广东珠海高三数学学业质量检测 文

文科数学试题 B 参考答案 第 1 页 共 9 页 2 3 43 2 4 正视图侧视图 俯视图第(5)题 珠海市珠海市 2013-20142013-2014 学年度第二学期学年度第二学期高三学生学业质量监测高三学生学业质量监测 文科数学试题及参考答案文科数学试题及参考答案 一一、选择题选择题：本大题共本大题共 1010 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，满分满分 5050 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合只有一项是符合 题目要求的题目要求的请在答题卡上填涂相应选项请在答题卡上填涂相应选项. .BADACBADACDCACBDCACB 1.已知集合0,1,2,3A ，集合2BxN x，则AB （） A3B0,1,2C 2 , 1D012 3， ， ， 2.设复数 1 1zi ， 2 2()zxi xR，若 12 zzR，则x （） A2B1C1D2 3.不等式032 2 xx的解集是 A1xxB 2 3 xxC 2 3 1xxxD 2 3 1xxx或 4.通过随机询问 100 名性别不同的小学生是否爱吃零食，得到如下的列联表： 男女总计 爱好104050 不爱好203050 总计3070100 由 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd 算得 2 2 100 (10 3020 40) 4.762 50 50 30 70 K 参照右上附表，得到的正确结论是（） A在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关” B在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关” C有97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别有关” D有97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别无关” 5. 右上图是一个几何体的三视图， 根据图中数据可知该几何体中最长棱的长度 是（） A 6B2 5C5D13 6. 执行如右图所示的程序框图，则输出的y=（） A 1 2 B1C1D2 7. “0) 1)(1(ba”是“1, 1ba”的 2 ()P Kk0.100.050.025 k2.7063.84150.24 2y 开 始 结 束 1i 2014 ?i y输出 1ii 是 否 第(6)题 1 1 y y 文科数学试题 B 参考答案 第 2 页 共 9 页 E （第13题图） DC B A A充要条件B充分但不必要条件C必要但不充分条件D既不充分与不必要条件 8.将函数)2 6 cos(xy 的图像向右平移 12 个单位后所得的图像的一个对称轴是 A 6 xB 4 xC 3 xD 2 x 9.变量xy、满足线性约束条件 320 2 1 xy yx yx ， 则目标函数zkxy仅在点(0, 2)取得最小值， 则k的 取值范围是（） A3k B1k C31k D11k 10.设函数)(xfy 在R上有定义，对于任一给定的正数P，定义函数 ( ),( ) ( ) ,( ) P f xf xP fx Pf xP ，则 称函数)(xfP为)(xf的 “P界函数” .若给定函数12)( 2 xxxf，2P ， 则下列结论不成立的是 （） A)0()0( PP ffffB)1 ()1 ( PP ffff C)2()2( PP ffffD)3()3( PP ffff 二二、填空题填空题：本大题共本大题共 5 5 题题，每小题每小题 5 5 分分，满分满分 2020 分分，其中其中 14141515 题是选做题题是选做题，考生只能选做一题考生只能选做一题， 两两 题全答的题全答的，只计算前一题得分只计算前一题得分请将答案填在答题卡相应位置请将答案填在答题卡相应位置. . 11.等差数列 n a的前n项和为 n S，且满足：2 1 a，15 642 aaa，则 10 S65 12. 函数xxxf2)( 3 在1x处的切线方程是2 xy 13. 已知菱形ABCD的边长为a， 0 60DAB，2ECDE ，则AE DB 的 值为 2 3 a 14 （坐标系与参数方程选做题坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知圆 C 的圆心为(2,) 2 ， 半 径为 2，直线(0,) 2 R 被圆 C 截得的弦长为2 3，则的值等 于 3 15 （几何证明选讲选做题几何证明选讲选做题）如图，CD是圆O的切线，切点为C，点B在圆O上， 2 3BC ， 0 60BCD，则圆O的面积为_4 第(15)题 C D B O 文科数学试题 B 参考答案 第 3 页 共 9 页 11 10 12 甲班 9 第(17)题 乙班 2 5 4 4 2 2 1 3 3 3 三三、解答解答题题: :本本大大题共题共 6 6 小题小题，满分满分 8080 分分解答须写出文字说明解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤。 