广东湛江第一中学高三数学下册 尖子生辅导卷五 沪教

1 广东省湛江第一中学高三数学下册广东省湛江第一中学高三数学下册 尖子生辅导卷（五）尖子生辅导卷（五） 沪教版沪教版 2(本大题满分 14 分）设函数f(x)(x1)ln(x1)，若对所有的x0，都有f(x)ax 成立，求实数a的取值范围 3 ( 本小题满分 15 分) 已知是函数的一个极值点，其中，1x 32 ( )3(1)1f xmxmxnx,0m nR m （I）求与的关系式；mn （II）求的单调区间；( )f x （III） 当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3，求1,1x ( )yf xm 的取值范围.m 2 4 （本题满分 14 分） 已知是函数的两个极值点，且 21 xx 、)0( 23 )( 223 axax b x a xf2| 21 xx （1）求 a、b 关系式并指出 a 的取值范围； （2）求实数 b 的取值范围； 5设函数，其图象在点处 32 1 3 f xaxbxcx abc 1,1 ,AfB m f m 的切线的斜率分别为 0，-a. （1）求证：01; b a （2）若函数 f（x）的递增区间为s，t，求|s-t|的取值范围； （3）若当 ,0,k.xkfxa时k是与a, b, c无关的常数恒有试求的最小值 6 （12 分）已知函数。 322 2)(abxaaxxf ()当的值及baxfxxfx、，求时，；当时，0)()6()2(0)()62( 的表达式。)(xf （）设的值恒为负)() 16(2) 1(4)( 4 )(xFkkxkxf k xF取何值时，函数， 值？ 3 7 （本小题满分 14 分） 已知曲线和它们交于点 P,过 P 点 1 y x 2 yx 的两条切线与轴分别交于 A，B 两点。 x 求ABP 的面积。 8(本小题满分12 分) 已知函数是奇函数，且函数f(x)的极大值与极小值的差为 4. 32 ( )3f xaxbxx () 求a，b的值； () 过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程. 9 已知函数 22 ( )4()f xxaxaaR (1)如果关于的不等式的解集为，求实数的最大值；x( )f xxRa (2)在（1）的条件下，对于任意实数，试比较与的大 小；x( )fff xx (3)设函数，如果在区间上存在极小值，求实数的取 3 ( )23( )g xxaf x( )g x0,1a 值范围。 4 10、 （本题 14 分） 已知函数36)2( 2 3 )( 23 xxaaxxf （I）当时，求函数的极小值2a)(xf （II）试讨论曲线与轴的公共点的个数。)(xfy x 11. （本小题满分 14 分） 已知函数的图像经过原点 O，且在处取得极值，曲线f xxbxcxd( ) 32 x 1 在原点处的切线与直线的夹角为 45，且切线的倾斜角为钝角。yf x( )lyx 2l （I）求的解析式；f x( ) （II）若函数的图像与函数的图像恰有 3 个不同交g xmxmx( ) 2 6yf x( ) 点，求实数 m 的取值范围。 5 高三文科数学尖子生辅导卷（五）参考答案 1解：（1） 22 34)(aaxxxf ， 令 22 34)(aaxxxf得 x=a 或 x=3a 由表 x 3 f 0+0 f 递减 ba 3 3 4递增b递减 可知：当时，函数 f ()为减函数，当时，函数 f（）也为),(axxx),3(ax 减函数：当时，函数 f()为增函数。)3 ,(aaxx （2）由，得。)(x f aa 22 34aaxxa 01， a+12，=在a+1，a+2上为减函数。aa)(x f 22 34aaxx max =(a+1)=2a1, min=(a+2)=4a4.)(x f f)(x f f 于是，问题转化为求不等式组 2a1a， 4a4a 的解。 解不等式组，得 5 4 a1。 又 0a1， 所求a的取值范围是 5 4 a1。 