普通高等学校招生全国统一考试仿真四

2006年普通高等学校招生全国统一考试仿真试卷数 学 文史类(四) 本试卷分第卷(选择题 共60分)和第卷(非选择题 共90分)，考试时间为120分钟，满分为150分.第卷 (选择题 共60分)注意事项： 1.答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂在答题卡上. 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上. 3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.参考公式： 如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A、B相互独立，那么P(AB)=P(A)P(B) 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 正棱锥、圆锥的侧面积公式，其中c表示底面周长，l表示斜高或母线长 球的表面积公式，其中R表示球的半径 球的体积公式，其中R表示球的半径一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设全集为实数集R，集合A=x|x2，B=x|x3x，则 A.AU=R B.U=R C.A= D.=2.0x5是不等式|x-2|0，S130，a1)，求函数f(x)的最小正周期、单调递增区间.18.(本小题满分12分) 甲、乙、丙三人分别独立解一道题，已知甲做对这道题的概率是，甲、丙两人都做错的概率是，乙、丙两人都做对的概率是. (1)求乙、丙两人各自做对这道题的概率. (2)求甲、乙、丙三人中至少有两人做对这道题的概率.19.(本小题满分12分) 如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为3，侧棱AA1=，D是CB延长线上一点，且BD=BC. (1)求证：直线BC1平面AB1D； (2)求二面角B1-AD-B的大小； (3)求三棱锥C1-ABB1的体积.20.(本小题满分12分) 某一电视频道在一天内有x次插播广告的时段，一共播放了y条广告，第一次播放了1条和余下的y-1条的，第2次播放了2条以及余下的，第3次播放了3条以及余下的，以后每次按此规律插播广告，在第x次播放了余下最后的x条(x1)， (1)设第k次播放后余下ak条，这里a0=y，ax=0，求ak与ak-1的递推关系式； (2)求这家电视台这一天播放广告的时段x与广告的条数y.21.(本小题满分12分) 已知x、yR，i、j为直角坐标平面内x、y轴正方向上的单位向量，若向量a=xi+(y+2)j，b=xi+(y-2)j，且|a|+|b|=8. (1)求点M(x，y)的轨迹C的方程； (2)过点(0，3)作直线l与曲线C交于A、B两点，=+，是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB是矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.22.(本小题满分14分) 已知f(x)是定义在R上的单调函数，f(1)=，当x，yR时，恒有f(x+y)=f(x)f(y)成立. (1)求f-1(3)的值； (2)证明：f(x)的反函数f-1(x)满足f-1(xy)=f-1(x)+f-1(y)； (3)若an-an-1=f-1(3n)+c(n2，cR)，a1=-36，则n为何值时，的项取得最大值，并求出最大值.高考仿真试题（四）第10页仿真试题(四) 一、选择题 1.B 2.A |x-2|4-2x6，0x5-2x6. 3.B 4.B 令lBC：x-5=k(y+2)，又y2=4x， y2-4ky-8k-20=0. y1+y2=4k，y1y2=-8k-20. kABkAC=. ABAC. 5.A ， ，正整数=2. 6.A 7.C 8.B 9.C f(x)=x(x-1)(x-2)=x3-3x2+2x， f(x)=3x2-6x+2. x1+x2=2，x1x2=. x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=. 10.D . 11.B N=. 12.B AB5，BE2，BC3，ED4， 最短的管线总长为5+2+3+4=14. 