广东佛山高明区高三数学上学期第二周考试文

高三文科数学第二周周六测试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A B C D2.若复数满足，其中为虚数单位，则（ ）A B C 2 D134正视图23侧视图2俯视图3.设，则的大小关系是（ ）A B C D4一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C. D5若向量，则向量与向量的夹角等于（ ）A B C. D6.已知圆与直线有两个交点，则正实数的值可以为（ ）A B C. 1 D7.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学典籍，其中第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果（ ）A 4 B5 C. 2 D38. 设函数,若，的反函数，则的值为( ) A B. C. D. 9.已知函数的图像与轴交点的横坐标依次构成一个公差为的等差数列，把函数的图像沿轴向左平移个单位，得到函数的图像，则下列叙述正确的是（ ）A的图像关于点对称 B的图像关于直线对称 C. 在上是增函数 D在上是减函数10.已知点为抛物线的焦点，过点且倾斜角为的直线交曲线于两点（点在第一象限，点在第四象限），为坐标原点，过作的准线的垂线，垂足为，则与的比为（ ）A B C. D11.已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，平面，则球的表面积为（ ）A B C. D12.已知函数是定义在上的偶函数，且满足，当时，若在区间上，方程恰有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）A B C. D二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） .14已知曲线在点处的切线与直线垂直，则等于 15.已知数列是等比数列，则 16.近年来，随着信息技术的发展，网络购物已经成为人们现代生活的一部分，人们足不出户就可以买到心仪的商品，小王在某网站上确定订单后，快递员电话通知于周五早上7:30至8:30送货到家，如果小王这一天离开家的时间为早上8:00至9:00，那么在他离开家之前拿到邮件的概率为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知的内角所对的边分别为，若，.（1）求角的大小；（2）若，求的值.18. “累积净化量”是空气净化器质量的一个重要衡量指标，它是指空气净化从开始使用到净化效率为50%时对颗粒物的累积净化量，以克表示，根据空气净化器国家标准，对空气净化器的累计净化量有如下等级划分：累积净化量（克）12以上等级为了了解一批空气净化器（共5000台）的质量，随机抽取台机器作为样本进行估计，已知这台机器的累积净化量都分布在区间中，按照、均匀分组，其中累积净化量在的所有数据有：4.5,4.6,5. 2,5.3,5.7和5.9，并绘制了频率分布直方图，如图所示：（1）求的值及频率分布直方图中的值；（2）以样本估计总体，试估计这批空气净化器（共5000台）中等级为的空气净化器有多少台？（3）从累积净化量在的样本中随机抽取2台，求恰好有1台等级为的概率.ABDCPEF19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面，且，设分别为的中点.（1）求证：平面；（2）求证：面平面；（3）求三棱锥的体积.20. 已知椭圆：的两个焦点是，点在椭圆上，且.（1）求椭圆的方程；（2）设点关于轴的对称点为，是椭圆上一点，直线和与轴分别交于点为原点，证明：为定值.21. 已知函数.（1）试讨论函数的单调性；（2）若在上恒成立，求的取值范围；（3）证明：.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，以极点为原点，以极轴为轴正半轴，建立直角坐标系，已知点的坐标为，直线的参数方程为（为参数），且与曲线交于两点.（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）求的值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）求的解集；（2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围. 参考答案：一、选择题1-5: BADCC 6-10:DADDC 11、12：BC二、填空题13. 14. -2 15. -7 16. 三、解答题17.（1）因为，由余弦定理得：，即.所以.由于，所以.（2）由及，得，即，解得或（舍去）由正弦定理得：，得.18.（1）因为在之间的数据一共有6个，再由频率分布直方图可知：落在之间的频率为.因此，.，.（2）由频率分布直方图可知：落在之间共24台，又因为在之间共4台，落在之间共28台，故这批空气净化器等级为的空气净化器共有台.（3）设“恰好有1台等级为”为事件，依题意，落在之间共有6台，记为：，属于国标级有4台，我们记为：，则从中随机抽取2个，所有可能的结果有15种，它们是，而事件的结果有8种，它们是：，因此事件的概率为.19.（1）证明：因为为正方形，连接交于点，又因为在中，为中点，为中点，且平面，平面，平面；（2）证明：因为为正方形，又面面，平面平面，平面，所以平面，又，所以是等腰直角三角形，且，即，又因为，且平面，所以平面，又平面，平面平面（3）因为，所以点到平面的距离等于点到平面距离，所以所以三棱锥的体积是.20.（1）由椭圆的定义，得，将点的坐标代入，得，解得：.所以，椭圆的方程是.（2）证明：依题意，得，设，则有，直线的方程为，令，得，所以.直线的方程为，令，得，所以.所以所以为定值.21.（1）由题可知，定义域为，所以，若，恒成立，在单调递减.若，当时，单调递减，当时，单调递增.（2）不等式在区间上恒成立，则，故，设，由于，令，得，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，因此，即.（3）因为，即，从而得到，对依次取值2,3,4，可得，对上述不等式两边依次相加得到：，（，）.22.（1），由，得.，即为曲线的直角坐标方程；由消去参数可得直线的普通方程为.（2）把直线的