高三数学代数推理题怎么解

代数推理题怎么解陕西永寿县中学 特级教师安振平数学是“教会年轻人思考”的科学, 针对代数推理型问题, 我们不但要寻求它的解法是什么, 还要思考有没有其它的解法, 更要反思为什么要这样解, 不这样解行吗?我们通过典型的问题, 解析代数推理题的解题思路, 方法和技巧. 在解题思维的过程中, 既重视通性通法的演练, 又注意特殊技巧的作用, 同时将函数与方程, 数形结合, 分类与讨论, 等价与化归等数学思想方法贯穿于整个的解题训练过程当中.例1设函数，已知，时恒有，求a的取值范围. 讲解: 由 ,从而只要求直线L不在半圆C下方时, 直线L 的y截距的最小值.当直线与半圆相切时，易求得舍去）.故.本例的求解在于 关键在于构造新的函数, 进而通过解几模型进行推理解题, 当中, 渗透着数形结合的数学思想方法, 显示了解题思维转换的灵活性和流畅性.还须指出的是: 数形结合未必一定要画出图形, 但图形早已在你的心中了, 这也许是解题能力的提升, 还请三思而后行.例2 已知不等式对于大于1的正整数n恒成立，试确定a的取值范围.讲解: 构造函数，易证(请思考:用什么方法证明呢?)为增函数. n是大于1的 正整数，对一切大于1的正整数恒成立，必须,即这里的构造函数和例1属于同类型, 学习解题就应当在解题活动的过程中不断的逐类旁通, 举一反三, 总结一些解题的小结论. 针对恒成立的问题, 函数最值解法似乎是一种非常有效的同法, 请提炼你的小结论.例3 已知函数在区间b，1b上的最大值为25，求b的值.讲解: 由已知二次函数配方, 得 时，的最大值为4b2+3=25. 上递增， 上递增， . 关于二次函数问题是历年高考的热门话题, 值得读者在复课时重点强化训练. 针对抛物线顶点横坐标在不在区间b，1b, 自然引出解题形态的三种情况, 这显示了分类讨论的数学思想在解题当中的充分运用. 该分就分, 该合就合, 这种辨证的统一完全依具体的数学问题而定, 需要在解题时灵活把握.例4已知 的单调区间；（2）若讲解: （1） 对 已 知 函 数 进 行 降 次 分 项 变 形 , 得 ,（2）首先证明任意事实上,而 .函数与不等式证明的综合题在高考中常考常新,是既考知识又考能力的好题型,在高考备考中有较高的训练价值.针对本例的求解, 你能够想到证明任意采用逆向分析法, 给出你的想法!例5 已知函数f(x)=（，）(1) 证明函数f(x)的图象关于点P()对称(2) 令an，对一切自然数n，先猜想使an成立的最小自然数a,并证明之(3) 求证：).讲解: (1)关于函数的图象关于定点P对称, 可采用解几中的坐标证法.设M(x,y)是f(x)图象上任一点，则M关于P()的对称点为M（，）， (1-x,1-y)亦在f(x)的图象上，故函数f(x)的图象关于点P()对称.(2)将f(n)、f(1-n)的表达式代入an的表达式，化简可得an猜a=3,即3下面用数学归纳法证明设n=k(k)时，3那么n=k+1，3又3k（）（）（，）.(3)令k=1,2,，n，得n个同向不等式，并相加得：函数与数列综合型问题在高考中频频出现,是历年高考试题中的一道亮丽的风景线.针对本例,你能够猜想出最小自然数a=3吗? 试试你的数学猜想能力.例6 已知二次函数，设方程的两个实根为x1和x2. （1）如果，若函数的对称轴为x=x0，求证：x01； （2）如果，求b的取值范围.讲解:（1）设，由得, 即 ，故；（2）由同号.若.又，负根舍去）代入上式得，解得；若 即4a2b+30.同理可求得. 故当对你而言, 本例解题思维的障碍点在哪里, 找找看, 如何排除? 下一次遇到同类问题, 你会很顺利的克服吗? 我们力求做到学一题会一类, 不断提高逻辑推理能力.例7 对于函数，若存在成立，则称的不动点。如果函数有且只有两个不动点0，2，且（1）求函数的解析式；（2）已知各项不为零的数列，求数列通项；（3）如果数列满足，求证：当时，恒有成立.讲解: 依题意有,化简为 由违达定理, 得 解得 代入表达式，由得 不止有两个不动点，（2）由题设得 （*）且 （*）由（*）与（*）两式相减得： 解得（舍去）或，由，若这与矛盾，即是以-1为首项，-1为公差的等差数列，； （3）采用反证法，假设则由（1）知,有，而当这与假设矛盾，故假设不成立，.关于本例的第(3)题,我们还可给出直接证法,事实上:由得t； （3）试求满足f(t)=t的整数t的个数，并说明理由.讲解 （1）为求f(1)的值，需令令.令. （2）令().由,于是对于一切大于1的正整数t，恒有f(t)t. （3）由及（1）可知.下面证明当整数.()得即，将诸不等式相加得 .综上，满足条件的整数只有t=1，.本题的求解显示了对函数方程f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1中的x、y取特殊值的技巧，这种赋值法在2002年全国高考第（21）题中得到了很好的考查.例10 已知函数f（x）在（1，1）上有定义，且满足x、y（1，1） 有（1）证明：f（x）在（1，1）上为奇函数；（2）对数列求；（3）求证 讲解 （1）令则 令