江苏前黄高级中学、姜堰中学、如东高级中学、沭阳如东中学四校高三数学联考模拟

2017年江苏省常州市前黄中学高考数学模拟试卷（4月份）一、填空题：1已知全集U=Z，A=1，0，1，2，B=x|x2=x，则AUB= 2设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为 3某校为了解高中学生的阅读情况，拟采取分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本进行调查，已知该校有高一学生600人，高二学生400人，高三学生200人，则应从高一学生抽取的人数为 4根据如图的伪代码，输出的结果T为 5记不等式x2+x60的解集为集合A，函数y=lg（xa）的定义域为集合B若“xA”是“xB”的充分条件，则实数a的取值范围为 6已知（0，），sin（+=，则tan= 7已知正三棱锥的体积为9cm3，高为3cm则它的侧面积为 cm28若实数x，y满足不等式组，则z=y2x最小值等于2，z的最大值 9设等比数列an的前n项积为n，若12=327，则a10的值是 10已知正实数x，y满足xy+2x+3y=42，则xy+5x+4y的最小值为 11已知f（x）=，则不等式f（x2x+1）12解集是 12在ABC中，AB=BC=2，AC=3，设O是ABC的内心，若=p+q，则的值为 13设G是三角形的重心，且=0，若存在实数，使得，依次成等差数列，则实数为 14已知圆O：x2+y2=4与曲线C：y=3|xt|，曲线C上两点A（m，n），B（s，p）（m、n、s、p均为正整数），使得圆O上任意一点到点A的距离与到点B的距离之比为定值k（k1），则msnp= 二、解答题（共6小题，满分90分）15在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=4，sin2A=sinC（1）若b=5，求ABC的面积；（2）若b8，证明：角B为钝角16已知直三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC中，C=90，BC=，BB1=2，O是AB1的中点，D是AC的中点，M是CC1的中点，（1）证明：OD平面BB1C1C； （2）试证：BMAB117某生物探测器在水中逆流行进时，所消耗的能量为E=cvnT，其中v为进行时相对于水的速度，T为行进时的时间（单位：h），c为常数，n为能量次级数，如果水的速度为4km/h，该生物探测器在水中逆流行进200km（1）求T关于v的函数关系式；（2）当能量次级数为2时，求探测器消耗的最少能量；当能量次级数为3时，试确定v的大小，使该探测器消耗的能量最少18如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆： =1（ab0）的左、右焦点分别为F1（，0），F2（，0），且椭圆的上顶点到直线x+y+1=0的距离等于1（1）求椭圆的标准方程；（2）过点P（1，2）作两条倾斜角互补的两直线l1，l2分别交椭圆于A，B，C，D四点，求kAC+kBD的值19已知函数f（x）=x3x+2（）求函数y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）令g（x）=+lnx，若函数y=g（x）在（e，+）内有极值，求实数a的取值范围；（）在（）的条件下，对任意t（1，+），s（0，1），求证：20已知有穷数列：的各项均为正数，且满足条件：a1=ak；（）若k=3，a1=2，求出这个数列；（）若k=4，求a1的所有取值的集合；（）若k是偶数，求a1的最大值（用k表示）选修4-2：矩阵与变换21已知，点A在变换T：作用后，再绕原点逆时针旋转90，得到点、B若点B的坐标为（3，4），求点A的坐标选修4-4：坐标系与参数方程选讲22若以直角坐标系xOy的O为极点，Ox为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程是=（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（2）若直线l的参数方程为（t为参数），当直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|23如图是某游戏中使用的材质均匀的圆形转盘，其中，部分的面积各占转盘面积的，游戏规则如下：当指针指到，部分时，分别获得积分100分，40分，10分，0分；（）若参加该游戏转一次转盘获得的积分不是40分，则按获得相应的积分，游戏结束；（）若参加该游戏转一次获得的积分是40分，则用抛一枚质地均匀的硬币的方法来决定是否继续游戏正面向上时，游戏结束；反面向上时，再转一次转盘，若再转一次的积分不高于40分，则最终积分为0分，否则最终积分为100分，游戏结束设某人参加该游戏一次所获积分为（1）求=0的概率；（2）求的概率分布及数学期望24设函数f（x）=lnx+1（1）求f（x）的最小值（2）若数列an满足，a1=1，an+1=f（an）+2（nN*），证明：2an3（n3，nN*）2017年江苏省常州市前黄中学高考数学模拟试卷（4月份）参考答案与试题解析一、填空题：1已知全集U=Z，A=1，0，1，2，B=x|x2=x，则AUB=1，2【考点】1H：交、并、补集的混合运算【分析】先将B化简，求出 