内蒙古高考数学一模理

内蒙古2019届高考数学一模试题 理（含解析）一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.若复数满足,则()A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的除法运算化简，再由复数模的计算公式求解【详解】解：由，得，故选：C【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题2.设集合,则集合中元素的个数为()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意可得出：从,任选一个；或者从,任选一个；结合题中条件,确定对应的选法，即可得出结果【详解】解：根据条件得：从,任选一个,从而,任选一个,有种选法；或时, ,有两种选法；共种选法； C中元素有个 故选：A【点睛】本题主要考查列举法求集合中元素个数，熟记概念即可，属于基础题型.3.已知单位向量，的夹角为，若向量，且，则()A. B. 2C. 4D. 6【答案】C【解析】【分析】根据单位向量，的夹角为，可得由向量，且，可得，解得进而得解【详解】解：单位向量，的夹角为，向量，且，解得则故选：C【点睛】本题考查了向量数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4.已知双曲线的左、右顶点分别为，点是双曲线上与不重合的动点，若， 则双曲线的离心率为()A. B. C. 4D. 2【答案】D【解析】【分析】设，根据可得，再根据又，由可得，化简可得，即可求出离心率【详解】解：设，即，又，由可得，即，故选：D【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查了斜率的计算，离心率的求法，属于基础题和易错题5.在中，角的对边分别为，若则角的大小为()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由正弦定理化简已知等式可得，结合，可得，结合范围，可得，可得，即可得解的值【详解】解：，由正弦定理可得：，故选：A【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题6.如图所示的茎叶图为高三某班名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的，为茎叶图中的学生成绩，则输出的，分别是（） A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】试题分析：由程序框图可知，框图统计的是成绩不小于和成绩不小于且小于的人数，由茎叶图可知，成绩不小于的有个，成绩不小于且小于的有个，故，考点：程序框图、茎叶图【思路点睛】本题主要考查识图的能力，通过对程序框图的识图，根据所给循环结构中的判断框计算输出结果，属于基础知识的考查由程序运行过程看，两个判断框执行的判断为求个成绩中成绩不小于和成绩不小于且小于的个数，由茎叶图可知，成绩不小于的有个，成绩不小于且小于的有个7.九章算术第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”如：甲、乙、丙、丁“哀”得,个单位,递减的比例为,今共有粮石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,已知丙衰分得石,乙、丁衰分所得的和为石,则“衰分比”与的值分别为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设“衰分比”为,甲衰分得石,由题意列出方程组,由此能求出结果【详解】解：设“衰分比”为,甲衰分得石,由题意得,解得,故选：A【点睛】本题考查等比数列在生产生活中的实际应用,是基础题,解题时要认真审题,注意等比数列的性质的合理运用8.函数的大致图象为()A. B. C. D. 【答案】A【解析】令，则，即函数的图像关于原点对称，排除选项C,D;当时，排除选项B；所以选A.考点：函数的图像与性质.9.如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是 （ ）A. B. C. 三棱锥的体积为定值D. 异面直线所成的角为定值【答案】D【解析】试题分析：AC平面，又BE平面，ACBE故A正确EF垂直于直线，平面AEF故B正确C中由于点B到直线的距离不变，故BEF的面积为定值又点A到平面BEF的距离为，故VA-BEF为定值C正确当点E在处，F为的中点时，异面直线AE，BF所成的角是FBC1，当E在上底面的中心时，F在C1的位置，异面直线AE，BF所成的角是EAA1显然两个角不相等，D不正确考点：棱柱的结构特征；异面直线及其所成的角【此处有视频，请去附件查看】10.经过对中学生记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：记忆能力46810识图能力3568由表中数据，求得线性回归方程为，若某中学牛的记忆能力为14，则该中学生的识图能力为（ ）A. 7B. 9.5C. 11.1D. 12【答案】C【解析】【分析】根据数据求出样本中心，代入求出0.1，然后令x14进行求解即可【详解】解：x的平均数，y的平均数，回归方程过点，即过（7，5.5）则5.50.87+得0.1，则0.8x0.1，则当x14时，y0.8140.111.20.111.1，即该中学生的识图能力为11.1，故选：C【点睛】本题主要考查回归方程必过样本中心的性质，求出样本中心是解决本题的关键，属于基础题.11.以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点,顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形,那么这个椭圆的离心率为()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设椭圆的两个焦点为,圆与椭圆交于,四个不同的点,设,则,由椭圆的定义知,根据离心率公式求得答案【详解】解：设椭圆的两个焦点为,圆与椭圆交于,四个不同的点,设,则,椭圆定义,得,所以,故选：B【点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，熟记椭圆的定义以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.12.已知函数,若恒成立,则整数的最大值为()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题得h（x）=k即h（x）的最小值大于k，h（x）=，记g（x）=x3ln（x-1），（x2），通过g(x)找到函数h(x)的单调性和最小值即得解.【详解】f（x）恒成立，即h（x）=k即h（x）的最小值大于k而h（x）=，记g（x）=x3ln（x-1），（x2），则g（x）=0，g（x）（2，+）上单调递增，又g（4）=1ln30，g（5）=22ln20，g（x）=0存在唯一实根a，且满足a（4，5），a-3=ln（a-1），当xa时，g（x）0，h（x）0，当2xa时，g（x）0，h（x）0，h（x）min=h（a）=a-1（3，4），故正整数k的最大值是3故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查函数的零点，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解题的关键是找到函数的单调性和a的取值范围.