辅导第一讲让现代信息技术为数学教学注入新的活力

第一讲让现代信息技术为数学教学注入新的活力第一讲让现代信息技术为数学教学注入新的活力 本人是数学教师，对数学教学有四十一年的经验。我是从 1990 年开始尝试把计算机用 于数学教学之中的，在国内也是有幸第一批实验与推广几何画板的老师之一，对把信 息技术应用于数学教学上有十年多的实践，也有一些体会。另外，本人也是数学教学内容 改革的积极参与者，1999 年至 2000 年作为核心组成员参加了教育部重大课题“义务教育阶 段数学课程标准”的研制工作，2000 年起参与“高中阶段数学课程标准”的研制工作。 2001 年与北京师范大学严士健教授等人共同发起并主持“新世纪数学教育与传播论坛” （国 家自然科学数学天元基金项目） 。现在仍参与包括远程教育在内的一些项目与课题研究。 一、关于一、关于“电脑数学教室电脑数学教室”的大致设想的大致设想 为什么要开办“电脑数学教室”？ 大家知道，我们正走进信息时代。当前，以计算机和网络为代表的现代信息技术正在 深刻地改变着人们的交往方式、工作方式、生活方式与思维方式。以至于联合国教科文组 织认为，信息社会对文盲应该有一个新标准，那就是看一个人对信息技术的掌握与否。所 谓掌握信息技术就是指能把信息技术应用到自己的生活和工作中，这当然包括我们这些从 事数学教育的教师。 从理论上讲，现代信息技术必将对数学教学产生影响。在教育部制定的普通高中数学 课程标准的课程基本理念的第九条就是注重信息技术与数学课程的整合，指出“现代信息 技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响。但实 际上，我接触的大多数第一线的教师对此了解并不多。他们认为就他们当前的数学教学而 言，还没看出对信息技术的迫切需求，粉笔黑板似乎也够了。许多教师有把信息技术用到 教学中的愿望，但又不知道怎么用。 作为一个老教师，我确实从过去的十年的教学中初步感受到技术深藏的潜力，它对推 进数学教学改革的不可低估的诱人前景。所以我想开办一个“电脑数学教室”或许是有意 义的。无论如何这个新领域给每一个数学教师提供了新的发展机遇，也提出了严峻的挑战。 一方面，在这间教室里，你们可以分享我的经验，另一方面，大家可以提出问题，相互交 流，互相学习。 “电脑数学教室”要体现务实的特色。 “电脑数学教室”有两个明确的特色。一、它讲的内容是数学；二、它是考虑如何发 挥信息技术的优势讲数学。这就是说，我们实际上在探讨“整合” ，信息技术与数学学科教 学的整合，即如何把技术有机地融合到数学教学中。 但“整合”是件新生事物，所谓课程整合就是通过课程把信息技术与学科有机地结合起来， 这在国外是 20 世纪 90 年代中期提出来的，因此，现在谁也没有现成的经验。目前关于 “整合”的理论多而实践少。我们第一线的教师更关心的是实践，是如何操作。因此，务 实应该是我们这间教室的特色。这间教室探讨的教学内容应该是大家正在各自的学校里正 在教授的内容。用传统的方法是那么教，现在有了信息技术又可以怎么教？教学是怎样设 计的？课件是怎么使用的？课件又是怎么开发的？我想这是我们这间教室应该着重讨论的 问题。 另外我们更关注的是实效性。教育技术不是做给人家看的，信息技术与数学教学的整合不 能满足于公开课上表面的热热闹闹，看起来很“现代” ，而是确确实实有助于提高数学教学 质量，提高学习效率，减轻学习负担，使原来学生觉得难懂的内容变得相对容易，使师生 的时间与精力投入得到应有的回报，使学生学得更扎实、灵活和主动。数学学科的一个特 点是严谨求实，我们开设的“电脑数学教室”应该体现数学学科的这个特点。 基于以上想法， “电脑数学教室”准备结合当前具体的数学教学内容展开，以此为主线 谈教学设计，谈课件的使用以及设计思想，谈教育技术（包括课件平台的使用） 。 “电脑数 学教室”是面向广大第一线教师的。因此，它力求充分满足教师的需求，根据大多数教师 的需求安排内容。暂时先安排一个学期的内容作为尝试，每月两次课，一学期安排九次课。 争取通过一学期使大家能把信息技术用到自己的日常教学中。为此目标，希望大家经常提 出自己的需求，越具体越好。这样，我将更好地准备每一次课，以便更好地贴近教学实际， 为大家更好地服务。 二、信息技术与数学学科教学整合的必要性二、信息技术与数学学科教学整合的必要性 从高考复习课谈起。 不管怎么谈素质教育，高考是每一个高中数学教师无法回避的，无论如何，家长把孩 子送到学校的一个主要目标是想把孩子送进高等学校的大门。