高一数学向量、向量的加法与减法实数与向量的积人教知识精讲

用心 爱心 专心 高一高一数学数学向量、向量的加法与减法，实数与向量的积向量、向量的加法与减法，实数与向量的积人教版人教版 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 向量、向量的加法与减法，实数与向量的积 二. 本周教学重、难点： 1. 重点： 向量、相等向量的概念，向量的几何表示，向量加、减法，实数与向量积的定义，运 算律，共线向量的充要条件，平面向量基本定理。 2. 难点： 向量的概念，对向量加、减法定义的理解，对共线向量，平面向量基本定理的理解。 【典型例题典型例题】 例 1 判断下列各命题是否正确 （1）若则ba ba （2）若 A、B、C、D 是不共线的四点，则是四边形 ABCD 是平行四边形的充DCAB 要条件。 （3）若，则ba cb ca （4）两向量、相等的充要条件是ab ba ba / （5）是的必要不充分条件ba ba （6）的充要条件是 A 与 C 重合，B 与 D 重合CDAB 解：解：（1）不正确 （2）正确 （3）正确 （4）不正确 （5）正确 （6）不正确 例 2 设在平面上给定了一个四边形 ABCD，点 K、L、M、N 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点， 求证：。NMKL A B C K MD N L 证明：证明：在中 K、L 分别是 AB、BC 的中点 ABC 用心 爱心 专心 KLAC 且 与同向，且ACKL 2 1 KLACACKL 2 1 同理可证：与同向且 NMACACNM 2 1 与同向，且 KLNMNMKL NMKL 例 3 如图，在中，O 为重心，D、E、F 分别是 BC、AC、AB 的中点，化简下列三式。ABC （1）EACEBC （2）EAABOE （3）DCFEAB A B C D EF O 解：解： （1）BAEABEEACEBC （2）OBABOAABEAOEEAABOE)( 或原式OBEBOEABEAOE)( （3）ACDCADDCBDABDCFEAB 例 4 已知 O 是ABCD 的对角线 AC 与 BD 的交点，若，证aAB bBC cOD 明：。OBbac 证明：证明： CBABODBCABODbac 在ABCD 中，则DCAB DBCBDCCBAB OBDBODbac 用心 爱心 专心 例 5 设、是两个不共线的非零向量，若向量， 1 e 2 e 21 23eeAB ，试证：A、C、D 三点共线。 21 42eeBC 21 42eeCD 证明：证明： 212121 2)42()23(eeeeeeBCABAC 又 )2(2 21 eeCDACCD2ACCD/ 直线 AC、CD 有公共点 C A、C、D 三点共线 例 6 已知非零向量和不共线。 1 e 2 e （1）如果，求证：A、B、D 三点 21 eeAB 21 82eeBC)(3 21 eeCD 共线。 （2）要使和共线，试确定实数的值。 21 eek 21 eke k （1）证明：证明： ， 21 eeAB CDBCBDABeeeeee5)(53382 212121 、共线，且有公共点 B A、B、D 三点共线ABBD （2）解：解： 与共线 存在使 21 eek 21 eke )( 2121 ekeeek 由于与不共线 21 ) 1()(ekek 1 e 2 e 只能有 01 0 k k 1k 例 7 选定，为基底，设点 P 为、所在平面上一点，则 1 eOA 2 eOB OAOB 1 eOP （，） 。 2 eRR （1）当 P 点在直线 AB 上运动时，对应的、具有怎样的特点？ （2）当 P 点与点 O 在直线 AB 的异侧，对应的，具有怎样的特点？ 用心 爱心 专心 （3）当 P 点与点 O 在直线 AB 的同侧，对应的，具有怎样的特点？ 请将你的结论证明出来。 （1）1 证明：证明：设 ABtAP ABtAP )(OAOBtOAABtOAAPOAOP OBtOAtOAtOBtOA)1 ( 令， t1t1 O P A B （2）1 证明：证明：设，则 POmOP1m OBmtOAtmOBtOAtmOP)1 ()1( 令， )1 (tmmt1m O P A B P （3）1 证明：证明：设，则 POnOP1n OBntOAtnOBtOAtnOP)1 ()1( 令， )1 (tnnt1n 用心 爱心 专心 O P A B P 例 8 设、为非零向量，其中任意两向量不共线，已知与共线，且abcba c 与共线，试问与是否共线？