CUB，再求出ACUB【解答】解：B=x|x2=x=0，1 CUB=xZ|x0，且x1，ACUB=1，2故答案为：1，22设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为1【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a值【解答】解： =复数为纯虚数，即a=1故答案为：13某校为了解高中学生的阅读情况，拟采取分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本进行调查，已知该校有高一学生600人，高二学生400人，高三学生200人，则应从高一学生抽取的人数为30【考点】B3：分层抽样方法【分析】利用分层抽样的方法直接求解【解答】解：采取分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本进行调查，已知该校有高一学生600人，高二学生400人，高三学生200人，则应从高一学生抽取的人数为： =30故答案为：304根据如图的伪代码，输出的结果T为100【考点】EA：伪代码【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件T=1+3+5+7+19时，T的值【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件T=1+3+5+7+19值T=1+3+5+7+19=100，故输出的T值为100故答案为：1005记不等式x2+x60的解集为集合A，函数y=lg（xa）的定义域为集合B若“xA”是“xB”的充分条件，则实数a的取值范围为（，3【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据条件求出A，B，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可【解答】解：由x2+x60得3x2，即A（3，2），由xa0，得xa，即B=（a，+），若“xA”是“xB”的充分条件，则AB，即a3，故答案为：（，36已知（0，），sin（+=，则tan=【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；GI：三角函数的化简求值【分析】利用同角三角函数的基本关系求得cos（+） 的值，可得tan（+） 的值，再利用两角差的正切公式，求得tan的值【解答】解：已知（0，），sin（+=，+（，），cos（+）=，tan（+）=，tan=，故答案为：7已知正三棱锥的体积为9cm3，高为3cm则它的侧面积为18cm2【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【分析】利用三棱锥的体积求出底面面积，得到底面边长，求解侧面积即可【解答】解：正三棱锥的体积为9cm3，高为3cm可得底面正三角形的面积为：，解得S=9设底面边长为xcm由题意可得：，解得x=6侧面斜高h=2它的侧面积S=362=18故答案为：188若实数x，y满足不等式组，则z=y2x最小值等于2，z的最大值10【考点】7C：简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，先求出m的值，然后结合数形结合即可得到结论【解答】解：由z=y2x，得y=2x+z，作出不等式对应的可行域，平移直线y=2x+z，由平移可知当直线y=2x+z经过点C时，直线y=2x+z的截距最小，此时z取得最小值2，由得，即C（1，0），将C（1，0）代入x+y+m=0，得m=1，即此时直线方程为x+y1=0，当直线y=2x+z经过点B时，直线y=2x+z的截距最大，此时z取得最大值由，得，即B（3，4），此时z的最大值为z=42（3）=10，故答案为：109设等比数列an的前n项积为n，若12=327，则a10的值是2【考点】89：等比数列的前n项和【分析】利用12=327，求出a8a9a12=32，再利用等比数列的性质，可求a10【解答】解：等比数列an的前n项积为n，12=327，a1a2a3a12=32a1a2a3a7，a8a9a12=32，（a10）5=32，a10=2故答案为：210已知正实数x，y满足xy+2x+3y=42，则xy+5x+4y的最小值为55【考点】7F：基本不等式【分析】正实数x，y满足xy+2x+3y=42，可得y=0，解得0x21则xy+5x+4y=3x+y+42=3x+42=3+31，再利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：正实数x，y满足xy+2x+3y=42，y=0，x0，解得0x21则xy+5x+4y=3x+y+42=3x+42=3+313+31=55，当且仅当x=1，y=10时取等号xy+5x+4y的最小值为55故答案为：5511已知f（x）=，则不等式f（x2x+1）12解集是（1，2）【考点】5B：分段函数的应用【分析】由题意可得函数f（x）为奇函数，函数f（x）在R上是增函数令x2+x=12，求得x=3或x=4（舍去）故由不等式f（x2x+1）12，可得 