长沙雅礼中学高三第三次月考文科数学

湖南省长沙雅礼中学2009届高三第三次月考文科数学雅礼中学高三数学备课组组稿命题人：唐丙乾 审题人：薛祖山 常军时量：120分钟 满分：150分（考试范围：集合与逻辑、函数与导数、数列与不等式、三角函数与平面向量、立体几何） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1曲线yx3 x2x1在x1处的切线的倾斜角为 （ D ） A 30 B60 C150 D120【解析】对函数yx3 x2x1求导得，曲线在x1处的切线的斜率为，则它的倾斜角为120选D2已知集合Pxx12，Qxxa ，则集合PQ 的充要条件是 （ C ） Aa3 Ba1 Ca3 Da1 【解析】化简得：集合P3，1，利用数轴分析得：PQ，当且仅当a3选C3等差数列 a n 中，a 13 a 8a15120，则2 a 9a 10 （ A ） A24 B.22 C20 D. 8【解析】利用等差数列性质得：a 1 3 a 8a 155 a 8120，则2 a 9a 10 a 824，选A.4.已知点A（2，1），B（0，2），C（2，1），O（0，0）给出下面的结论： /； 2其中正确结论的个数是 （ B ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【解析】正确，选B5. 长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD4，AB3，则直线A1B与平面 A1B1CD所成角的正弦值是 （ C ）A. B. C. D. 【解析】由条件知，BC1平面A1B1CD，设BC1B1CO，则BA1O为所求角，其正弦值为选Cx20f（x）0.59216. 若函数 f（x）a x (a0，a1 ) 的部分对应值如表：则不等 式f1（x0）的解集是 （ D ） A. x1x1 B. xx1或x1 C. x0x1 D. x1x0或0x1【解析】由表中条件得：a1，则解不等式f1（x）logax0，得选D.7.函数f（x）sinx在区间a，b上是增函数，且f（a）1，f（b）1，则cos的值为 （ C ）A. 0 B. C. 1 D. 1【解析】由条件得：a2k，b2k( kZ)，于是cos1，选C8. 已知m，l是异面直线，给出下列命题：一定存在平面过直线l且与直线m平行.一定存在平面与直线l、m都垂直. 一定存在平面过直线l且与直线m垂直.一定存在平面与直线l、m的距离相等.其中，正确的命题个数有 （ B ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4个【解析】正确，选B.9. 设函数f（x）定义在实数集R上，它的图像关于直线x1对称，且当x1时，f（x）3x1，则有 （ B ）A. f（）f（）f（） B. f（）f（）f（） C. f（）f（）f（） D. f（）f（）f（） 【解析】由条件得：x1时，f（x）递增，且f（）f（），f（）f（），得选B.10. 设f（x）是定义是R上恒不为零的函数，对任意x，yR，都有f（x）f（y）f（xy）,若a1，an f（n）(n为正整数)，则数列 an 的前n项和Sn的取值范围是（ D ）A. Sn2 B. Sn2 C. Sn1 D. Sn1 【解析】由条件得：f（n）f（1）f（n1），即an+1an，得数列 an 是首项与公比均为的等比数列，求和得Sn1（）n，得选D .选择题答题卡题号12345678910答案DCABCDCBBD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在横线上.11. 如图，函数f（x）的图像是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f（f（0） 2 ；函数f（x）在x3处的导数f（3） 1 .【解析】f（f（0）2，及f（3）即线段BC在x3处的切线的斜率，得f（3）1.12. 如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D. 现测得BCD15，BDC30，CD30米，并在点C测得塔顶A的仰角为60，则塔高AB 15 米.【解析】BCD中，由正弦定理得BC15，在直角BCA中，求得AB15.13. 将锐角为BAD60且边长是2的菱形ABCD，沿它的对角线BD折成60的二面角，则：异面直线AC与BD所成角的大小是 90. 点C到平面ABD的距离是 .【解析】设BD中点为O，则有BD平面AOC，则BDAC. 及平面ABD平面AOC. 且AOC是边长为的正三角形，作CEAO，则CE平面ABD，于是异面直线BD与AC所成的角是：90，点C到平面ABD的距离是CE.14. 一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据道路交通安全法规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过 5 小时，才能开车？（精确到1小时）.【解析】设x小时后，血液中的酒精含量不超过0.09 mg/ml，则有0.3（）x0.09，即（）x0.3，估算或取对数计算得：5小时后，可以开车. 15. 