线在点A和点B处与双曲线的左分支相交，并且等于差值，则=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _(A:)；(4)已知双曲线的偏心率为2，F1和F2是左右焦点，P是双曲线上的点，找到双曲线的标准方程(A:)；9.抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：(1)直径为穿过焦点的弦的圆与准线相切；(2)如果AB是焦点弦，M是准线和X轴的交点，那么AMF=BMF；(3)设AB为焦点弦，A和B在准线上的投影分别为A和B。如果p是AB的中点，paPb；(4)如果AO的延长线与C处的准线相交，BC则与X轴平行。相反，如果与X轴平行的直线交点B与C处的准线相交，则A、O和C共线。10.弦长公式：如果直线和圆锥在两点A和B相交，并且分别是A和B的横坐标，则=，如果它们分别是A和B的纵坐标，则=，如果弦AB的直线方程设置为，则=。特别是焦点和弦(通过焦点的和弦):焦点和弦的和弦长度的计算通常不基于和弦长度公式。相反，焦点弦被转换成两个焦点半径的和，并由第二个定义求解。例如：(1)抛物线y2=4x的焦点是在点A(x1，y1)和点B(x2，y2)与抛物线相交的直线。如果x1 x2=6，则|AB|等于_ _ _ _ _ _(a:8)；(2)穿过抛物线焦点的直线在点A和点B处与抛物线相交。如果|AB|=10已知且O为坐标原点，则ABC重心的横坐标为_ _ _ _ _ _(A:3)；11.圆锥曲线的中点弦问题：在中点弦问题的情况下，“维塔定理”o(2)如果已知直线Y=-X1在点A和点B处与椭圆相交，并且线段AB的中点在直线L上：X-2Y=0，则椭圆的偏心率为_ _ _ _ _ _(A:)；(3)尝试确定M的取值范围，使椭圆上有两个不同的点关于直线(A:)对称；特别提醒：因为直线和圆锥在两点相交是必要条件，所以在解决与弦长和对称性相关的问题时，不要忘记检查。12.你理解以下结论吗？(1)双曲线的渐近线方程是：(2)以渐近线的双曲方程(即具有双曲线的渐近线)为参数，0。如果有一条带有双曲线的公共渐近线，并且在交点处的双曲线方程是(a)(3)以原点和对称轴为中心的椭圆和双曲方程可以设置如下：(4)椭圆和双曲线(弦线通过焦点并垂直于对称轴)的路径为，焦距(焦点到相应对准的距离)为，抛物线的路径为，焦距为；(5)路径是所有焦点弦(穿过焦点的弦)中最短的弦；(6)如果抛物线焦点弦是AB，那么(1)；(7)如果OA和OB是穿过抛物线顶点O的两个相互垂直的弦，那么直线AB会不断地穿过固定点13.移动点轨迹方程；(1)求解轨迹方程的步骤如下：建立系统、设置点、安排公式、简化和确定点的范围；(2)求解轨迹方程的常用方法：(1)直接法：直接利用条件建立它们之间的关系；如果已知从移动点p到固定点F(1，0)和直线的距离之和等于4，则得到p的轨迹方程。(a:或)；(2)待定系数法：知道待求曲线的类型，找到曲线的方程首先根据条件设置待求曲线的方程，然后根据条件确定其待定系数。如果线段AB穿过x轴正半轴上的点M(m，0)，从端点a和b到x轴的距离的乘积为2m，x轴作为对称轴，三个点a、o和b作为抛物线，则抛物线方程为(a:)；(3)定义方法：首先根据条件，运动点的轨迹是一条已知的曲线，然后由曲线的定义直接写出运动点的轨迹方程；如果(1)从运动点p到圆有两条切线PA和PB，且切点分别为a和b，则运动点p的轨迹方程为(a:)；(2)如果点m和点F(4，0)之间的距离小于它到一条直线的距离1，那么点m的轨迹方程是_ _ _ _ _ _(a:)；(3)如果移动圆和两个圆M:和N:都是外切的，则移动圆的中心轨迹是(a:双曲线的一个分支)；(4)替代转移法：如果移动点随另一个移动点的变化而变化，并且在一条已知曲线上，可以先用代数表达式表示，然后代入已知曲线，得到所需的轨迹方程；如果移动点p是抛物线的任意一点，不动点是，点m与m之比是2，那么m的轨迹方程是_ _ _ _ _ _(a:)；(5)参数法：当移动点的坐标之间的关系不容易直接找到并且没有相关的移动点可用时，可以考虑使用中间变量(参数)