普通高等学校招生全国统一考试数学理天津卷参考解析

1 20162016 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数数 学（理工类）学（理工类） 本试卷分为第卷（选择题）和第（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第卷 1 至 3 页，第卷 4 至 6 页。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时， 考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第第 I I 卷卷 注意事项： 1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选 涂其他答案标号。 2.本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 参考公式：参考公式： 如果事件 A，B 互斥，那么如果事件 A，B 相互独立， P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A) P(B) 柱体的体积公式 V 柱体=Sh 锥体的体积公式 V = V=1/3Sh 其中 S 表示柱体的底面积其中 S 表示锥体的底面积， h 表示柱体的高h 表示锥体的高 第卷注意事项：本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合 1,2,3,4, |32,ABy yxxA， 则AB= （A）1（B）4（C）1,3（D）1,4 （2）设变量 x，y 满足约束条件 20, 2360, 3290. xy xy xy 则目标函数 25zxy 的最小值为 （A）4（B）6（C）10（D）17 （3）在ABC 中，若 = 13AB ,BC=3， 120C ,则 AC= （A）1（B）2（C）3（D）4 2 （4）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出 S 的值为 （A）2（B）4（C）6（D）8 （5）设an是首项为正数的等比数列，公比为 q，则“q0,且 a1）在 R 上单调递减，且关于 x 的方程 f（x）=2x 恰好有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是 （A） （0， 2 3 （B） 2 3 ， 3 4 （C） 1 3 ， 2 3 3 4 （D） 1 3 ， 2 3 ） 3 4 第第 IIII 卷卷 注意事项：注意事项： 1 1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. . 2 2、本卷共、本卷共 1212 小题，共计小题，共计 110110 分分. . 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分. （9）已知, a bR，i 是虚数单位，若(1+i)(1-bi）=a，则 a b 的值为_. （10） 28 1 ()x x 的展开式中 x2的系数为_.(用数字作答) （11）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m） ，则该四棱锥的体积 为_m3. 3 （第 11 题图） （12）如图，AB 是圆的直径，弦 CD 与 AB 相交于点 E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段 CE 的长为 _. (13)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间（-，0）上单调递增.若实数 a 满足 f(2|a-1|)f（-2） ， 则 a 的取值范围是_. (14)设抛物线 2 2 2 xpt ypt ， （t 为参数，p0）的焦点为 F，准线为 l.过抛物线上一点 A 作 l 的垂线，垂足为 B.设 C（ 7 2 p,0） ，AF 与 BC 相交于点 E. 若|CF|=2|AF|，且ACE 的面积为3 2，则 p 的值为_. 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 (15) 已知函数 f(x)=4tanxsin( 2 x )cos( 3 x )-3. ()求 f(x)的定义域与最小正周期； （）讨论 f(x)在区间, 4 4 上的单调性. （16） （本小题满分 13 分） 4 某小组共 10 人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为 1,2,3 的人数分别为 3,3,4,. 现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会. （I）设 A 为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4” ，求事件 A 发生的概率； （II）设X为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望. （17） （本小题满分 13 分） 如图，正方形 ABCD 的中心为 O，四边形 OBEF 为矩形，平面 OBEF平面 ABCD，点 G 为 AB 的中点， AB=BE=2. （I）求证：EG平面 ADF； （II）求二面角 O-EF-C 的正弦值； （III）设 H 为线段 AF 上的点，且 AH= 2 3 HF，求直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值. （20） （本小题满分 14 分） 设函数 f(x)=（x-1）3-ax-b,xR，其中 a,bR。 (I)求 f(x)的单调区间； (II)若 f(x)存在极点 x0，且 f(x1)=f(x0)，其中 x1x0，求证：x1+2x0=3； (III)设 a0,函数 g(x)=f(x),求证：g(x)在区间0,2上的最大值不小于. 5 参考版解析 1D 【解析】1234A ，14710B ，14AB ，选 D 2B 【解析】 (3， 0) zmin=6 z=2x+5y=0 可行域如上图所示，则当取点(3,0)时，25zxy取得最小值为 6 3A 【解析】设ACx 由余弦定理得： 2 9131 cos120 232 x x 22 43340 xxxx 1x 或4（舍），1AC ，选 A 4B 【解析】第一次：8s ，2n 第二次：2s ，3n 第三次：4s ，4n ，满足3n ，输出4s . 