高一数学用样本估计总体北师大知识精讲

高一数学用样本估计总体北师大版【本讲教育信息】一、教学内容：用样本估计总体二、学习目标1、正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差。2、能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释。3、会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征。4、形成对数据处理过程进行初步评价的意识。5、在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。6、会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题，认识统计的作用，能够辩证地理解数学知识与现实世界的联系。三、知识要点1、数据的两个特征：集中趋势和波动性。集中趋势指的是数据的“一般水平”或曰“平均水平”，波动性指的是数据围绕“平均值”的变化情况。2、反映数据“大多数水平”（集中趋势）的量众数众数：即样本数据中频数最大（或频率最高）的数据。特点：可以不存在或不止一个；不受极端数据的影响，求法简单；可靠性差，如0，0，2，3，5这组数据中，众数是0，它很难真实反映这组数据的“平均水平”（集中趋势）；众数在难以定义“平均数”或“中位数”时常用，故一般可用于统计非数字型数据，如“牛，羊，马，鱼，牛”这组数据中，众数是“牛”；众数在销售统计中常用3、反映数据“中间水平”（集中趋势）的量中位数中位数：把一组数据按从小到大的数序排列，在中间的一个数字（或两个数字的平均值）叫做这组数据的中位数。特点：中位数把样本数据分为两部分，一部分大于中位数，另一部分小于中位数；中位数不受少数几个极端值的影响；由于当样本数据为偶数个时，中位数等于中间两个数据的平均值，因此有时中位数未必在样本数据中4、反映数据“平均水平”（集中趋势）的量平均数平均数：所有数据之和再除以数据的个数所得值，又称算术平均数。公式：特点：一般情况下能有效地反映数据的集中趋势；但易受极端值的影响，在极差较大的情况下，不如众数和中位数准确；5、反映数据“波动范围”的量极差极差（R）：一组测量数据中，最大值与最小值之差称为极差特点：极差只指明了测定值的最大离散范围，而未能利用全部测量值的信息，不能精确反映测量值彼此相符合的程度；但计算简单6、反映数据“波动大小”的量方差方差：样本中各数据与样本平均数的差的平方的平均数叫做样本方差（或均方差），随机变量X的方差可记作：S2（或D（X）。特点：方差越大，数据的波动性越大；7、反映数据“波动大小”的量标准差标准差：方差的平方根，记作S。特点：标准差越大，数据的波动性越大；8、用样本来估计总体：一般情况下，如果总体的容量较大，不便分析其数据特征，我们可以通过随机抽取一定的样本，通过样本的数据特征来对总体的数据特征进行估计；但难免有一定误差。【典型例题】考点一 合理选择统计量例1、有一首打油诗“张村有个张千万，隔壁九个穷光蛋，平均起来算一算，人人都是张百万。”这首诗反映了什么现象？如何选择恰当的统计量来反映该村的收入水平？某次数学考试，婷婷得到 78分。全班共30人，其他同学的成绩为1个100分，4个90分，22个80分，以及1个2分和1个10分。婷婷计算出全班的平均分为 77分，所以婷婷告诉妈妈说，自己这次的成绩在班上处于“中上水平”。她说得对吗？如何选择恰当的统计量来反映她的成绩在班上的真实位置？【分析】在极差较大的情况下，用平均数来反映数据的特征往往出现较大的偏差，具体表现为标准差较大，如打油诗中数据的标准差达到了惊人的3000000，而婷婷班上成绩数据的标准差也达到了19.93，所以才会出现基本上都是不名一文的村子却“人人都是百万富翁”以及排名倒数第三的成绩成了“中上水平”的不正常现象。【答】上述现象表明：平均数受极端值影响较大，在极差较大的情况下，不宜用平均数来刻画数据的数字特征，可选用众数或中位数。考点二 从统计图表中提取样本的数字特征例2、已知一组数据共有二十个，它的频率分布直方图如下（纵轴表示频率）：试根据上图写出该组数据的中位数，众数，平均数并求其标准差。【分析】了解频率分布直方图的意义；了解所求各量的意义。【解】由图可知：该组数据的中位数是，众数是5，平均数标准差S=1.64【说明】如果已知各数据的频率，则求平均值时对频率与对应数据的积求和即可，即。考点三 反映数据集中趋势的常用量平均值例3、在一次射击训练中，甲乙两位选手分别进行了10次射击测试，中靶成绩如下：甲10109981010798乙96101091079108根据上表数据计算，谁的成绩更好？