给出下列四个结论：“k1”“是函数ycos2 k xsin2 k x的最小正周期为”的充要条件. 函数ysin（2 x）沿向量a（，0）平移后所得图象的函数表达式是：ycos2 x.函数ylg(a x22 a x1)的定义域是R，则实数a的取值范围是（0，1）.单位向量a、b的夹角是60，则向量2ab的模是.其中不正确结论的序号是 .（填写你认为不正确的所有结论序号）【解析】正确的是.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. （本小题满分12分） 已知是锐角，且tan()2. 求： （1）tan的值. （2）的值. 解：（1）由tan()2，解得tan. （3分） （2）由tan.及sin2cos21 并注意到是锐角，得cos. （7分） （9分） . （12分）17. （本小题满分12分） 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PAB是等边三角形，O是AB的中点，且POAC.（1）求证：平面PAB平面ABCD；（2）求二面角PACB的正切值.解：（1）因PAB是正三角形，O是AB的中点，则 POAB. （2分） 又POAC，则PO平面ABCD. （4分） 由PO平面PAB，得平面PAB平面ABCD. （6分）（2）作OEAC于E，连PE , 由三垂线定理得：PEAC.所以PEO是二面角PACB的平面角. （8分）设AB2a，得POa，在直角三角形AOE中，得OEa，于是直角三角形POE中，tanPEO.即二面角PACB的正切值是（12分）18. （本小题满分12分） 设定义在R上的函数f（x）a x4b x3c x在x时取得极大值.且函数yf（x）的图象关于y轴对称.（1）求函数f（x）的解析式； （2）求出函数f（x）在区间1，1 上的最大值和最小值；（3）对任意x1、x21，1 ，求证：f（x1）f（x2）.解：求导得：f（x）4a x33b x2c. 由其图象关于y轴对称得：f（x）f（x）， 化得：8a x30对一切实数x成立，得：a0. （2分） c0又f（），f（）0，得 解得：b，c1.于是f（x） x3x. （5分）（2）由（1）得：f（x）2 x210，得x.f（x）在区间1，和，1上递增，在区间（，）上递减.计算得：在区间1，1 上，f（x）的最大值是f（），最小值是f（）. （9分）（3）由（2）得：任意x1、x21，1 ，有f（x1），f（x2），则f（x1）f（x2），即得：f（x1）f（x2）.（12分）19. （本小题满分13分） D是三角形ABC中BC边的中点，过点D作直线分别交直线AB、AC于点M、N，设m，n，a，b. 且m0，n0.（1）分别用向量a、b表示向量和；（2）求证：是定值；（3）求mn的最小值.解：（1）如图，因D是AB中点， （ ）m（m）ab. nbma（4分）（2）由M、N、D三点共线，得：.即：（m）ab（ nbma）.于是：mm，且n.消去得：mn2mn.得2.是定值（9分）（3）由（2）得：mn（mn）（）1（）12（等号在mn1时成立.），即得：mn的最小值是2. （13分）20. （本小题满分13分） 已知定义在R上的函数f（x）满足：f（xy）f（x）f（y），当x0时，f（x）0.（1）求证：f（x）在R上是增函数；（2）解关于x的不等式：f（mx2）2f（x）f（m2x）2f（m）（m0，且m为常数）.解：（1）设x1、x2R，且x1x2t（t0），则f（t）0. 且f（x1）f（x2t）f（x2）f（t）f（x2），即x1x2时，f（x1）f（x2）， f（x）在R上是增函数. （6分）（2）由条件得：2 f（m）f（m）f（m）f（2m）.同理2f（x）f（2 x）f（mx2）2f（x）f（m2x）2f（m） f（mx2）f（2m）f（m2x）f（2x） f（mx22m）f（m2x2x） mx22mm2x2x mx2（m22）x2m0 m0， x2（m）x2m0，（x）（xm）0（10分）当m，即m时，不等式的解集为 xx或xm；当m，即0m时，不等式的解集为 xxm或x.当m，即m时，不等式的解集为 xx，xR .（13分）21. （本小题满分13分） 数列an中a1t，a2t2（t0且t1）. x是函数f（x）an-1 x33（t1）anan+1 x1（n2）的一个极植点.（1）证明数列 an-1an是等比数列，并求数列an的通项公式；（2）记bn2（1），当t2时，数列bn的前几n项和为Sn，求使Sn2008的n 的最小值；（3）当t2时，是否存在指数函数g（x），使得对于任意的正整数n有成立？若存在，求出满足条件的一个g（x）；若不存在，请说明理由（说明： f（k）f（1）f（2）f（n）.解：（1）f（x）3an-1 x23（t1）anan+1 （n2）. 由题意f（）0，即3an-1（）23（t1）anan+1 0（n2）， an+1ant（anan1）（n2）， t0且t1，且a2a1t（t1）0 . 数列 an+1an是以t2t为首项，t为公比的等比数列， an+1an（t2t）tn1（t1）tn ， a2a1（t1）t ， a3a2（t1）t2，anan1（t1）tn1 以上各式两边分别