5C 【解析】设数列的首项为 1 a，则 222122 212111 =(1)0 nnn nn aaa qa qa qq ，即1q ， 故0q 是1q 的必要不充分条件 6D 【解析】 6 x y DC BA 渐近线: 2 b OB yx 设 00 2 b B xx ，则 00 12 228 bb xx， 0 1x ，1 2 b B ， 2 22 12 4 b ， 2 12b 22 1 412 xy 7 【解析】B F E D CB A BCACAB AFADDF 13 22 ABDE 13 24 ABAC 13 24 BC AFACABABAC 111331 1 11 1 222442 13131 44288 ，选 B 8C 【解析】 7 由log (1)1 a yx在0,)上递减，则01a 又由( )f x在 R 上单调递减，则： 2 0(4 -3) 03(0)1 13 34 340 2 aaf a a 由图像可知，在0,+ )上，( )2f xx有且仅有一个解， 故在(,0)上，( )2f xx同样有且仅有一个解， 当32a 即 2 3 a 时，联立 2 (43)32xaxax， 则 2 (42)4(32)0aa ，解得： 3 4 a 或 1（舍）， 当32a1时，由图像可知，符合条件. 综上： 123 334 a 选 C 92 a b 【解析】11ibia，1bibia ，1ba 1 2 b a ，2 a b 1056 【解析】 3 5 527 8 1 C56xx x ，系数为-56 112 【解析】 1 2132 3 V 8 3 2 1 12 2 3 3 【解析】连接 OD，可得，BODBDE:， 2 3BDBO BE= 3BDDE AECDEB: ， AECE DEBE ，即 1 = 23 EC ， 2 3 = 3 EC E C D BA 13 13 22 a 【解析】由 f x是偶函数可知，0， 单调递增； 0， 单调递减 又 1 22 a ff ， 22ff 可得， 1 22 a 即 1 1 2 a 13 22 a 146P 【解析】x、y 满足函数 2 2ypx；,0 2 p F 3CFp， 3 = 2 ABAFp 可得： 2A pp， 易知AEBFEC:， 1 2 AEAB FEFC ，故 111 32 332 ACEACF SSpp 2 2 3 2 2 p 2 6p 0p ，6p 9 15 【解析】 4tan sincos3 23 f xxxx 13 4sincossin3 22 xxx sin23 1cos23xx sin23cos2xx 2sin 2 3 x ()定义域 2 x xkk Z, 2 2 T （） 44 x， 5 2 636 x，设 2 3 tx， sinyt在 5 62 t 时单调递减，在 26 t 时单调递增 - 5 6 - 2 由 5 2 632 x 解得 412 x，由 2 236 x解得 124 x 函数 f x在 124 上单调增，在 412 上单调减 16 【解析】（）设事件A：选 2 人参加义工活动，次数之和为 4 112 343 2 10 C CC1 C3 P A （）随机变量X可能取值0，1，2 10 222 334 2 10 CCC4 0 C15 P X 1111 3334 2 10 C CC C7 1 C15 P X 11 34 2 10 C C4 2 C15 P X X012 P 4 15 7 15 4 15 78 1 1515 E X 17 【解析】（）证明：找到AD中点 I ，连结FI， 矩形OBEF,EFOB G、 I 是中点，GI是ABD的中位线 GIBD且 1 2 GIBD O是正方形ABCD中心 1 2 OBBD EFGI且EFGI= 四边形EFIG是平行四边形 EGFI FI 面ADF EG面ADF （）OEFC正弦值 解：如图所示建立空间直角坐标系Oxyz I z y x A B C D E F G H O 020B， 200C， 022E，002F， 设面CEF的法向量 1 nxyz ， 11 1 1 02020 202220 nEFxyzy n CFxyzxz ， ， 得： 2 0 1 x y z 1 20 1n ， OC 面OEF， 面OEF的法向量 2 100n ， 12 12 12 2 6 cos 33 1 nn nn n n ， 2 12 63 sin1 33 nn ， （） 2 3 AHHF 222 24 2020 5555 AHAF ， 设H xyz， 2 24 20 55 AHxyz ， 得： 3 2 5 0 4 5 x y z 3 24 2 55 BH ， 1 2 1 64 755 cos 212 2 3 5 BH n BHn BH n ， 18 【解析】 22 11211 2 nnnnnnnn Cbbaaa ad a 2 121 2 ()2 nnnn CCd aad 为定值 n C为等差数列 2 2 1321 1 ( 1) n k nkn k TbCCC 2 1 (1) 4 2 n n nCd 2 1 2(1)nCd n n（*） 由已知 222 121231221 22 ()4Cbba aa ad ad add 将 2 1 4Cd代入（*）式得 2 2(1) n Td n n 12 2 11 111 2(1) nn kk k Tdk k 2 1111 (1) 23 1 122 1 kkd 2 1 2d ，得证 19 【解析】 F B(xB , yB) l k A M O H （） 113e OFOAFA 2 22 3 3 11 33 a a a aaa 解之得2a 椭圆方程为： 22 1 43 xy （）由已知，设l斜率为k(0)k ，方程为(2)yk x 设() BB B xy 00 (2)M xk x ， 0 1()xMOAMAO，() H H Oy 22 2222 1 (34)1616120 43 (2) xy kxk xk yk x ，0 成立 由韦达定理 2 2 1612 2 34 B k x k ， 2 2 86 34 B k x k ， 2 12 (2) 34 BB k yk x k 00 1 :(2)() HM lyk xxx k 令0 x ，得 0 1 2 H ykxk k HFFB，( 1) (1)0 HBB FH FByxy ， 即 2 0 22 86121 1120 3434 BHB kk xy ykxk kkk 2 0 2 920 1 12(1) k x k ， 2 83k 6 4 k或 6 4 k 20. 13 【解析】（1） 3 1f xxaxb 2 31fxxa 0a ，单调递增； 0a ， f x在, 1 3 a 单调递增，在1, 1 33 aa 单调递减，在1, 3 a 单调 递增 （2）由 0 0fx得 2 0 31xa 32 0000 131f xxxxb 2 00 121xxb 32 0000 32223132fxxxxb 2 000 18896xxxb 2 00 =121xxb 001 32=fxf xf x 10 23xx （3）欲证 ( )g x 在区间0