x2x+13，由此求得x的范围【解答】解：f（x）=，f（x）=f（x）恒成立，函数f（x）为奇函数，再根据二次函数的图象和性质可得：f（x）在（0，+）上是增函数，f（0）=0，可得函数f（x）在R上是增函数令x2+x=12，求得x=3 或x=4（舍去）由不等式f（x2x+1）12，可得 x2x+13，即 （x+1）（x2）0，解得1x2，故答案为：（1，2）12在ABC中，AB=BC=2，AC=3，设O是ABC的内心，若=p+q，则的值为【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义【分析】在两边分别同乘以向量，从而得到，画出图形并取AC边的中点D，O在BD上，所以，由余弦定理可求得cosBAC=，这样进行数量积的计算即可得到关于p，q的两个方程，解方程组即可求出p，q，从而求出【解答】解：如图，O为ABC的内心，D为AC中点，则：O在线段BD上；cosDAO=，根据余弦定理：cosBAC=；由得：；=；同理；可以得到；联立可求得；故答案为：13设G是三角形的重心，且=0，若存在实数，使得，依次成等差数列，则实数为【考点】8L：数列与向量的综合；9R：平面向量数量积的运算【分析】利用G点为ABC的重心，且=0，进一步得到用、表示，得到三边关系，将所求转化为三角的弦函数表示整理即得可【解答】解：G为三角形ABC的重心，且=0，=0，即=0，b22c22bccosA=0又+=，即+=，2=（+）=，故=，故答案为：14已知圆O：x2+y2=4与曲线C：y=3|xt|，曲线C上两点A（m，n），B（s，p）（m、n、s、p均为正整数），使得圆O上任意一点到点A的距离与到点B的距离之比为定值k（k1），则msnp=0【考点】3R：函数恒成立问题【分析】设p（x0，y0），则x02+y02=4，结合且P点到点A的距离与到点B的距离之比为定值k（k1），m、n、s、p均为正整数，求出m、n、s、p的值，可得答案【解答】解：设p（x0，y0），则x02+y02=4，且P点到点A的距离与到点B的距离之比为定值k（k1），=k（k1），4+m2+n22mx02ny0=k2（4+s2+p22sx02py0）消去m，n得s2+p2=4所以s=p=1，k=，此时m=n=2，此时msnp=0，故答案为：0二、解答题（共6小题，满分90分）15在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=4，sin2A=sinC（1）若b=5，求ABC的面积；（2）若b8，证明：角B为钝角【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理【分析】（1）由二倍角的正弦公式和正弦定理、余弦定理，解方程可得c，再由三角形的面积公式，计算可得结论；（2）运用二倍角的正弦公式和正弦定理，2acosA=c，A为锐角，由正弦定理可得c=acosB+bcosA，再由不等式的性质可得cosB0，可得B为钝角【解答】解：（1）a=4，sin2A=sinC，可得2sinAcosA=sinC，由正弦定理可得2acosA=c，即有cosA=，b=5，由余弦定理可得16=25+c210ccosA，即有c=6，可得cosA=，sinA=，则ABC的面积为S=bcsinA=56=；（2）证明：a=4，sin2A=sinC，可得2sinAcosA=sinC，由正弦定理可得2acosA=c，A为锐角，由sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，由正弦定理可得c=acosB+bcosA，即为8cosA=4cosB+bcosA，b8，可得8cosA=4cosB+bcosA4cosB+8cosA，可得cosB0，则B为钝角16已知直三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC中，C=90，BC=，BB1=2，O是AB1的中点，D是AC的中点，M是CC1的中点，（1）证明：OD平面BB1C1C； （2）试证：BMAB1【考点】LS：直线与平面平行的判定；LO：空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（1）连B1C利用中位线的性质推断出ODB1C，进而根据线面平行的判定