第3讲不等式问题的题型与方法3课时

高三数学第二回复习教案第三阐述不等式问题的问题类型和方法(3个会话)一、考试内容包括不等式、不等式的基本性质、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式二、考试要求1 .理解不等式的性质及其证明。2 .把握2个(不扩展为3个)正数的算术平均不比那些几何平均小的定理，简单地应用。3 .掌握分析法、综合法、比较法证明简单不等式。4 .把握简单不等式的解法。5 .理解不等式| a|-|b |a b |a| b |。三、复习目标1 .在熟悉一维一次不等式(组)、一维二次不等式的解法的基础上，掌握其他简单不等式的解法。 通过复习不等式解法，提高学生分析问题、解决问题的能力和计算能力2 .把握求解不等式的基本思路。 即，将式不等式、绝对值不等式等不等式分类为整理式不等式(组)，用分类、源、数形结合的方法求解不等式3 .通过复习不等式的性质和常用证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)，使学生利用传统方法(即通性通法)证明不等式的相关问题4 .通过证明不等式的过程，培养自觉认识数学结合、函数等基本数学思想方法来证明不等式的能力5 .灵活运用不等式的基本知识、基本方法，解决不等式的相关问题6 .通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，加深数学知识之间的融通，提高问题解决能力。 在运用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生的数学素质和创新意识。四、双基透视1 .求解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质是不等式变形的理论依据，方程式的根、函数的性质和图像与不等式的解法密切相关，应善于把它们有机地联系起来，善于相互转化。 在求解不等式中，换元法和图式解法是常用的技法之一2 .公式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是求解不等式的基础，利用不等式的性质和函数的单调性，将公式不等式、绝对值不等式等分类为公式不等式(组)是求解不等式的基本思想，分类、源、数形结合是求解不等式的常用方法3 .在不等式的求解中，变换元法和图式解法是常用的技术之一，根据源，可以将复杂的不等式分类为比较简单或基本的不等式，通过构造函数，可以将不等式的分解分类为直观、图像的图像关系，使用包含参数的不等式、图式解法，可以更明确地分类基准。 通过复习，不等式的核心问题是不等式的同解变形，能否正确得到不等式的解集，不等式的同解变形理论起着重要的作用。4 .比较法是不等式证明中最基本最普遍的方法，比较法的一般顺序是差(商)变形判断符号(值)5 .证明不等式的方法多样，内容丰富，技巧性强。 它对发展分析综合能力、正反思维等发挥良好的促进作用。 在证明不等式之前，必须根据问题设定要证明的不等式的结构特征、内在关系，并选择合适的证明方法。 通过方程式或不等式的运算，将应证明的不等式变成明显众所周知的不等式，与原不等式得到证明相反，也可以从明显众所周知的不等式开始，经过一系列运算导出证明的不等式。 前者是“执行因果”，后者是“因果”，作为联络渠道，在证明时并用分析综合法，双面夹击，互补，多达想要证明的目的。6 .证明不等式的方法多种多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍然是证明不等式的最基本方法。 要根据问题设置、问题断裂的结构特征、内在联系，选择合适的证明方法，熟悉各种证据法的推理思维，掌握相应的步骤、技巧和语言特征。7 .不等式这一部分的知识渗透到中学数学的各个分支中，有着非常广泛的应用。 因此，不等式的应用问题体现了一定程度的综合性、灵活多样性，学生们通融学到的数学各部分知识，发挥了良好的促进作用。 解决问题最终归结为不等式求解和证明，必须选择问题设置、问题断裂的结构特征、内在联系和恰当的解决方案。 不等式的应用范围很广，它始终贯穿于中学数学中。 例如集合问题、方程(组)解的讨论、函数单调性的研究、函数定义域的确定、三角、数列、多个、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题不与不等式密切相关，许多问题最终可导致不等式的求解或证明。8 .不等式的应用问题体现了一定的综合性。 此类问题大致可分为两类：一类是建立不等式，解决不等式，另一类是建立函数公式求最大值或最小值。 在利用平均值不等式求函数的最大值时，特别要注意缺少“等于正数、值”三个条件，为了满足这三个条件，有时需要进行适当的拼凑。 利用不等式求解问题的基本步骤： 10审问题，20不等式模型，30数学问题，40答案。五、注意事项1 .求解不等式的基本思想是转化、化归，一般转化为最简单的一次不等式(组)或一次二次不等式(组)求解。2 .求解包含参数的不等式时，应特别注意运用数学结合思想、函数和方程思想、分类讨论思想。3、不等式的证明方法有很多种，要注意各种证明法的适用范围，在掌握常规证明法的基础上，选择一些特殊的技术。 