【分析】本题是根据10次测试的成绩来对选手的竞技状态进行评价，属于根据样本来对总体进行估计；两组数据的极差均不大，因此可选用平均数来进行估计。【解】，因为，因此甲的成绩好于乙的成绩。考点四 反映数据波动性的常用量方差或标准差例4、甲乙两位选手在射击训练中的测试成绩如下：甲101099998998乙96101091099108根据上表回答：哪位选手的状态更好？按照历次比赛的数据统计，获奖选手平均中靶的环数至少为9.5，那么应该派哪位选手参赛较好？【分析】以这10次测试的平均成绩来进行估计；经过计算可知，两位选手的平均成绩都不超过9.5，可结合稳定性来考虑；显然，稳定性越好，获奖的可能性越小。【解】，因此两位选手的平均成绩是相同的；但是，S甲=0.67，S乙=1.25，因为S甲S乙，所以甲发挥得更稳定；由于，且S甲S乙，因此可派出乙选手参加比赛。说明：对第二个问题的处理，也可结合众数进行。甲的数据的众数是9，乙的数据的众数是10和9，反映出大多数情况下，甲能打出9环，而乙能打出9环或10环。五、数学思想方法本讲主要内容是根据样本的数字特征对总体的数字特征进行估计，基本做法是选择合适的样本估计量作为总体的数字特征。通过对这些内容的学习，我们要学会如何合理地整理和分析数据，如何从数据中提取信息，并根据实际问题的需要，从样本数据的数字特征出发，对总体的数字特征进行估计，体会用样本估计总体的思想；从而进一步认识到抽样调查对于解决一些实际问题的巨大作用；体会到统计知识与生产和生活实践的紧密联系，从而感受到“数学是有用的”这样一种课程理念。【模拟试题】（答题时间：60分钟）一、选择题1. 某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示.根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（ ）A. 0.6 hB.0.9 hC.1.0 hD.1.5 h2. 在用样本估计总体数字特征的过程中，下列说法中正确的是（ ）A. 总体容量越大，估计越精确 B. 总体容量越小，估计越精确 C. 样本容量越大，估计越精确 D. 样本容量越小，估计越精确3. 如果把一组数据中的每一个数据都加上同一个常数，则加后数据的标准差和以前相比A. 变大B. 变小C. 不变 D. 不确定4. 如果把一组数据中的每一个数据都乘以同一个正数K，则其平均值和标准差的变化情况是A. 都变为原来的K倍B. 平均值为原来的K倍，标准差为原来的K2倍C. 平均值变为原来的，标准差为原来的K倍 D. 都不变*5. 设有个样本，其标准差为，另有个样本，且，其标准差为，则下列关系正确的是 A. B. C. D. 6. 是的平均数，2是的平均数，3是的平均数，则的值为A. 2.5 B. 2.6 C. 2.7 D. 2.8*7. 如果数据x1、x2、xn 的平均值为，方差为S2 ，则3x1+5、3x2+5、3xn+5 的平均值和方差分别为（ ）.A. 和S2 B. 3+5和9S2 C. 3+5和S2 D. 3+5和9S2+30S+25二、填空题8. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在（元）月收入段应抽出_人。9. 已知样本方差由，求得，则 三、解答题10. 在篮球比赛的某个赛季中，甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下甲运动员得分12，15，20，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50；乙运动员得分8，13，14，16，23，26，28，38，39，51，31，29，33请问从上面的数据中你能否看出甲，乙两名运动员哪一位发挥比较稳定？11. 相关规定表明：蛋糕存放不能超过一天。已知某蛋糕店试营业一周内日销售数量经统计为：14，15，15，15，15，17，21（单位：盒）。问：该店正式营业时，以日生产多少盒蛋糕为最好？*12. 设有10个数的平均数是3，且这10个数的平方和是100，求这个数组的标准差。13. 有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？【试题答案】一、选择题题号1234567答案BCCABBB二、填空题8. 25；9. 三、解答题10. 经计算，甲的成绩数据的平均值和标准差分别为32.69和12.