高一数学向量数量积典型例题人教

数学向量数量多的典型例题高数学向量性质描述的判断例1 .在已知、为3个非零向量的情况下，下一命题中的真命题的个数为()人反方向；A.1 B.2 C.3 D.4分析：以上四个命题需要逐一判断，有两个依据，一个是矢量乘积的定义，第二个是矢量加法和减法的平行四边形法则。 中44444444444444444444444铮铮铮铮，铮作响，铮作响653，即有.相反，如果相邻的四边形为矩形，则命题为真命题.答案： c总结： (1)在两向量为同方向情况下，角度为0 (或)相反方向的情况下，角度为(或)；在两向量垂直的情况下，角度为，因此，在两向量为共线的情况下，角度为0或，相反，在两向量的角度为0或时，两向量为共线.(2)关于命题我们既不是充分的条件，也不是必要的条件，可以进行改良。利用定义求向量的数积例1 .众所周知，与(l)(2)、(3)的角度为时，求出与各自的数积。分析：既知，又求，只确定角度，有两种可能性需要注意。解： (1)如同方向；相反的话(2)当时与(3)的角度为时.总结： (1)关于数量积，其中取值的范围为(2)零以外的矢量和(3)零以外的矢量和共线的充分条件是矢量数乘积的运算例1，如果已知向量是相互垂直单位向量分析：首先要求，要计算解：已知二得-得事故总结：为了解决本问题，还可以利用向量坐标运算或求解矢量角度如示例1所知的，不共轭线性向量与向量垂直求出：与的角度的馀弦值分析：因为是以向量的数量乘积知道的，所以需求的值是已知的的双曲馀弦值解：垂直基于向量数的乘积的计算法得到的、求助总结：非零向量是应用向量解决垂直问题的重要手段，特别是基于向量乘积的定义，将研究形式的问题转化为数量问题，如已知，角度可以从取哪个值时，垂直可以求得。矢量垂直时的参数值例1 .众所周知，当时正在求实数值分析：求实数值，运用方程思想建立方程，求解方程来解决问题解：即把.代入式总结：通过使向量垂直2向量的数积为0，建立方程式，将向量问题变换为方程式求解向量垂直证明例1 .非零矢量和角度已知，且求证明：是分析：要证明两个向量是垂直的，只需证明它们的数量积为零证明：和角度一致也就是说，那是什么可以删除赋值表达式总结：这也是一个垂直的证明问题，但不是从平面几何的角度，而是从数量乘积的角度直接给出条件，运用数量乘积的知识解决问题矢量垂直例1、已知向量是相互垂直的单位向量的双曲馀弦值分析：本问题考察向量运算，考察两向量的垂直充要条件解：从问题设定中可以看出是由、得，即，得到另外，在解决问题时，也可以通过矢量坐标求解，即再利用矢量的垂直的充分条件来求出m的值.求矢量角度的馀弦示例1 .与的角度的馀弦值是.分析：先求角度的值。解：把儿代入了。是总结：本问题表达了平面向量数量乘积的概念、性质及算术律比较综合了判断四边形的形状例1，在平面四边形中例2，判断四边形形状分析：四边形中可见，两侧平方后，根通过基于问题得到四边形边的长度的关系，根据四边形的边的长度及内角的状况决定四边形的形状.证明：从四边形可以看出即，即有进展，可以说同样的话根据(1)-(2)即，即四边形是平行四边形这样一来此外，即即，即四边形是矩形总结：利用向量的数积和知识，可以解决许多几何问题，特别是几何图形形状的判断。 因为矢量积与长度(型)和角有关系用向量证明等腰三角形的底边上的中心线垂直于底边，如图所示，是等腰三角形，是底边的中点。因此，命题成立利用向量垂直证明平面几何的垂直问题如图所示，中为直角，中为上点，然后求证据分析：利用向量垂直充要条件求解问题，即证明证明：设这个等腰三角形直角边的长度为.所以呢总结：向量法证明几何问题时，一般将已知和结论转换为向量形式，用相应的向量运算进行证明，可以用实数和向量的乘积证明共线、平行、长度关系等几何问题，很容易发现向量的乘积可以解决长度关系、角度、垂直等几何问题。