16.（本小题满分 12 分） 已知函数( )sin2 coscos2 sinf xxx，Rx，0， 3 () 42 f （1）求( )f x的表达式； （2）若 5 () 2313 f ，(,) 2 ，求cos的值 解： （1）由 3 () 42 f ，可得 3 sincoscossin 222 ，所以 3 cos 2 ， 3 分 又0， 5 6 5 分 555 ( )sin2 coscos2 sinsin(2) 666 f xxxx 6 分 （2）由 5 () 2313 f 可得 55 sin2() 23613 ，化简得 5 sin() 613 8 分 (,) 2 ， 27 (,) 636 ， 12 cos() 613 10 分 5 12 3 coscos()cos()cossin()sin 66666626 12 分 17. （本小题满分 12 分） 为了解甲、乙两个班级某次考试的数学成绩，从甲、乙两个班级中分别随机抽取 5名学生的成绩(单位：分)作样本，如下图是数学成绩的茎叶图： （1）分别计算甲、乙两个班级数学成绩的样本的平均数； （2）从甲、乙两个班级数学成绩的样本中各随机抽取 1 名同学的数学成绩，求 抽到的成绩之差的绝对值不低于 20 的概率 解： （1）甲班数学成绩样本：4 .11012312211410291 5 1 ）（ 甲x2 分 乙班数学成绩样本：4 .10912511311210394 5 1 ）（ 乙x平均数为 109.4， 4 分 ()根据题意，从甲、乙两个班级数学成绩的样本中各随机抽取 1 名同学的数学成绩分别设为 x 和 y，构 成一对有序数组（x，y） ，则基本事件总数为 25。 7 分 设事件 A：抽到的成绩之差的绝对值不低于 20。 则事件 A 中包含的基本事件为： （91，112） ， （91，113） ， （91，125） ， （102，125） ， （114，94） ， （122，94） ， （123，94） ， （123，103） ，共有 8 个。 10 分 文科数学试题 B 参考答案 第 4 页 共 9 页 25 8 )(AP 11 分 从甲、乙两个班级数学成绩的样本中各随机抽取 1 名同学的数学成绩，抽到的成绩之差的绝对值不低于 20 的概率为 8/25。 12 分 18. （本小题满分 14 分） 在下图的几何体中，/ABCDEFG面面， 0 120BACEDG ， 四边形ABED是矩形， 四边形ADGC 是直角梯形， 0 90ADG，四边形DEFG是梯形，/EFDG，1ABACADEF，2DG （1）求证：FGADF面； （2）求四面体 CDFG 的体积 解： （1）连接DF，AF，作DG的中点H，连接EH /EFDH，1EFDHED， 四边形DEFH是菱形， EHDF2 分 又/EFHG，EFHG 四边形EFGH是平行四边形， /FGEH FGDF4 分 由已知条件可知ADDG，ADED，所以ADEDGF面，所以ADFG 又 FGAD FGDF ADADF DFADF ADDFD 面 面 ，所以FGADF面6 分 （2）取 DG 的中点 O，连 FO，CO，FD， 因为 DO/AC 且 DO=AC，所以有平行四边形 ADOC， 7 分 所以 CO/AD，CO=AD=18 分 由第一问ADEDGF面，有 CO面 DEFG9 分 由已知，可知在三角形 DEF 中，ED=EF=1，60DEF， 10 分 第（18）题 文科数学试题 B 参考答案 第 5 页 共 9 页 所以有正三角形 DEF， DF=1。 11 分 60FDG， 2 3 sin 2 1 FDGDGDFS DFG 12 分 6 3 1 2 3 3 1 3 1 COSV DFGCDFG四面体 14 分 19.（本小题满分 14 分） 设数列 n a的前 n 项和为 n S，数列 n S的前 n 项和为 n T，且满足nST nn 3 2 3 ， * Nn （1）求 1 a的值； （2）求数列 n a的通项公式； （3）记 2 )2( 2 n n n a a b， * Nn，求证：1 21 n bbb 解： （1）当 n=1 时，3 2 3 11 ST，因为 111 aST，所以3 2 3 11 aa，解得6 1 a2 分 （2）当2n时， ) 1(3 2 3 3 2 3 11 nSnSTTS nnnnn =3 2 3 2 3 1 nn SS 所以3 2 3 nn aS4 分 所以3 2 3 11 nn aS 由-得： 1 3 nn aa5 分 所以数列 n a是以 6 为首项，3 为公比的等比数列 所以 -1 6 32 3 nn n a 7 分 （3）当1n时，1 