二、填空题 13.d-3 即 又a3=12，a1=12-2d. 代入，得d-3. 14.(-1，) 令P(x，y)， 则x=1+0，y=1+20，-1. 15.0.99 16. V=，当且仅当x=y时取最大值，此时AB与OC的距离为. 三、解答题 17.解：mn=+2cos2x=+cos2x+1. 2分 f(x)=loga(+cos2x) =loga2sin(2x+). 4分 故T=. 5分 令g(x)=2sin(2x+)，则g(x)的单调递增的正值区间(k-，k+)(kZ). 单调递减的正值区间是(k+，k+)(kZ). 9分 当0a1时，函数f(x)的单调递增区间为(k+，k+)(kZ)； 当a1时函数f(x)的单调递增区间为(k-，k+)(kZ). 12分 18.解：(1)记甲、乙、丙三人独立做对这道题的事件依次为A、B、C，则由已知条件得P(A)=， P()=1-P(A)1-P(C)=1-P(C)=， 2分 又P(BC)=P(B)P(C)=， 4分 解得P(B)=，P(C)=. 乙、丙两人各自做对这道题的概率分别为，. 6分 (2)甲、乙、丙三人中恰好有两人做对这道题的概率为P(+)P(A)P(B)1-P(C)+P(B)P(C)1-P(A)+P(A)P(C)1-P(B)=+=； 8分 甲、乙、丙三人都做对这道题的概率为P(A)P(B)P(C)=； 10分 甲、乙、丙三人中至少有两人做对这道题的概率为 P(+)+P(A)P(B)P(C)=. 12分 另解：甲、乙、丙三人中至少有两人做对这道题的概率为 1-P()-P()+)=. 19.(1)证明：CDC1B1，又BD=BC=B1C1， 四边形BDB1C1是平行四形，BC1DB1. 又DB1平面AB1D，BC1平面AB1D， 直线BC1平面AB1D. 3分 (2)解：过B作BEAD于E，连结EB1， BB1平面ABD，B1EAD. B1EB是二面角B1-AD-B的平面角. 5分 BD=BC=AB， E是AD的中点，BE=. 6分 在RtB1BE中， tanB1BE=. B1EB=60， 即二面角B1-AD-B的大小为60. 8分 (3)解法一：过A作AFBC于F， B1B平面ABC，平面ABC平面BB1C1C. AF平面BB1C1C，且AF=. () 即三棱锥C1-ABB1的体积为， 12分 解法二：在三棱柱ABC-A1B1C1中， =，AA1=()=， 即三棱锥C1-ABB1的体积为. 20.解：(1)依题意有第k次播放了k+(ak-1-k)=ak-1+k. 1分 因此ak=ak-1-(ak-1+k)ak-1=k+ak. 3分 (2)a0=1+a1=1+(2+a2)= 4分 1+2+()2a2= 1+2+3()2+x()x-1()xax. ax=0，y=1+2()+3()2+x()x-1. 8分 用错位相减法求和得y=49+(x-7). 10分 yN，x-7=0，即 12分 21.解：(1)由题设得. 由椭圆定义知，轨迹方程为. 3分 (2)直线l过点(0，3)，若直线l的斜率不存在，则A、B为椭圆的顶点. ，O、P重合与OAPB是矩形矛盾. 5分 直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+3，代入，得(4+3k2)x2+18kx-21=0，则有=(18k)2-4(4+3k2)(-21)0，且x1+x2=-，x1x2=-(*) 7分 ，四边形OAPB是平行四边形， 假设存在直线l使得四边形OAPB是矩形，则有， 9分 即有=x1x2+y1y2=0(1+k2)x1x2+3k(x1+x2)+9=0. 将(*)代入，解得k=均适合0. 11分 存在直线l：y=x+3，使得四边形OAPB是矩形. 12分 22.解：(1)令x=1，y=0，得f(1)= f(1)f(0)， f(0)=1. 2分 令x=1，y=-1，得f(1-1)=f(1)f(-1)， 即f(0)=f(1)f(-1). f(-1)=3.f-1(3)=-1. 4分 (2)设f-1(x1)=y1，f-1(x2)=y2，则x1=f(y1)，x2=f(y2). 5分 x1x2=f(y1)f(y2)=f(y1+y2). y1+y2=f-1(x1x2). 6分 又y1+y2=f-1(x1)+f-1(x2), 7分 对任意实数x，y恒有f-1(xy)=f-1(x)+f-1(y)成立. 8