高考成绩固然不能作为评价 教学质量的唯一标准，但却是一个重要的标准。因此，当我宣传信息技术与数学学科教学 整合的必要性时，老师们常常问到：这对高考有用吗？实际上，许多学校的“整合”课主 要是作展览和评比用的，不敢用到高三复习课上。这样就无法使人真正相信在数学教学中 使用信息技术的必要性。 我的高三教学实际表明，信息技术不仅有助于提高复习课效率，而且有助于课后辅导 的落实。以下举几个实际例子。 例题 1 （如图）在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F 分别是面 ADD1A1与 BCC1B1的中心， 那么右图中的那个图形可能是面 EBFD1在正方体各面的射影_ （把所有可能的 情况都填上） A (4) (3) (2) (1) D A C B 1 1 1 1 FE D C B 图 1 这是高考的一个原题，不用计算机当然也可以给学生讲清楚这个题，但用计算机演示 不单提高了课堂效率，而且动态演示“射影”的效果给学生留下更深刻的印象。下面是通 过“按扭”屏幕出现的三种不同的投影效果。在黑板上现场画图，费时间，且图不准确。 用画好的投影片时间省一些，但无动态效果。通过课件展示，不仅给出投影的动态效果， 而且能方便地把投影图“缩”回去，复原成原图。 A D A C B 1 1 1 1 FE D C B A D A C B 1 1 1 1 FE D C B A D A C B 1 1 1 1 FE D C B 图 2 借此对“按扭”的作用多说几句。有了“按扭”可以使得教学方式更加灵活。例如选 择题。高考记分时只看答案，而不考虑过程。但复习课对这类题必须凸现过程。好的选择 题必然包括“似是而非”与“似非而是” 的几个选择支，复习时需要给出必要的教学反馈， 为什么选(A)，为什么选(B)是错误的等等。这时教学时间有时显得不够，黑板上也没有足 够的空间显示作为教学反馈信息的图形与文字。有了“按扭”好多了，根据教学需要“按 扭”按下去，想显示什么就显示什么。同时，这样的课件对于辅导也显示出优越性，它可 以根据学习者的不同选择，显示不同的反馈信息，满足个别化复习的需求，也代替了教师 重复性辅导的工作。 例 2 （2002 年北京地区高考） 如图所示，( =1,2,3,4)是定义在0，1上的四个函数，其中满足性质：“对)(xfii 0，1中任意的和，任意0，1,恒 1 x 2 x)1 ( 21 xxf)()1 ()( 21 xfxf 成立”的只有 )( 1 xf )( 2 xf )( 3 xf )( 4 xf 1 O O1 O 1O1 x y yy y xxx A,B C,D)( 1 xf)( 3 xf)( 2 xf)( 2 xf)( 3 xf)( 4 xf P 0 1 x2x1 M P y x 图 3 此题答的很不好，问题是学生不清楚“对0，1中任意的和，任意0，1, 1 x 2 x 恒成立”这段话是什么意思。能否体现和)1 ( 21 xxf)()1 ()( 21 xfxf 1 x 的任意性以及0，1的任意性，同时用图形揭示满足条件的函数性质？这是用计算 2 x 机课件能够圆满地解决问题。右图中的和可以通过鼠标拖动，点表示时对应的 1 x 2 x 2 1 点即中点，不等式反映的函数性质可以从图上看得清清楚楚。而图中的点 P 21 )1 (xx 对应于的值，也可以通过鼠标拖动。 于是这样一个学生费解的题目变得容易理解了。 例 3 已知函数y= f (x) 的图象是自原点出发的一条折线。当n y n+1 (n = 0, 1 ,2, ) 时，该图象是斜率为b的线段（其中正常数 b1）,设数列x由 f (x) = n nn n ( n = 1 ,2 , ) 定义。 求x，x和x的表达式； 12n 求f (x)的表达式，并写出其定义域； 证明：y = f (x)的图象与y = x的图象没有横坐标大于 1 的交点。 （1999 年高考） 这是最近几年里高考试题中较难的一个题目，多数学生连题目都看不懂。我在 2000 年 带高三时在复习课上用计算机辅助讲解这个题目，取得了很好的效果。有一位老教师听了 我的课说，用这个图形一展示，一切都清楚了！又省时，又容易理解。早知道这个教法有 多好！ O 1 2 3 4 5 6 7 A 8 b B C D E F M N x y b = 0.864 提示：下图可以帮助你理解题意。 