4 3 1 b8 分 当时2n 2 )2( 2 n n n a a b 22 ) 13( 3 )232( 34 n n n n ) 13)(13( 3 )33)(13( 3 1 1 nn n nn n 9 分 ) 13 1 13 1 ( 2 1 1 nn 10 分 所以) 13 1 3 1 ( 2 1 ) 13 1 13 1 ( 2 1 ) 13 1 13 1 ( 2 1 13221 121 nn n bbbb12 分 1) 13 1 13 1 ( 2 1 4 3 n 14 分 文科数学试题 B 参考答案 第 6 页 共 9 页 20. （本小题满分 14 分） 已知抛物线 2 :C xy，直线l与抛物线C交于A、B不同两点，且(6)OAOBp ， （1）求抛物线的焦点坐标和准线方程； （2）设直线m为线段AB的中垂线，请判断直线m是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是， 请 说明理由； （3）记点A、B在x轴上的射影分别为 1 A、 1 B，记曲线E是以 11 AB为直径的圆，当直线l与曲线E 的相离时，求p的取值范围 解： （1）抛物线的焦点坐标为) 4 1 , 0(， 1 分 准线方程为： 4 1 y2 分 (2)设 2 () AA A xx，、 2 () BB B xx，A、B是不同的两点， AB xx且l不与x轴垂直 (6)OAOBp ， 22 6 ABAB xxpxx， AB中点的坐标为(3) 2 p ， 22 AB lABAB AB xx kkxxp xx 3 分 讨论：当0p 时，直线m的斜率 11 m AB k kp 直线m的方程为： 1 3() 2 p yx p ，即 17 2 yx p 4 分 令0 x 得 7 2 y ；即直线m恒过定点 7 (0)， 2 当0p 时，直线m的方程为：0 x ，也过点 7 (0)， 2 ； 5 分 故m恒过定点 7 (0)， 2 6 分 (3)由第(2)问可设直线AB的方程为：3() 2 p yp x，即 2 3 2 p ypx 联立 2 2 3 2 p ypx xy ，消去y得 2 2 30 2 p xpx 文科数学试题 B 参考答案 第 7 页 共 9 页 所以 2 2 12 2 12 4(3)0 2 3 2 p p xxp p xx 即 2 12 2 12 12 3 2 p xxp p xx 8 分 所以 2 222 11121212 ()44(3)12 2 p ABxxxxxxpp 所以以 11 AB为直径的圆的方程为 2 222 12 ()() 22 pp xy 10分 当直线l与曲线E相离时，圆心到直线l的距离dr，即 2 2 22 3 2212 2 ( 1) pp p p p 所以 2 2 123 2 1 p p ，即 22 6121pp，即 22 36(12)(1)pp 所以 42 11240pp， 即 22 (3) (8)0pp， 所以 2 8p 或 2 3p 12 分 又 2 12p ，且 2 0p 所以 2 03p或 2 812p 即30p，或03p，或2232p，或2 22 3p13 分 )32 ,22()22, 32()3, 3(p 所以当直线l与曲线E相离时， p的范围为)32 ,22()22, 32()3, 3(14 分 21. （本小题满分 14 分） 已知函数Raaxxaxf, 2 1 ln) 1()( 2 （1）当 1 = 3 a时，求( )f x的最大值； （2）讨论函数( )f x的单调性； （3）如果对任意 121212 ,(0,),()()4x xf xf xxx恒成立，求实数a的取值范围 文科数学试题 B 参考答案 第 8 页 共 9 页 解： （1）当 1 = 3 a时， 2 211 ( )ln 332 f xxx，定义域为(0，+ )； 2 22222(1)(1) ( ), 3333 xxx fxx xxx 2 分 所以( )f x的增区间为(0,1)，减区间为(1,)， 3 分 所以 1 ( )(1) 6 max fxf4 分 （2）对函数 2 1 ( )(1)ln, 2 f xaxax定义域为(0,)， 求导得： 2 121 ( )2, aaxa fxax xx 5 分 下面对参数a进行讨论如下： 当0a 时，( )0,fx 故( )f x在(0,)上单调递增； 6 分 当1a 时，( )0,fx 故( )f x在(0,)上单调递减； 7 分 当10a 时，令( )0,fx 解得 1, 2 a x a 则当 1 (0,),( )0; 2 a xfx a 当 1 (,),( )0; 2 a xfx a 故( )f x在 1 (0,) 2 a x a 上单调递增；在 1 (,) 2 a x a 上单调递减； 8 分 （3）不妨设 12 0 xx， 当0a 时，( )0,fx 故( )f x在(0,)上单调递增；即 2211 ()4()4f xxf xx恒成立； 构造函数( )( )4g xf xx，需证