用收缩法证明不等式时，应注意调整收缩程度。4 .根据主题结构的特点，实行成果的原因，往往是有效的想法。六、样本分析b)M对于m和m中的其他元素(c，d )，始终为ca，a=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _分析：阅读和阐明问题的数学本质是解决这个问题的突破口。 如何理解“m的其他要素(c、d )总是有ca”？ m的元素有什么特点？解：由问题可知，本问题与求出函数x=f(y)=(y 3)|y-1| (y 3)等价(2)1y3时因此，在y=1情况下，xmin=4.说明：问题设定条件中出现了集合的形式，认识集合要素的本质属性，结合条件，明确数学本质。 即，求出集合m中要素满足关系式例2 .关于解的不等式：分析：本例主要复习包括绝对值不等式在内的解法，并对讨论思想进行分类。 本问题的关键不是讨论参数，而是在取绝对值时讨论最后的知数，得到两个不等式组，最后把两个不等式组的解集和解，得到原不等式的解集。解：当的双曲馀弦值。例3 .自己知道的三个不等式：(1)如果、的值也满足，则求出m的可取范围(2)满足的值满足和中的至少一方时，求出m的可取范围。分析：本例主要综合复习整式、分式不等式和绝对值不同的解法，结合数学思想，求解问题的关键在于，满足值的的充分条件，的对应方程式的2条分别在于内。 不等式及其相应的方程与函数图像有着密切的内在关系，在解决问题的过程中，必须及时地把它们的内在关系联系起来。解：记的解集为a，的解集为b，的解集为c。解得a=(-1，3，3 )得B=(1)、的值也为了同时满足、ABC于是，从原图像可知，方程式的小根小于0，小根为3以上时能够满足(2)为了满足的值满足和中的至少一方因为这个小根是-1以上，大根是4以下说明：中的x值同时满足中的充分条件，因为中对应的2x mx-1=0的两个方程分别在(-，0 )和3，)内，所以f(0)0且f(3)0，否则，对AB中的所有x值不能满足条件。 不等式及其相应的方程和图像有着密切的内在关系，在解决问题的过程中，必须及时把它们的内在关系联系起来。例4 .对于自然数a，已知存在以a为首的系数的整数二次三项式，其至少有2个正根，求证： a5分析：回想二次函数的几个特殊形式，设f(x)=axbxc(a0 )。最上点式. f(x)=a(x-x) f(x)(a0 )其中(x，f(x ) )是二次函数的顶点，x=(x，f(x ) )、(x，f(x ) )是二次函数图像上不同的三点时，系数a、b、c证明：将二次三项式设为f(x)=a(x-x)(x-x )、aN .根据问题意识，0 x 1，0 x 0，f(1)0。另外，f(x)=ax-a(x x)x axx是整数系数二次三项式因此，由于f(0)=axx、f(1)=a(1-x)(1-x )是正整数，因此成为f(0)1、f(1)1 .因此，f(0)f(1)1. 另一方面另外，由于xx且等号不同情况下成立由、得到的a16 .另外aN，因此a5说明：二次函数是一个广泛应用的函数，用其结构不等式证明问题往往是灵活的。 根据问题设定条件适当地选择二次函数的表现形式是解决这样的问题的关键例5 .设等差数列a的最初的项目a10且Sm=Sn(mn )。 问：第一项之和是否最大？:分析这个数字与前n项的最大值，首先分析这个数字是增量还是减量将：等差数列a的公差设为d、Sm=Snak0且ak 10，b0，a3 b3=2.求证书ab2，ab1。分析：从应证明为条件a3 b3=2的结论a b2的结构开始，联想它们之间的内在联系，利用差异比较法和平均不等式和结构方程式等方法，可以建立联系两者的“桥”。证明法1 (制定比较法)a0，b0，a3 b3=2(a b )3- 23=a3b3a2b3ab2-8=3a2b3ab2- 6=3 ab (ab )-2 =3 ab (ab )-(a3 B3 ) =-3 (ab ) (a-b ) 20即(a b)323。证明法2 (平均不等式-综合法)a0，b0，a3 b3=2所以ab2，ab1说明：充分发挥了“1”的作用，使其证明途径格外简洁美丽证明法3 (结构方程式)设a、b为方程式x2-mx n=0两条因为a0，b0，所以m0，n0且=m2-4n0.因此，由于2=a3 B3=(ab ) (a2-ab2 )=(ab ) (ab )2- 3ab =m m2-3n 我是a b2因为2m到4m2和m24n，所以44n，即n1 .所以ab1 .说明：认真观察不等式的结构，从中发现与已经学到的知识的内在联系，可以比较顺利地找到解决问题的切入点证据法4a0，b0，a3 b3=22=a3 B3=(ab ) (a2 B2-ab )(ab ) (2ab-ab )=ab (ab )而且，由于是63ab(a b )83ab(a b) 2=3a2b 3ab2 a3 b3=(a b)3因此，a b2.(以下省略)即a b2.(以下省略)证据法6 (反证法)假设a b2a3 B3=(ab ) (a2-ab2 )=(ab ) (ab )2- 3ab 2(22-3ab )a3 b3=2，因此22(4-3ab )，因此ab1. 另一方面，2=a3 B3=(ab ) (a2 B2-ab )(ab ) (2ab-ab )=(ab ) ab 2abab