第五讲不等式

第五个不等式陕西安振平l高考风向标不等式的概念和性质，二元平均不等式.不等式的证明(比较法、分析法、综合法).不等式的解法(一元一次、一元二次、一元高次、分式、绝对值不等式)不等式的综合应用(求最大值，求参数取值范围，解实际问题)。l典型的问题选说例1已知(，)是直线与圆的交点，取最小值则实数的值等于()(A)(B)(C)(D )说明：交点满足方程式时，得到将第一个方程乘以二次方程，然后再减去第二个方程是因此，取最小值时，实数对的值为1，应该选择c评价：这个问题是分析几何面部表现的代数性最高值问题，解答中建立函数的是二次函数，求其最高值的方法当然是配方法例2不等式2x-1m(x2-1)假设满足|m|2所有实数m的取值成立，求出x的取值范围.说明：如果设f(m)=2x-1-m(x2-1)=(1-x2)m 2x-1，则由| m |2已知实质上是一条线段，| m |2的所有实数都可以看作是2x-1m(x2-1) .所以呢即，即即，即所以呢评分：无函数，无结构函数，偶尔用线性函数的单调性质求解问题，充分体现了函数思想在求解数学问题中的魔法作用在示例3的情况下，函数的最大值是_说明：从对称性可以推测，当时函数取最大值。 然后，把求最大值的问题变成了不等式证明问题令、由得所以呢这显然是成立的所以必须马上填写点评：转换元法的优点是将三角问题分类为代数问题，但认为最有价值，将问题转换为不等式证明。 应用分析法是证明不等式的有效方法之一，它可以成熟、复杂例4某地区发生流行性病毒感染，当地居民每人每天早晚8点服用一片。 该片剂每片含量220毫克，人肾每12小时从体内过滤60%该药，体内残留量超过386毫克发生副作用。(1)有人上午8点第一次吃药，第二天上午8点吃药时，问他体内还有多少这种药(2)长期服用的人的药不会产生副作用吗？说明： (1)人首次服用药物后，药物体内残留量为毫克，(2)是以数为首，以0.4为公比的等比数列，不会产生副作用本问题是数列和不等式的综合应用性问题，它与人们的生活现实密切相关，是一个既考虑知识又考虑能力的好问题例5可知是a0、函数f(x)=ax-bx .(1)b0时，如果任何xR都有f(x)1，则a2；(2)在b 1的情况下，证明在任意的x 0，1 中有|f(x)|1的充分条件是b-1a2；(3)01，f(x)=f(1)，f(x)=f(0)。所以呢(* )或b-1a2或b-1a2因此，对于任意x 0，1 ，|f(x)|1的充分条件是b-1a2.由(3)(2)的解答可知，对于任意的x 0，1 ，只有|f(x)|1或者03 )是ABC边的AC的中点(1)设点b的横轴为t，设ABC的面积为s，求出与t相关的函数关系式(2)求出函数的最大值，求出相应的点c的坐标。说明：首先引用点a、b的坐标，然后逐渐展开解题思考(1)设b、a、m为ABC边AC中点，1(2) 22222222222222222222222222622201当时是且，仅此时，立即s最大值为此时的点c的坐标.当m-9时，在区间(0，1 )中是递增函数，这被证明如下设置22222222222222222222261再见(0，1 )中为增加函数所以，这个时候本问题是笔者自制的问题，陕西省高三的会考问题。 这个问题的解答应用导数知识的话，那个解法会变得简洁，所以想让读者尝试一下例8将过点作为曲线(，)的切线接点是在轴上放置点的投影为点，并且越过点构成曲线的切线接点是在轴上放置点的投影为点这样得到一系列的点，放置点的横轴为(一)寻求证据：(二)寻求证据：(三)寻求证据：(注：)说明： (1)求导数，得到若切点为，则切线方程式为.当时，切线越过点，即得到这时，切线越过了点，即得到了所以数列是第一项，公比的等比数列是(2)应用二项式定理，得到是(3)记，如是二式减法，得到，故意本问题综合分析几何、导数、数列、二项式定理、不等式等知识点，解答时需要有排除强烈思维力和万难的辛苦精神l目标演习1 .如果知道是正实数，不等式组就成立()(a )充分不必要条件(b )不充分必要条件(c )充分和必要条件(d )不充分和不必要条件2 .如果是a、b，则|a| 1，|b|1，|a b| |a-b|2成立()(a )充分不必要条件(b )不充分必要条件(c )充足条件(d )既不充分也不必要的条件3 .如果已知不等式m2 (cos2-5)m 4sin20始终成立，则实数m可取值的范围为(a ) 0m4 (b ) 1m4(C)m4或x0(D)m1或m04 .如果存在高度为和的长方体以使得和的侧面积与任何长方体的体积之比相等，则和的可能值的范围为()(A)(B )(C)(D )5 .不等式|x2-x-6|3-x的解集是()(A)(3，) (b ) (-3)(3，)(c ) (-3)(-1，) (d ) (-3) (-1，3 ) (3，)6 .不等式对于任意正的实数、常数成立的常数是否存在？ 证明你的结论7 .已知(1)当时，如果函数f (x )的图像和直线没有共同点，则求证明(2)对于给定的负数，有最大的正数M(a )，所以一听a的值，M(a )就变成最大，求出该最大值M(a )，证明你的结论8 .作为正实数，令人满意求出的最大值9 .已知函数(1)证明函数的图像是关于点(a，-1)中心对称的图形(二)届时寻求证据：(3)利用函数构建一个数字序列的方法，在给定定义域中，在构建命令、上述数字序列的过程中，如果在(I=2，3，4，)定义域中不在构建数字序列的过程后续的定义域中，则构建该数字序列的过程停止如果能用上述方法制作定数列，则求出实数a的可取范围若设定义域任一值，则能够通过上述方法构筑无限数列，求出实数a的值.参考答案：1.B.2.C.3.C.4.D.5.D。6 .当时，从已知不等式中得出分为以下两部分进行证明：先证这个不等式这个公式显然成立再证这个不等式这个公式显然成立由以上可知，存在常数对于任意整数x、y，问题中的不等式成立.7. (1)的图像与y=x没有共同点(2)8 .令然后呢所以呢那一刻9.(1)将点p (，)作为函数图像上的点点p是关于(a，-1)的对称点222222222222卡卡卡卡卡卡，即函数的图像上有点函数的图像是关于点(a，-1)中心对称的图形(2) 22