广东南民私立中学高三数学第一轮复习 复数的基本概念

第一节 复数的基本概念一、知识归纳1、知识精讲：1）复数的概念：形如a+bi（a、bR）的数。a、b分别叫做它的实部与虚部。2）复数的分类：复数a+bi（a、bR），当b=0时就是实数；当b0时，叫做虚数；当a=0，b0时，叫做纯虚数。3）复数相等的充要条件：若a、b、c、dR，则a+bi=c+dia=c，b=d。注:两个实数可以比较大小,但两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小。4）共轭复数：两个复数的实部相等，虚部互为相反数。即若z=a+bi，则=a-bi，（a、bR）注： 当b0时，又可说成互为共轭虚数；实数的共轭复数是其本身。5）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面。x轴叫做实轴，y轴除去原点的部分叫做虚轴。注：复数z=a+bi（a、bR）与复平面内的点P(a,b)及向量是一一对应的.6）复数是实数的充要条件： z=a+biRb=0（a、bR）； zRz=； ZR。7）复数是纯虚数的充要条件： z=a+bi是纯虚数a=0且b0（a、bR）； z是纯虚数或0Z+=0；z是纯虚数 z20。8)复数的摸：|z|=|a+bi|=，显然有|z|=|。9）几个重要结论：； ；2重点难点：复数的概念。3思维点拨：转化的思想，将复数问题转化为实数问题。4特别注意：不一定等于。二问题讨论例1：设复数z=lg(m22m2)+(m2+3m+2)i，试求实数m取何值时，(1)z是纯虚数；(2)z是实数; (3)z对应的点位于复平面的第二象限.解：（1）由，得；（2）由m2+3m+2=0得m=1，2。（3）由得或。【思维点拨】对复数的分类条件要注意其充要性；对复数相等、共轭复数的概念的运用也是这样。例2：设zC,求满足 且|z2|=2的复数z。解：，或，设，则或。当时，所以，故或4。不合舍去，z=4。当时，由|Z2|=2得，联立解得，综上可得：z=4或。【思维点拨】利用复数是实数的充要条件解题有时会显得简单。变式：已知zC，|z2|=1且复数z2对应的点落在直线y=x上，求z。解：设z2=a+ai，|z2|=1，或。【思维点拨】从整体出发利用条件，可简化运算，本题也可设z=a+bi再利用条件，但运算复杂。例3：求7+24i的平方根。解：设平方根为x+yi（x，yR），则(x+yi)2=7+24i。即或，故7+24i的平方根为(4+3i)。例4：已知z=1+i，a，b为实数，(1)若=z2+34,求|; (2)若，求a，b的值。解：（1）=(1+i)2+3(1i)4=1i，。（2）由条件，。【思维点拨】利用复数的充要条件解题。例5：已知，对于任意的xR均有|z1|z2|成立,试求实数a的取值范围。解：|z1|z2|，对成立。当，即时，不等式成立；当时。综上得。【思维点拨】通过转化将复数问题变为实数问题是常用手段。例6：已知i是虚数单位，数z和满足z+2iz2i+1=0，且|z|2=3。求证：|4i|的值是一个常数，并求这个常数。解：z(+2i)=2i1, ,。设，。，即,。所以|4i|是一个常数。三、课堂小结1 在复数的求解过程中，要