已知平行四边形对角线的一半数量的积例1、如图所示，平行四边形为.分析：根据矢量数积的定义，显然不行。 要说为什么，那是因为不能确定。 因为我们该怎么做，所以这样做的双曲馀弦值解：平行四边形，从向量的加减法则点是平行四边形的对角线、点的交点即，中点是.总结： (1)通过本问题，我们看到无关的角度，只是有关系(2)如果原封不动地应用向量数乘积的定义，则不能求正题，但转移问题，用间接的方法解决这个问题是数学中常用的方法(3)和非共线时，垂直的充分条件为如何以平面向量的数乘方式处理垂直问题？例2如图5-6-8所示，已知AD、BE、CF为ABC三条高.图5-6-8寻求证据： AD、BE、CF在一点相交证明：将BE、CF与h交叉，设=b、=c=h=h-b、=h-c、=c-b2卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡耶653c=0，(h-c)b=0c=(h-c ) b简化： h(c-b)=0铿锵锵锵锵653ad、BE、CF在一点h相交如何用平面向量的数乘来处理长度和角度问题？例3如果向量a 3b与7a-5b垂直、向量a-4b与7a-2b垂直，则求非零的向量a与b的角度分析：本题考察向量的综合演算能力和逻辑思维能力解：从已知开始即，即15 8、得161a2-161b2=0因此|a|=|b|.设向量a和b的角度为，则由得到30|a|b|cos=7|a|2 8|b|2将式子代入上式cos=，=60即，a与b所成角为60 .如何使用向量运算的几何性质证明几何问题？例如已知ABCD是平行四边形.验证：|2 |2=2(|2 |2 )证明：假设a，=b=a b、=b-a于是|2|2=|a b|2|B- a|2=(a b )2(B- a )2=2(a2 B2 )=2(|2|2 )注解：这是一个重要的平面几何结论，证据法多，不比向量法简单例子c=ma nb，ac，bc=-4，另外，已知b和c角度是120，|a|=2，|c|=4，求出m，n的值和a和b的角度.分析：利用ac=0的条件了解：已知的c=ma nb(* )(* )的两侧乘以|c|2=mac nbc即，16=-4n，n=-4 .(* )的两侧乘以a，则ac=ma2-4ab即0=8m-4abab=2m(* )的两侧乘以b，则bc=mab-4b2已知-4=bc=|b|c|cos120=-2|b|b|=2-4=mab-16，mab=12另外，ab=2m，8756； m2=6，m=ab=2=|a|b|coscos=、=30或150n=-4，m=，a和b角度为30或150注解：“同乘”这个向量，用已知的条件得到方程式，是构造法思想【同步达纲训练】1 .设e 1、e2为两个单位向量时，以下命题中正确的是()a.e1=e2b.e1e2=1c.e1e2=e2d.e1e22 .如果a、b和c不是零向量，(ab)c为()a .与数b.a共线的矢量与c.c共线的矢量d .无意义3 .如果已知ab、|a|=2、|b|=3并且3a 2b垂直于a-b，则等于()A.B.- C.D.14 .在已知|a|=2，|b|=和b的角度为45且b-a和a垂直的情况下，=_5 .如果已知非零向量a和b，则a-b垂直于a-b的充分条件是_6 .求出已知|a|=13、|b|=19且|a b|=24、|a-b|值.【同步达纲训练】另一方面，1.C e12=|e1|2=1，E2=|E2|2=1，8756； e12=e222.C abR3.a (3a2b ) (a-b )=3| a|2-3 ab 2a-2|b|2=12- 18=0、 =二、4.2a (B- a )=(ab )-|