高三数学一轮复习讲座四：平面向量

2010年高三一回复习讲座-平面向量二、复习要求1 .向量概念2、矢量的线性运算：矢量的加减运算、实数和矢量的积、两个矢量的数积等的定义、运算法则3 .向量运算的运用三、学习指导1、向量是数形耦合的模型。 向量的几何表示33到354具有利用几何性质来解决向量问题的基础。 在向量的运算过程中，图形性质不仅能直观地解释抽象的运算，有时也更加简洁。矢量运算中的基本图形：矢量加减法则：三角形或者平行四边形实数与矢量积的几何意义共线得分点基本图形的起点设定相同的3个矢量终点共线等。2、向量的三种线性运算和运算的三种形式。将向量的加减运算、实数与向量的积、两个向量的数的积称为向量的线性运算，前者与后者的结果是向量，两个向量的数的积的结果是数。 每个运算都有三种表示形式：图形、符号和坐标语言。主要内容列表如下：运算图形语言符号语言坐标语言加法和减法=-=符号=(x1，y1)，=(x1，y2)(x1x2，y1 y2 )Google foogle foogle foogle foogle foogle foogle foogle foogle foogle foogle=实数和向量体积=R备注=(x，y )=(x，y )两个向量的数量积=|cos (操作系统)符号=(x1，y1)，=(x2，y2)=x1x2 y1y23、运算律加法：=，()=()实数与向量之积：()= ； ( )= ，()=()两个向量的数的乘积：=； ()=()=()，()=说明：向量演算法表明，两个向量之间的线性演算满足实数多项式乘积的算法，正确转移实数演算性质可以简化向量演算。 例如，()2=四、重要定理，公式(1)平面向量的基本定理如果是同一平面内的2个非共线向量，则对该平面内的任意一个向量有计数1、2的对，有满足=1 2的被称为1 -2的线性组合。根据平面向量的基本定理，任意的向量都与规则数(1，2 )一对一对应，将(1，2 )称为基底，处的坐标，设，为单位正交基底，时，将(1，2 )定义为向量的平面直角坐标。矢量坐标与点坐标的关系：矢量的起点位于原点时，定义矢量坐标为终点坐标，即A(x，y )时=(x，y )； 如果向量的起点不在原点，则向量坐标从终点坐标减去起点坐标，即A(x1，y1)，B(x2，y2)=(x2- x 1，y2-y1)(2)2个向量平行的充要条件符号语言：如果坐标语言是=(x1，y1)、=(x2，y2)，则坐标语言是(x1，y1)=(x2，y2)，即x1y2-x2y1=0其中，实数是唯一的，并且对于同一方向，实数是0； 各向异性时为0。|=、的大小由和的大小决定。 因此，确定了的符号和大小。 这就是在实数乘法向量中的几何意义。(3)两个向量的垂直充要条件符号语言：=0坐标语言： x1，y1、=(x2，y2)时，则x1x2 y1y2=0(4)线段得分点式如图所示分数点向量表达式：得分点坐标式：设为P(x，y )、P1(x1，y1 )、P2(x2，y2 )则特例：=1时，得到中点公式，事实上，起点相同且终点共同的三个向量可以表示为、(o和P1P2不共同)、和=u v，u v=1(即两个向量的线性组合)且第三个向量的系数和为1。(5)平移公式：点位移式，将点P(x，y )以=(h，k )位移至p (x ，y )时分别将(x，y )、(x，y)称为旧的、新的坐标，作为平移的法则在点p的新、旧坐标及平移规则三组坐标中，知道两组坐标，一定能求出第三组坐标曲线的直线移动：以=(h，k )对曲线C:y=f(x )进行直线移动时，与直线移动后的曲线c对应的解析式为y-k=f(x-h )当h、k之一为零时，向前面讨论的左右及上下移动通过利用直线移动变换，能够实现简单的函数解析式，能够简单地研究曲线的几何性质(6)正弦定理、馀弦定理正弦定理：馀弦定理： a2=b2 c2-2cbcosAb2=c2 a2-2cacosBc2=a2 b2-2abcosc定理变形： cosA=、cosB=、cosC=正弦定理和馀弦定理是求解三角形的重要和基本工具。 通过阅读教科书，理解向量法推导正馀弦定理的重要思想方法。5、向量是重要的数学概念，也是有力的解题工具。 利用向量，直线垂直，直线平行，求角度等，特别是直角坐标系的导入，体现了向量解决问题的“程序性”特征。四、典型例题例1、图、或是单位向量，与的角度用1200、与的角度用450、|=5表示。