二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.已知的终边过点，若，则_【答案】【解析】【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的值【详解】的终边过点，若， 即答案为-2.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义和诱导公式，属基础题.14.设,满足约束条件,若目标函数的最大值为,则的最小值为_【答案】【解析】【分析】先根据条件画出可行域,设,再利用几何意义求最值,将最大值转化为轴上的截距,只需求出直线,过可行域内的点时取得最大值,从而得到一个关于,的等式,最后利用基本不等式求最小值即可【详解】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分, 当直线过直线与直线的交点时,目标函数取得最大,即,即,而故答案为：【点睛】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用、简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题15.“雾霾治理”“延迟退休”“里约奧运”“量子卫星”“神舟十一号”成为现在社会关注的个热点小王想利用暑假时间调查一下社会公众对这些热点的关注度若小王准备按照顺序分别调査其中的个热点,则“量子卫星”作为其中的一个调查热点,但不作为第一个调查热点的种数为_【答案】【解析】【分析】根据题意,分步进行分析：,由题目的限制条件分析易得“量子卫星”有种安排方法,在剩下的个热点中任选个,安排在剩下的个位置,即可得出结果.【详解】解：根据题意,分步进行分析： ,小王准备把“量子卫星”作为其中的一个调查热点,但不作为第一个调查热点,则“量子卫星”可以安排在后面的三个位置,有种安排方法, ,在剩下的个热点中任选个,安排在剩下的个位置,有种安排方法, 则有种不同的安排方法； 故答案为：【点睛】本题考查排列、组合的应用,注意优先分析受到限制的元素,属于基础题16.如图，在三棱锥中，平面，已知，则当最大时，三棱锥体积为_【答案】4【解析】设，则，当且仅当，即时，等号成立.,故答案为：4三、解答题(本大题共7小题,共70.0分)17.已知等比数列的各项均为正数，公比为；等差数列中，且的前项和为，.（1）求与的通项公式；（2）设数列满足，求的前项和.【答案】（1），（2）【解析】试题分析：（1）利用等差数列与等比数列的关系式，列出方程，即可求出通项公式；（2）表示出，利用裂项求和，求解即可.r试题解析：设数列的公差为 ， ， ， 由题意得： ， .点睛：本题主要考查了等差数列，等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.18.在某外国语学校举行的(高中生数学建模大赛)中,参与大赛的女生与男生人数之比为,且成绩分布在,分数在以上(含)的同学获奖按女生、男生用分层抽样的方法抽取人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图如图所示()求的值,并计算所抽取样本的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；()填写下面的列联表,并判断在犯错误的概率不超过的前提下能否认为“获奖与女生、男生有关”女生男生总计获奖不获奖总计附表及公式：其中,【答案】（），；（）详见解析.【解析】【分析】()根据概率的性质知所有矩形的面积之和等于列式可解得； ()由频率分布直方图知样本中获奖的人数为,不获奖的人数为,从而可得列联表,再计算出,与临界值比较可得详解】解：(),()由频率分布直方图知样本中获奖的人数为,不获奖的人数为,列联表如下：女生男生总计获奖不获奖总计因为,所以在犯错误的概率不超过的前提下能认为“获奖与女生,男生有关”【点睛】本题主要考查独立性检验，以及由频率分布直方图求平均数的问题，熟记独立性检验的思想，以及平均数的计算方法即可，属于常考题型.19.已知点和椭圆. 直线与椭圆交于不同的两点. () 求椭圆的离心率；() 当时，求的面积；（）设直线与椭圆的另一个交点为，当为中点时，求的值 .【答案】（）（）4（）【解析】分析】（）直接求出a和c,求出离心率；（）设P（x1，y1），Q（x2，y2），利用韦达定理求出，再求PBQ的面积；（）设点C（x3，y3），由题得，再求出或，即得k的值.【详解】解：（）因为a2=4，b2=2，所以，所以离心率（）设P（x1，y1），Q（x2，y2），若，则直线l的方程为，由，得3x2+4x-4=0，解得，设A（0，1），则（）设点C（x3，y3），因为P（x1，y1），B（0，-2），所以，又点P（x1，y1），C（x3，y3）都在椭圆上，所以，解得或，所以或【点睛】本题主要考查椭圆离心率的求法，考查三角形面积的计算，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.20.如图，在梯形中，四边形是矩形，且平面平面.（）求证:平面；（）当二面角的平面角的余弦值为,求这个六面体的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）由，可得，由面面垂直的性质可得结果；（2）以为轴, 轴, 轴建立平面直角坐标系,设,利用向量垂直数量积为零列方程求出平面的一个法向量与平面的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式，列方程可求得，由棱锥的体积公式可得结果.【详解】（）在梯形中,.,.平面平面,平面平面,平面. （）在中,.分别以为轴,轴,轴建立平面直角坐标系, 设,则,则,易知平面的一个法向量为,设平面的法向量为,即令,则,平面的法向量为,二面角的平面角的余弦值为,解得,即.所以六面体的体积为：.【点睛】本题主要考查证明线面垂直、利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.21.已知函数()当时,讨论函数单调区间；()当时,求证：【答案】（）详见解析；（）详见解析.【解析】【分析】()求函数的导数,结合函数单调性和导数之间的关系进行求解即可()将不等式进行等价转化为,构造函数,求函数的导数,研究函数的单调性,利用函数的单调性证明即可【详解】解：()当时,当时,在上恒成立函数在单调递减；当时,由得,由得,的单调递减区间为,单调递增区间为,综上,当时,的单调递减区间为,无单调递增区间,当时,的单调递减区间为,单调递增区间为(II)证明：,即,欲证即证明,令,则,显然函数在上单调递增,即,在上单调递增,时,即,当时,成立【点睛】本题主要考查导数的综合应用,结合函数的单调性和导数之间的关系,以及利用构造函数,将不等式进行转化是解决本题的关键22.在平面直角坐标系中，已知曲线 （为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和直