广东珠海金海岸中学高考数学复习讲座 等差数列、等比数列性质的灵活运用

广东省珠海市金海岸中学高三数学复习研讨会等差数列、等比数列性质的运用高考要求等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念，通项式、前n项和式的引用应用等差、等比数列的性质解题，常常避开其初项和公差或公比，整体解决问题，运算时运算灵活，可以达到方便快捷的目的，因此在大学入学考试中也受到重视总结重大难点1、等差、等比数列的性质是两类数列基本规律的严重表现，是解决等差、等比数列问题的快速便利工具，应有意识地应用2在应用性质时注意性质的前提条件，有时需要进行适当的变形3“灵巧的性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但是运用“基本量法”确立“目标意识”，“需要什么、需要什么”必须充分合理地运用条件，经常注意问题的目标，常常得到与“灵巧的性质”的解题相同的效果示范说明典型的问题例子例1已知函数f(x)=(x-2 )(1)求出f (x )的逆函数f-1(x )(a1=1，=-f-1(an)(nN* )，求出an(3)如果在3)sn=a12a2an2、bn=Sn 1-Sn中存在最小正整数m，则如果在任意的nN*中bn成立并存在，则如果不存在求出m的值，则说明理由命题意图本题是关于函数、数列的综合题目，重视学生的逻辑分析能力知识是基于本问题融合反函数、数列递归公式、等差数列基本问题、数列之和、函数单调性等知识、结构巧妙、形式新颖、精练的综合问题如果误解了这个问题进行分析的话，首先调查逆函数，逆函数的定义域是原函数的值域是容易错误的这一点。 (2)以数列为桥梁求出an，难以突破由技巧和方法(2)式求=4，构筑等差数列求an，也就是说，借鸡蛋是求数列通项的常用技巧，(3)不问使用函数的思想解(1)y=，x-2，x=-，y=f-1(x)=- (x0)(2) 2222222222222222222222222222222222航空母舰6a1=1，=4(n-1)=4n-3，an0，an=(3)bn=Sn 1-Sn=an 12=、bn、m设g(n)=，g(n)=nn*为减法函数g(n )的最大值为g (1)=5存在m 5、最小正整数m=6，在任意的nN*中bn成立例2等比数列an的各项目均为正，项目数为偶数，其全部项目之和为偶数项之和的4倍，且第2项与第4项之积为第3项与第4项之和的9倍，询问数列lgan的最初项与最大值(lg2=0 3，lg3=0 4 )命题意图本题主要考察等比数列的基本性质和对数算法规律、等差数列与等比数列的关系和演算、分析能力知识基于本问题利用等比数列通项式、前n项和式的合理转换条件求an，进一步利用对数的运算性质证明数列lgan为等差数列，分析该数列项的分布规律求解错误分析问题，条件中有和之间的关系，也有项之间的关系，条件的正确转换是关键，计算容易出错的对数的运算性质也容易混淆技术和方法突破本问题的关键是等比数列各项目的对数构成等差数列。 等差数列中有前面n项和最大值的，必定是该数列中前面为正，后面为负，当然各正数之和为最大，另外，等差数列Sn是n的二次函数，也可以用函数解析式求出最大值解法设定为1公比q、项数2m、mN*，因问题而有意义简化如果将数列lgan的前n项之和设为Snsn=LGA1LGA1q 2LGA1qn-1=LGA1NQ1q 2(n-1 )=nlga1n (n-1 ) lgq=n (2ll2LG3)-n (n-1 ) lg3=(-)n2 (2lg2 lg3)nn=时，可知Sn为最大而且=5，因此与lgan的前5项最大当解法继续时，lgan=lg108()n-1=lg108 (n-1)lg数列lgan是以lg108为首，以lg为公差的等差数列lgan0表示2lg2-(n-4)lg30n=5因为nN*，可以看到数列lgan的前5项和最大例3等差数列an的前n项之和为30，前2m项之和为100，前3m项之和为_求出将解法Sm=30、S2m=100代入Sn=na1 d时解法二知道请求S3m仅为ma1 -取得ma1 d=70、8756； s3m=210解法3从等差数列an的前n项和式中得知，Sn是与n相关的二次函数，即Sn=An2 