2 2解法一解法一：令g(x)(x1)ln(x1)ax， 对函数g(x)求导数：g(x)ln(x1)1a 令g(x)0，解得xea11， 5 分 (i)当a1 时，对所有x0，g(x)0，所以g(x)在0，)上是增函数， 又g(0)0，所以对x0，都有g(x)g(0)， 即当a1 时，对于所有x0，都有 f(x)ax 9 分 (ii)当a1 时，对于 0xea11，g(x)0，所以g(x)在(0，ea11)是减函 数， 又g(0)0，所以对 0xea11，都有g(x)g(0)， 即当a1 时，不是对所有的x0，都有f(x)ax成立 综上，a的取值范围是（，1 12 分 高二数试 4（共 5 页） 6 解法二：解法二：令g(x)(x1)ln(x1)ax， 于是不等式f(x)ax成立即为g(x)g(0)成立 3 分 对函数g(x)求导数：g(x)ln(x1)1a 令g(x)0，解得xea11， 6 分 当x ea11 时，g(x)0，g(x)为增函数， 当1xea11，g(x)0，g(x)为减函数， 9 分 所以要对所有x0 都有g(x)g(0)充要条件为ea110 由此得a1，即a的取值范围是（，1 3解(I)因为是函数的一个极值点, 2 ( )36(1)fxmxmxn1x ( )f x 所以,即，所以(1)0 f 36(1)0mmn36nm （II）由（I）知，= 2 ( )36(1)36fxmxmxm 2 3 (1)1m xx m 当时，有，当变化时，与的变化如下表：0m 2 11 m x( )f x( )fx x 2 ,1 m 2 1 m 2 1,1 m 1 1, ( )fx0 0 0 0 0 ( )f x调调递减极小值单调递增极大值单调递减 故有上表知，当时，在单调递减，0m ( )f x 2 ,1 m 在单调递增，在上单调递减. 2 (1,1) m (1,) （III）由已知得，即( )3fxm 2 2(1)20mxmx 又所以即0m 2 22 (1)0 xmx mm 2 22 (1)0,1,1xmxx mm 设，其函数开口向上，由题意知式恒成立， 2 12 ( )2(1)g xxx mm 所以解之得 22 ( 1)0120 (1)0 10 g mm g 7 又，所以 4 3 m0m 4 0 3 m 即的取值范围为。m 4 ,0 3 4解：（1） 由已知，是方程的两根 22 )(abxaxxf 21,x x0 22 abxax axx a b xx 2121 , 21 , 0 xxa与4)( | 2 212121 xxxxxx 即 （5 分）44)( 2 a a b )(4 322 aab 由 （7 分）10062a得 （2）由（1）知 设 1 , 0( )(4 322 aaab 232 32 xxyxxy 时 （10 分） ) 3 2 , 0(x0 1 , 3 2 ( 0 11 yxy时 是减函数 1 3 2 ) 3 2 , 0( 32 ，是增函数，（在xxy 时， 3 2 x 27 4 , 0 0 1 27 4 minmax yyxy即时 （14 分） 9 34 , 9 34 27 16 , 0 2 bb故 5解：（1）由题意和导数的几何意义得： 2 120 , 2 42 4040,0 fabc fmambmca abcaabc acac 注意到可得 由（1）得 c=-a-2c，代入 abc,再由 a0 得 1 1 3 b a 2 2 220, 4802,04 3401. cambmb bb bab aa b a 由消去得因该方程有实根， 或 由得 8 22 2 12 1 1221 2121 21 2440, 20 *, 1*11. 22 ,10. , 2 | |2, 11, |2,4). fxaxbxcbac fxaxbxcx x x bb xxxx aa xxxxs t b stxx a st (2)由的判别式 有两个不等实根，设为 由, 方程有一个实根为，不妨设 得 故函数的递增区间为由题设知 b 由第小题知0的取值范围是 a 22 2 2 2 2 (3)0,20220 0,220 22,001, 0220 (,31 31,) 000 (,31 31,) 31. fxaaxbxacaxbxb bb axx aa bbbb gxxg aaaa xx x gx k 即 设由题意知对于恒成立 g 1 故 由题意知 k, + ) 的最小值为 6 （1）a=-4,b=-8 (2). 