这是 0b1 的情况 （1） x=，x- x=，x= 1+ ，x= 1+ + 1 1) 1 ( 0 b 21 1 ) 1 (b 2 1 ) 1 (b n 1 ) 1 (b 2 ) 1 (b 1 ) 1 ( n b 这里的点 b 是可以用鼠标选中拖动的。 如果有演示条件可以演示，没有演示条件，把图引给学生也便于学生理解。 由上面三个例子说明，即使对于高考复习，技术都是必要的，因此掌握了相应的技术 与不掌握技术，教学方法可能会大不相同。技术可以有效地改变学生的学习，也可以有效 地改进教师的教学。高三的数学教学如此，其它年级的数学教学对信息技术的需求当然也 是必要的了。我们将在以后给出各年级不同教学内容的样例。以下给出两个个高考复习题， 请大家考虑如何讲解。我们以后再给出借助于计算机的教学设计与大家探讨。 思考题 1 已知：，| x | 1，若|f (x)|的最大值为 M，求证：M baxxxf 2 )( 2 1 思考题 2 设二次函数，若，)0()( 2 acbxaxxf1| )0(|f ，。1| ) 1 (|f1| ) 1(|f 试证：对于，必有. 1 , 1x 4 5 | )(|xf 2关于新课标与新课程。 在全面推进素质教育的进程中，我们的基础数学教育正在进行一场深刻的以改革教学 内容为中心的教学改革，其改革的力度是建国以来最大的一次。义务教育阶段，2005 年全 国的起始年级全面使用新教材。普通高中的数学课程标准现已有教育部公布，正在组织力 量进行新教材的编写，有可能明年开始在部分地区实验。 新教材与旧教材相比，教学理念、教学内容都有教大的变化，例如，过去中学数学不 涉及概率、统计等内容，现在却成为义务教育阶段数学的必修内容，又例如在高中数学的 必修部分增加了算法，而选修部分则列出的相当多现在中学数学教师尚不熟悉的内容，特 别是选修系列 3、4。例如系列 3 中包括的数学史选讲、信息安全与密码、球面上的几何， 对称与群、欧拉公式与闭曲面分类、三等分角与数域扩充等 6 个专题，系列 4 中包括的几 何证明选讲、初等数论初步、矩阵与变换，数列与差份、坐标系与参数方程、不等式选讲， 统筹法与图论初步、风险与决策、开关电路与布尔代数等 10 个专题。这给所有中学教师提 出了严峻的挑战。多少年来，他们熟悉的教材变了，教师要使用新教材必须学习，不断更 新自己的知识结构与教学理念。终身学习的任务成为教师的职业要求。这其中借助网络学 习并搜集整合教学需要的教育资源显得十分重要。信息素养以及获取信息使用信息的能力 成为数学教师胜任教学任务必须具备的基本能力。 同时就新教材的某些内容看，直接与信息技术有关。 如算法，课程标准的教学建议中写道“算法教学必须通过实例进行，使学生在解决具 体问题的过程中学习一些基本逻辑结构和语句。有条件的学校，应鼓励学生尽可能上机尝 试。 ” “算法除作为本模块的内容之外，其思想方法应渗透在高中数学课程其他有关内容中， 鼓励学生尽可能地运用算法解决相关问题。 ”这对数学教师掌握信息技术的能力实际上提出 了很高的要求。 又如，标准提出“应鼓励学生尽可能运用计算器、计算机来处理数据，进行模拟活动， 更好地体会统计思想和概率的意义。例如，可以利用计算器产生随机数来模拟掷硬币的实 验等。 ” “有条件的学校还可以运用一些常见的统计软件解决实际问题。 ” 再如，在选修课“球面上的几何”的教学建议中指出“球面几何涉及到大量的空间图 形的对称性（变换） ，在条件允许的学校，教学中可以充分利用 (CAI)多媒体技术。 我这里不一一引述新课程标准中关于过多的具体内容了，不过我想大家现在已经认识 到信息技术对于数学教师多么重要。建议大家能仔细阅读标准中第四部分实施建议的 “一、教学建议。 ”这里有一大段是专门论述数学教学与信息技术的关系的，即最后一大段 “恰当运用现代信息技术，提高教学质量。 这里有如下一段话，现抄录如下： “现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深 刻的影响。在教学中，应重视利用信息技术来呈现以往课堂教学中难以呈现的课程内容。 同时，应尽可能使用科学型计算器、计算机及软件、互联网，以及各种数学教育平台，加 强数学教学与信息技术的结合。教师应恰当使用信息技术，改善学生的学习方式，引导学 生借助信息技术学习有关教学内容，探索、研究一些有意义、有价值的教学问题。 ” 看来，数学教师正面临挑战，当然也遇到极具发展前景的大好机遇，我们这个“电脑 数学教室”是大有开设必要的。面对新形势、新挑战，我们都需要学习，本人的水平有限， 显然不能满足教师同行们面对新形势、新挑战的所有需