Bn(A，b为常数)代入Sm=30、S2m=100时S3m=A(3m)2 B3m=210解法4S3m=S2m a2m 1 a2m 2 a3m=S2m (a1 2md) (am 2md )=S2m (a1 am) m2md=s2sm2d从解法中知道d=并代入S3m=210由解法5等差数列的性质可知，Sm、S2m-Sm、S3m-S2m也为等差数列因此，2(S2m-Sm)=Sm (S3m-S2m )S3m=3(S2m-Sm)=210解法Sn=na1 d=a1 d点(n )是直线y=a1上的一系列点三点(m )、(2m )、(3m )、共线、S3m=3(S2m-Sm)=210解法七令m=1增益S1=30、S2=100、增益a1=30、a1 a2=100、 a1=30，a2=70a3=70 (70-30)=110S3=a1 a2 a3=210答案210学生加强练习一等比数列an的前a1=-1，前n项之和为Sn，如果是，则Sn等于()C 2D -2战斗机已知2a、b、a、b是等差数列，a、b、a、b是等比数列，而且是00、S130(1)求出公差d的可取范围(2)指出S1、S2、S12中哪一个值最大，说明理由6已知的数列an是等差数列，公差d0，是由an项的一部分构成的数列a、a、a、是等比数列，b1=1、b2=5、b3=17(1)求出数列bn的通项式(记为Tn=Cb1 Cb2 Cb3 Cbn，求出设7an为等差数列，bn为等比数列，a1=b1=1，a2 a4=b3，b2b4=a3，分别求出an及bn的上位n项和S10及T108 an为等差数列、公差d0、an0、(nN* )且为ak2ak1ak2=0(kn* )(1)k取不同自然数时，证明该方程有共同的根(2)方程式的不同根依次为x1、x2、xn、求证数列是等差数列参考回答：解析利用与一等比数列的性质题意，因为a1=-1，所以q1由于等比数列性质，也变成S5、S10-S5、S15-S10、等比数列且其公比为q 5，8756； q5=-，即q=-2220答案b分析2a、b，求解对数不等式即可答案(-，8 )3分析利用s奇/S偶=解答案第11款a11=294解法1代入法解法b=aq，c=aq2，x=(a b)=a(1 q )，y=(b c)=aq(1 q )=2答案25 (1)解取决于问题解的公差d的可取值范围是-d-3(2)由于解法从d0可知a1a2a3a12a13，因此在S1、S2、S12中Sk为最大值的条件为ak0且ak 10，即22222222222222222222222222222d -3，-4，得5 5k7因为k是正整数，所以k=6，即在S1，S2，S1中，S6为最大解法2从d0到a1a2a12a131k12有自然数k，ak0且ak 10Sk是S1、S2、S1的最大值。根据等差数列性质，在m、n、p、qN*且m n=p q时，由于am=APQ，因此2a7=a1 a13=S130a70，a7 a6=a1 a12=S120，a6-a70因此，在S1、S2、S1中S6最大由解法三题得出最小时，Sn最大- d -3，8756； 6(5-)65 )因此，在正整数中，n=6时，n- (5-)2最小，因此S6最大评价这个问题的第(1)个问题是不等式组成的基本要求，难易度不高，容易得到的第(2)个问题难易度高，求出Sn中的最大值Sk，1k12。 构想之一是知道Sk为最大值的充分条件是AK0且ak 10，构想之三是可视Sn为n的二次函数，通过配置方法可以调查等价转换的数学思想、逻辑思维能力和计算能力，高考问题重视能力调查的特征，思路之二是等差数列的性质等和性别探究数列的分布规律6解(1)表示问题意识a52=a1a17，即(a1 4d)2=a1(a1 16d)a1d=2d2d0，8756； a1=2d，数列的公比q=3=a13n-1另外=a1 (bn-1)d=从到a13n-1=a1 a1=2d0、8756； 得到bn=23n-1-1(2)Tn=Cb1 Cb2 Cbn=C (230-1) C(231-1) C(23n-1-1 )=(C C32 C3n)-(C C C )=(1 3)n-1-(2n-1)=4n-2n7解- an为等差数列，bn为等比数列，8756； a2a4=2a3、b2b4=b32a2 a4=b3，B2B4=a3，8756； b3=2a3，a