证明你的结论。cb abca 解：解： 与共线 与共线 存在唯一实数，使得 bca ba ccba 与共线 存在唯一实数，使得 cb aacb 由得 accaca)1 ()1 ( 即 又 与不共线0)1()1 (caac ， ，010111 有即 与共线cba0cbabcaca b 【模拟试题模拟试题】 一. 选择： 1. 下列说法中错误的是（ ） A. 零向量是没有方向的 B. 零向量的长度为 0 C. 零向量与任一向量平行D. 零向量的方向是任意的 2. 汽车以 100km/h 的速度向东走了 2h，摩托车以 40km/h 的速度向南走了 2h，则下列命 题中正确的是（ ） A. 汽车的速度大于摩托车的速度B. 汽车的位移大于摩托车的位移 C. 汽车走的路程大于摩托车走的路程D. 以上都不对 3. 下列各等式或不等式中，一定不能成立的个数是（ ） babababababa babababababa A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 若 O 是内一点，则是的（ ）ABCOOCOBOAOABC A. 内心 B. 外心 C. 垂心 D. 重心 5. 下列等式中，正确的个数是（ ） abbaabbaaaO 用心 爱心 专心 aa )(Oaa)( A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 6. 若 O 为ABCD 的中心，则等于（ ） 1 4eAB 2 6eBC 12 23ee A. B. C. D. AOBOCODO 7. 已知、不共线，实数、满足，则 1 e 2 exy 2121 36)32()43(eeeyxeyx 的值等于（ ）yx A. 3 B. C. 0 D. 23 8. 若、是不共线的两个向量，且，（、）abbaAB 1 baAC 2 1 R 2 则 A、B、C 三点共线的充要条件为（ ） A. B. C. D. 1 21 1 21 01 21 01 21 9. D、E、F 分别为的边上 BC、CA、AB 上的中点，且，给出下ABCaBC bCA 列命题： baAD 2 1 baBE 2 1 baCF 2 1 2 1 OCFBEAD 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 在四边形 ABCD 中，其中、baAB2baBC4baCD35 a 不共线，则四边形 ABCD 为（ ）b A. 平行四边形 B. 矩形 C. 梯形 D. 菱形 二. 填空： 1. ，则的最大值和最小值分别是 8a12bba 2. 若且与不共线，则与方向的关系为 0 baabba ba 3. 若，且，则四边形 ABCD 是 eAB3eCD5BCAD 4. ，则写为的形式为 21 3eea 21 24eeb 21 123eeca 1 cb 2 三. 解答题： 1. 已知四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，且，求证：OCAO OBDO 用心 爱心 专心 四边形 ABCD 是平行四边形。 2. 如图，P、Q 是的边 BC 上两点且 BP=QC，求证：。ABCAQAPACAB A BPQC 3. 若其中、为已知向量，求未知向量0)3( 2 1 ) 3 1 (2bxcbaxabcx 4. 设、不共线，点 P 在 O、A、B 所在的平面内，且（OAOBOBtOAtOP)1 ( ） ，求证：A、B、P 三点共线。Rt 5. 试证：三角形两边中点连线平行于第三边，且等于第三边的一半。 用心 爱心 专心 试题答案试题答案 一. 1. A 2. C 3. A 4. D 5. B 6. B 7. A 8. D 9. D 10. C 二. 1. 20、4 2. 互相垂直 3. 等腰梯形 4. cb 27 7 18 1 三. 1. 证明： ， 又 ， OBAOABOCDODCOCAO DOOB 且 AB=DC 四边形 ABCD 为平行四边形DCAB DCAB/ A B C D O 2. 证明： PBAPABQCAQAC +：QCPBAQAPQCAQPBAPACAB 和大小相等，方向相反 PBQCOQCPB AQAPOAQAPACAB 3. 解： 原式0 2 1 2 1 3 2 2 7 2 3 2 1 2 1 3 2 2cbaxbxcbax cbax 7 1 7 1 21 4 4. 证明： OBtOAtOP)1 (