1 8 k 7解 ： 由和 y=x2得点 p 的坐标为(1,1) x 1 y 又的导数为 y=-,则在 P 点的导数为1 x 1 y 2 x 1 x 1 y 因此在 P 点的切线方程为 y1=1(x1) x 1 y 即 y=x+2 . 那么点 B 的坐标为(2,0), 同理 A 点的坐标为(,0 ). 2 1 三角形的面积为 SABP=ABh=1= 2 1 2 1 2 3 4 3 8() f(x)是奇函数，又f(x)=ax3bx23x，f(x) =ax3bx23x， ax3bx23x =ax3bx23x恒成立， b=0. f(x)= ax33x，=3ax23=3(ax21) .( )fx 由题意：f(x)有极大值和极小值，ax1=0 有两个不等的实根， 2 a0， x=. 4 分 a a 当x0； 当x0. a a ( )fx a a a a ( )fx a a ( )fx 9 故当x时，f(x)取极大值；当x时，f(x)取极小值. a a a a f(x)极大值f(x)极小 值=f()f()=2(， a a a a 34 )4 aaa aaa ， a=1 . a=1，b=0. 8 分1 a a ()显然，点A(0,16)不在f(x)= x33x上， 设切点为()，则k= =3. 00 ,xy 0 ()fx 2 0 3x 切线方程， 32 0000 3(33)()yxxxxx 16=3，16= 2x03，则= 8，x= 2, 3 00 3xx 3 00 3xx 3 0 x 0 k= =39，则符合条件的切线方程是y=9x+16. 12 分 0 ()fx 2 0 3x 9 （1）的解集为，恒成立( )f xxR 22 (41)0 xaxa 解得， 222 (41)40 12810aaaa 即 11 26 a 故的最大值为4 分a 1 6 （2）由（1）得恒成立，( )f xx( )( )ff xf x( )( )fff xff x 从而，即8 分( )( )( )fff xff xf xx( )fff xx （3）由已知可得，则 3223 ( )23123g xxaxa xa 2222 ( )66126(2)6()(2 )g xxaxaxaxaxa xa 令得10 分( )0g x2xaxa 或 若，则在上单调递增，在上无极值0a ( )0( )g xg x R0,1 若，则当时，；当时，0a 2xaxa 或( )0g x2axa( )0g x 当时，有极小值在区间上存在极小值，xa( )g x( )g x0,101a 若，则当时，；当时，0a 2xaxa 或( )0g x2axa ( )0g x 当时，有极小值 在区间上存在极小值2xa ( )g x( )g x0,1 1 0210 2 aa 综上所述：当时，在区间上存在极小值14 分 1 001 2 aa或( )g x0,1 10、解：（I）2 分) 1)( 2 (36)2(33)( 2 x a xaxaaxxf 当或时，；当时，, 2a1 2 a a x 2 1x0)( x f1 2 x a 0)( x f 在， （1，内单调递增，在内单调递减4 分)(xf) 2 ,( a ) 1 , 2 ( a 故的极小值为 5 分)(xf 2 ) 1 ( a f 10 （II）若则 的图象与轴只有一个交点。6 分, 0a 2 ) 1(3)(xxf)(xfx 若则，当时，当时，, 0a1 2 a 1 2 x a x或0)( x f1 2 x a 0)( x f 的极大值为)(xf0 2 ) 1 ( a f 的极小值为 的图象与轴有三个公共点。)(xf0) 2 ( a f)(xfx 若，则。20 a1 2 a 当时，当时， a xx 2 1 或0)( x f1 2 x a 0)( x f 的图象与轴只有一个交点)(xfx 若，则 的图象与轴只有一个交点2a0) 1(6)( 2 xxf)(xfx 当，由（I）知的极大值为2a)(xf0 4 3 ) 4 31 (4) 2 ( 2 aa f 综上所述，若的图象与轴只有一个公共点；, 0a)(xfx 若，的图象与轴有三个公共点。0a)(xfx 11. 解：（I）由的图像过原点得f x( )d 0 fxxbxc( ) 32 2 在处取得极值f x( )x 1 fbc( ) 13201 在原点处切线的斜率，且f x( )lkfc( )0c 02 又曲线在原点处的切线与直线的夹角为