定理证明出OD平面BB1C1C（2）先利用线面垂直的性质判断出CC1AC，进而根据线面垂直的判定定理证明出AC平面BB1C1C，进而可知ACMB利用证明BCDB1BC，推断出CBM=BB1C，推断出BMB1C，最后利用线面垂直的判定定理证明出BM平面AB1C，进而可知BMAB1【解答】证明：（1）连B1C，O为AB1中点，D为AC中点，ODB1C，又B1C平面BB1C1C，OD平面BB1C1C，OD平面BB1C1C（2）连接B1C，直三棱柱ABCA1B1C1，CC1平面ABCAC平面ABC，CC1AC，又ACBC，CC1，BC平面BB1C1C，AC平面BB1C1C，BM平面BB1C1C，ACMB在RtBCM与RtB1BC中， =，BMCB1BC，CBM=BB1C，BB1C+B1BM=CBM+B1BM=90，BMB1C，AC，B1C平面AB1C，BMAB1C，AB1平面AB1C，BMAB117某生物探测器在水中逆流行进时，所消耗的能量为E=cvnT，其中v为进行时相对于水的速度，T为行进时的时间（单位：h），c为常数，n为能量次级数，如果水的速度为4km/h，该生物探测器在水中逆流行进200km（1）求T关于v的函数关系式；（2）当能量次级数为2时，求探测器消耗的最少能量；当能量次级数为3时，试确定v的大小，使该探测器消耗的能量最少【考点】5C：根据实际问题选择函数类型【分析】（1）分别求出探测器相对于河岸的速度，建立条件即可即可求T关于v的函数关系式；（2）当能量次级数为2时，利用分式函数的性质结合基本不等式进行求解当能量次级数为3时，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可【解答】解：（1）由题意得，该探测器相对于河岸的速度为，又该探测器相对于河岸的速度比相对于水的速度小于4km/h，即为v4，则=v4，即T=，（v4）；（2）当能量次级数为2时，由（1）知，v4，E=200c=200c=200c（v4）+8200c2+8=3200c，当且仅当v4=，即v=8km/h时取等号，当能量次级数为3时，由（1）知，E=200c，v4，则E=200c，由E=0，解得v=6，即当v6时，E0，当v6时，E0，即当v=6时，函数E取得最小值为E=21600C18如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆： =1（ab0）的左、右焦点分别为F1（，0），F2（，0），且椭圆的上顶点到直线x+y+1=0的距离等于1（1）求椭圆的标准方程；（2）过点P（1，2）作两条倾斜角互补的两直线l1，l2分别交椭圆于A，B，C，D四点，求kAC+kBD的值【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；K3：椭圆的标准方程【分析】（1）椭圆上顶点（0，b），由题意可得： =1，c=，a2=b2+c2联立解出即可得出（2）设直线l1的斜率为k，则l2的斜率为kA（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）直线l1，l2的方程分别为：y2=k（x1），y2=k（x1），分别与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系及其斜率计算公式即可得出【解答】解：（1）椭圆上顶点（0，b），由题意可得： =1，c=，a2=b2+c2联立解得b=1，a=2椭圆的标准方程为： =1（2）设直线l1的斜率为k，则l2的斜率为kA（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）直线l1，l2的方程分别为：y2=k（x1），y2=k（x1），联立，化为：（1+4k2）x2+（16k8k2）x+4k216k+12=0，0，x1+x2=，x1x2=，同理可得：x3+x4=，x3，x4=，kAC+kBD=+=+=+=，分子=2k+=0kAC+kBD=019已知函数f（x）=x3x+2（）求函数y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）令g（x）=+lnx，若函数y=g（x）在（e，+）内有极值，求实数a的取值范围；（）在（）的条件下，对任意t（1，+），s（0，1），求证：【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）求出切点坐标，求出导数，得到切线的斜率，然后求解函数y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程（）化简g（x）的表达式，求出定义域，求出导函数，构造函数h（x）=x2（a+2）x+1，要使y=g（x）在（e，+）上有极值，转化为 h（x）=x2（a+2）x+1=0有两个不同的实根x1，x2，利用判别式推出a的范围，判断两个根的范围，然后求解a 