高一数学暑假平面向量的数量积苏教

用心 爱心 专心 高一数学高一数学暑假专题暑假专题平面向量的数量积平面向量的数量积苏教版苏教版 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 暑假专题平面向量的数量积 二. 教学目标： 掌握平面向量的数量积，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的 问题，掌握向量垂直的条件。 三. 本周知识要点： 1. 两个向量的数量积： 已知两个非零向量与，它们的夹角为，则cosa b a b a b 叫做与的数量积（或内积） ，规定。a b 00a 2. 向量的模与平方的关系：。 22 |a aaa 3. 乘法公式成立： ； 2 2 22 abababab 2 22 2abaa bb 2 2 2aa bb 4. 平面向量数量积的运算律： 交换律成立：a bb a 对实数的结合律成立： aba babR 分配律成立：abca cb c cab 特别注意：（1）结合律不成立： ab ca bc （2）消去律不成立：不能得到a ba c cb （3）0不能得到或a b a 0 b 0 5. 两个向量的数量积的坐标运算： 已知两个向量，则 1122 ( ,),(,)ax ybxy a b 1212 x xy y 6. 向量的夹角：已知两个非零向量与，作，则AOB （a b OA a OB b ）叫做向量与的夹角。 00 1800a b 用心 爱心 专心 coscos, a b a b ab 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 yxyx yyxx 当且仅当两个非零向量与同方向时，0，当且仅当与反方向时a b a b 180，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。0 7. 垂直：如果与的夹角为 90则称与垂直，记作。a b a b a b 8. 两个非零向量垂直的条件： 0。a b a b 0 2121 yyxx 【典型例题典型例题】 例例 1. 判断下列各命题正确与否： （1）；00a （2）；00a （3）若，则；0,aa ba c bc （4）若，则当且仅当时成立；a ba c bc 0a （5）对任意向量都成立；()()a bcab c , ,a b c （6）对任意向量，有。a 2 2 aa 解：解：错； 对； 错； 错； 错；对。 例例 2. 已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的a b 1202,3cab dba c d 夹角。 解：解：由题意，且与的夹角为，1ab a b 120 所以， 2 1 120cos| baba ， 2 cc c (2) (2)abab 22 447aa bb ，7c 同理可得 13d 而，c d 22 17 (2) (3)732 2 abbaa bba 设为与的夹角，c d 用心 爱心 专心 则 182 9117 1372 17 cos 两向量的夹角为, 0), 182 9117 arccos( 例例 3. 已知，按下列条件求实数的4,3a 1,2b ,mab 2nab 值。 （1）；（2）；mn /mn (3) mn 解：解：4,32,mab 27,8nab （1）mn 082374 9 52 （2）/mn 072384 2 1 (3) mn 0884587234 222 22 5 1122 例例 4. 已知（，） ，（，） ，则与的夹角是多少?a 3b 33a b 分析：分析：为求与夹角，需先求及，再结合夹角 的范围确定其a b ba a b 值。 解：解：由（，） ，（，）a 3b 33 有（）4，2，2。a b 333a b 2 记与的夹角为 ，则 cosa b 2 2 ba ba 又， 4 例例 5. 在ABC 中，（2，3） ，（1，k） ，且ABC 的一个内角为直角，求AB AC k 值。 解：解：当 A 90时， 0，21 +3k 0 k 2 3 AB AC 用心 爱心 专心 当 B 90时， 0， （12，k3） （1，k3）AB BC BC AC AB 2（1） +3（k3） 0 k 3 11 当 C 90时， 0，1 + k（k3） 0 k AC BC 2 133 例例 6. 已知（3，4） ，（4，3） ，求 x，y 的值使（x+y），a b a b a 且x+y1。a b 分析：分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想。 解：解：由（3，4） ，（4，3） ，有 x+y（3x+4y，4x+3y）a b a b 又（x+y）（x+y）3（3x+4y）+4（4x+3y）0a b a a b a 即 25x+24y 又x+y1x+y2a b a b （x+4y）2（x+3y）2 整理得 25x248xy+25y2即 x（25x+24y）+24xy+25y2 由有 24xy+25y2 将变形代入可得：y 7 5 再代回得： 7 5 35 24 7 5 35 24 y x y x 和 【模拟试题模拟试题】 1. 若（4，3） ，（5，6） ，则4（ ）a b 2 |3 a ba A. 23 B. 57C. 63 D. 83 2. 已知（1，2） ，（2，3） ，（2，5） ，则ABC 为（ ）a b c A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 不等边三角形 3. 已知（4，3） ，向量是垂直的单位向量，则等于（ ）a b a b A. 或 B. 或) 5 4 , 5 3 () 5 3 , 5 4 () 5 4 , 5 3 () 5 4 , 5 3 ( C. 或 D. 或) 5 4 , 5 3 () 5 3 , 5 4 () 5 4 , 5 3 () 5 4 , 5 3 ( 4. 已知（，2） ，（3，5）且与的夹角为钝角，则的取值范围是（ a b a b 用心 爱心 专心 ） A. B. C. D. 3 10 3 10 3 10 3 10 5. 给定两个向量（3，4） ，（2，1）且（+x）（） ，则 x 等于（ a b a b a b ） A. 23 B. C. D. 2 23 3 23 4 23 6. （2，3） ，（2，4） ，则（+）（） 。a b a b a b 7. 已知（3，2） ，（1，1） ，若点 P（x，）在线段的中垂线上，a b 2 1 AB 则 x 。 8. 已知（1，0） ，（3，1） ，（2，0） ，且，则与的a b c a BC b CA a b 夹角为 。 9. 已知|，（1，2）且，则的坐标为 。a 10b a b a 10. 已知（1，2） ，（1，1） ，k，若，则 。a b c b a c a c 11. 已知（3，0） ，（k，5）且与的夹角为，则 k 的值为 。a b a b 4 3 12. 已知（3，1） ，（1，2） ，求满足条件 x9 与 x4 的向量 x。a b a b 13. 已知ABC 的三顶点分别为 A（2，1），B（3，2），C（3，1），BC 边上 的高为 AD，求点 D 和的坐标。AD 14. 正方形 ABCD 中，P 是对角线 DB 上的一点，PFCE 是矩形， 证明：（1）PAEF；（2）PAEF。 用心 爱心 专心 试题答案试题答案 1. D 2. A 3. D 4. A 5. C 6. 7 7. 8. 45 4 7 9. （，2）或（，2）2222 10. （）11. 5 12. （2，3） 5 1 , 5 2 13. 设，则，yxD,1, 2yxAD2, 3yxBD3 , 6CB