分析：以为邻，与对角线平行四边形在逆方向上分解向量，并且该向量如图所示为=、=、0和0= |=|=1=|、=| OEC为22222222卡卡卡卡卡卡卡卡卡65322202220解释：单个向量表示为若干向量的线性组合是该向量中的一个基本且重要的问题，通常通过构造平行四边形来处理在示例2中，在已知的ABC中，将A(2，-1)、b (3，2 )、C(-3，-1)和BC周围的高度设为a至d，并且计算起点d和向量坐标。分析：解方程式的思想设D(x，y )则=(x-2，y 1)=(-6，-3)，=0 -6(x-2)-3(y 1)=0，即2x y-3=0 (x-3，y-2 )、22222卡卡卡卡卡卡卡卡 -6(y-2)=-3(x-3 )，即x-2y 1=0 中得到：d (1，1 )、=(-1，2 )例3，矢量=-1 )与=(1)的角度相等，且求出模的矢量的坐标。分析：解方程式的思想法律1:=(x，y )的话=x-y，=x y22222222222222222265322202220即又|= x2 y2=2 从得到或抛弃2222222222卡卡卡卡卡卡卡法2 :从解析形式的特征开始 |=|=2=0 AOB是直角等腰三角形，如图所示222卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡c是AB的中点c ()解释：数形耦合是学习向量的重要思想方法，分析图中的几何性质可以简化计算。例4、OAB的边OA、OB分别取点m、n，设为|:1:4、|:1:4，若线段AN与BM与点p相交，则设为=，表示向量。分析：b、p、m共线记=s做同样的事=2222222222222222222铿锵锵锵锵6532220说明：从点的共线转换为向量的共线，引入参数(s、t等)是一种常见的技巧。 平面向量的基本定理是向量的重要定理之一，利用该定理的唯一性质得出关于s，t的方程。例如，已知有长方形ABCD，AB=3，BC=2，e为BC中点，p为AB上的一点(1)在利用向量知识判定点p位于哪个位置的情况下，PED=450；(2)如果PED=450，则要求证明： p、d、c、e这4点为正圆。分析：能够利用坐标系确定点p位置如图所示，创建平面直角坐标系c (2，0 )、d (2，3 )和e (1，0 )设P(0，y )=(1，3 )、=(-1，y )2220=3y-1cos450=得到解(舍弃)，或y=2点p是接近点a的AB三等分点(PED=450时，由(1)可知p (0，2 )=(2，1 )、=(-1，2 )=0 DPE=900另外DCE=900d、p、e、c四点共圆说明：利用向量处理几何问题时，制作平面直角坐标系求出设置点的坐标与向量相关的坐标根据向量得出运算计算结果结论。同步练习选择题1、如果是平面内的三点A(0，-3)、b (3，3 )、C(x，-1)、，则x的值如下a、-5 B、-1 C、1 D、52、当满足平面上的a (-2，1 )、b (1，4 )、D(4，-3)和c点并且延伸到DC并且令|=|时，点e坐标表示如下a，(-8，)，b，() c，(0，1 ) d，(0，1 )或(2)，2、点(2，-1)沿向量移动(-2，1 )，点(-2，1 )移动如下3，a，(2，-1) B，(-2，1 ) c，(6，-3) D，(-6，3 )4、在ABC中，2cosBsinC=sinA，该三角形为a、直角三角形b、等腰三角形c、等腰三角形d，有以上可能性5、是任意的非零平面向量，如果彼此不是共线，则()-()=0|-|-|-|()-()不垂直在(3-2) (3-2)=9|2-4|2下真正的命题是a、 B、 C、 D、6、ABC中，a4 b4 c4=2c2(a2 b2 )，c度数如下a、600 B、450或1350 C、1200 D、3007、对于OAB，如果=tr，则点p为有a、873aob二等分线的直线上b、线段AB的垂线上有c、AB边的直线上的d、AB边的中线8、正方形PQRS对角线的交点为m，坐标原点o不在正方形内部，且=(0，3 )、=(4，0 )时=a、() b、() c、(7，4 ) d、()(二)填空问题；9、，|是平面上的基底，如果=，=-2-，共线的话=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _10、与已知|=1、=-9、的角度是_。如11、则为两个单位向量，它们角度为600(2- (-32)=_ _ _ _ _ _ _ _ _ )12 .移位函数y=cosx的图像以获得函数_的图像。(3)解答问题13、=(3，1 )、=(-1，2 )、/，求出满足=的坐标。 其中o是坐标原点。14、如果=(2，