的范围（）转化已知条件为t（1，+），都有g（t）g（x2），通过函数的单调性以及最值，推出=，构造函数，利用导数以及单调性求解即可【解答】（）解：f（1）=131+21=2函数y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为：y2=3（x1），即3xy1=0 （）解：定义域为（0，1）（1，+）设h（x）=x2（a+2）x+1，要使y=g（x）在（e，+）上有极值，则 h（x）=x2（a+2）x+1=0有两个不同的实根x1，x2，=（a+2）240a0或a4而且一根在区间（e，+）上，不妨设x2e，又因为x1x2=1，又h（0）=1，联立可得：（）证明：由（）知，当x（1，x2），g（x）0，g（x）单调递减，x（x2+）时，g（x）0，g（x）单调递增g（x）在（1，+）上有最小值g（x2）即t（1，+），都有g（t）g（x2）又当x（0，x1），g（x）0g（x）单调递增，当x（x1，1），g（x）0，g（x）单调递减，g（x）在（0，1）上有最大值g（x1）即对s（0，1），都有g（s）g（x1）又x1+x2=2+a，x1x2=1，x1（0，），x2（e，+），=，k（x）在（e，+）上单调递增，20已知有穷数列：的各项均为正数，且满足条件：a1=ak；（）若k=3，a1=2，求出这个数列；（）若k=4，求a1的所有取值的集合；（）若k是偶数，求a1的最大值（用k表示）【考点】8B：数列的应用【分析】（）k=3，a1=2，由知a3=2；由知，整理得，a2即可得出a3（II）若k=4，由知a4=a1由于，解得或分类讨论即可得出（）依题意，设k=2m，mN*，m2由（ II）知，或假设从a1到a2m恰用了i次递推关系，用了2m1i次递推关系，则有，其中|t|2m1i，tZ对i分类讨论即可得出【解答】解：（）k=3，a1=2，由知a3=2；由知，整理得，解得，a2=1或当a2=1时，不满足，舍去；这个数列为（）若k=4，由知a4=a1，或如果由a1计算a4没有用到或者恰用了2次，显然不满足条件；由a1计算a4只能恰好1次或者3次用到，共有下面4种情况：（1）若，则，解得；（2）若，则，解得a1=1；（3）若，则，解得a1=2；（4）若，则，解得a1=1；综上，a1的所有取值的集合为（）依题意，设k=2m，mN*，m2由（ II）知，或假设从a1到a2m恰用了i次递推关系，用了2m1i次递推关系，则有，其中|t|2m1i，tZ当i是偶数时，t0，无正数解，不满足条件；当i是奇数时，由得，又当i=1时，若，有，即a1的最大值是2m1即选修4-2：矩阵与变换21已知，点A在变换T：作用后，再绕原点逆时针旋转90，得到点、B若点B的坐标为（3，4），求点A的坐标【考点】O5：旋转变换【分析】先根据旋转变换写出旋转变换矩阵，从而得出在变换T：作用后，再绕原点逆时针旋转90后对应的矩阵再设A（a，b），求A点在此矩阵的作用下变换后的点，代入已知条件即可求得所求点A的坐标【解答】解：根据题意知，在变换T：作用后，再绕原点逆时针旋转90后对应的矩阵为：=，设A（a，b），则由=，得，即A（2，3）选修4-4：坐标系与参数方程选讲22若以直角坐标系xOy的O为极点，Ox为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程是=（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（2）若直线l的参数方程为（t为参数），当直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程【分析】（1）曲线C的极坐标方程转化为2sin2=cos，由此能求出曲线C的直角坐标方程，并得到曲线C是以x轴为对称轴，开口向右的抛物线（2）直线l的参数方程消去参数t，得直线l的直角坐标方程为，代入y2=x，得：2y22y3=0，由此利用弦长公式能求出|AB|【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程是=，2sin2=cos，曲线C的直角坐标方程为y2=x，曲线C是以x轴为对称轴，开口向右的抛物线（2）直线l的参数方程（t为参数），消去参数t，得直线l的直角坐标方程为，代入y2=x，整理，得：2y22y3=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=，|AB|=23如图是某游戏中使用的材质均匀的圆形转盘，其中，部分的面积各占转盘面积的，游戏规则如下：当指针指到，部分时，分别获得积分100分，40分，10分，0分；（）若参加该游戏转一次转盘获得的积分不是40分，则按获得相应的积分，游戏结束；（）若参加该游戏转一次获得的积分是40分，则用抛一枚质地均匀的硬币的方法来决定是否继续游戏正面向上时，游戏结束；反面向上时，再转一次转盘，若再转一次的积分不高于40分，则最终积分为0分，否则最终积分为100分，游戏结束设某人参加该游戏一次所