河北石家庄高三数学毕业班模拟考试一A卷理

河北省石家庄市2019届高三数学毕业班模拟考试试题（一）（A卷）理（含解析）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意可得：，结合交集的定义确定即可.【详解】由题意可得：，结合交集的定义可知：.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交集的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.若复数（为虚数单位），则（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】易知zz=|z|2，结合复数模的运算法则求解其值即可.【详解】由题意可得：zz=|z|2=i1+i2=122=12.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则及其应用，属于中等题.3.已知cos2+=2cos，则tan4+=（）A. 3B. 3C. 13D. 13【答案】A【解析】【分析】由题意结合诱导公式可得：tan=2,结合两角和的正切公式可得tan4+的值.【详解】由题意结合诱导公式可得：sin=2cos,tan=sincos=2,据此有：tan4+= tan4+tan1tan4tan=2+1121=3.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，两角和的正切公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.下列说法中正确的是（）A. 若数列an为常数列，则an既是等差数列也是等比数列；B. 若函数f(x)为奇函数，则f(0)=0；C. 在ABC中，AB是sinAsinB的充要条件；D. 若两个变量x,y的相关系数为，则越大，x与y之间的相关性越强.【答案】C【解析】【分析】对于选项A,B给出反例可说明命题错误，C由正弦定理可知命题正确，D由相关系数的定义确定其真伪即可.【详解】逐一考查所给的说法：A. 若an=0，则数列an为常数列，则an是等差数列但不是等比数列，该说法错误；B. 函数f(x) =1x为奇函数，但是不满足f(0)=0，该说法错误；C. 由正弦定理可得在ABC中，AB是sinAsinB的充要条件，该说法正确；D. 两个随机变量相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1，题中说法错误.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查奇函数的性质，正弦定理的应用，相关系数的含义，常数列与等差数列、等比数列的关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.已知平面向量a与b的夹角为23，且b=1,a+2b=2，则a=（）A. 1B. 2C. 3D. 23【答案】B【解析】【分析】将a+2b=2两边平方，利用向量模的性质和运算法则计算a的值即可.【详解】由题意可得：a+2b2=a2+4ab+4b2=a2+4abcos23+41=a2-2a+4=4，则：a2-2a=0，据此可得：a=2.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查向量的运算法则，向量的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.袋子中装有大小、形状完全相同的2个白球和2个红球，现从中不放回地摸取两个球，已知第二次摸到的红球，则第一次摸到红球的概率为（）A. 16B. 13C. 12D. 15【答案】B【解析】【分析】由题意，分别列出第二次摸到的红球的所有可能结果和第一次摸到红球的事件，利用古典概型计算公式确定去概率值即可.【详解】设两个红球为R1,R2，两个白球为w1,w2，则第二次摸到的红球的所有可能结果为：w1R1,w2R1,R2R1,w1R2,w2R2,R1R2共6种，其中第一次摸到红球的事件包括：R2R1,R1R2共2种，结合排列组合公式可知第一次摸到红球的概率为P=26=13.【点睛】本题主要考查古典概型计算公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.设变量x,y满足约束条件x+2y20x2y+20y2，则目标函数z=x+3y的最小值为（）A. 8B. 6C. 4D. 3【答案】C【解析】【分析】首先绘制出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定目标函数取得最小值的点的坐标，据此确定目标函数的最小值即可.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：y=13x+z，其中z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点B处取得最小值，联立直线方程：x+2y2=0y=2，可得点的坐标为：B2,2，据此可知目标函数最小值为：zmin=x+3y=2+32=4.本题选择C选项.【点睛】求线性目标函数zaxby(ab0)的最值，当b0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.8.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x)=f(2x)，当x0,1时，f(x)=4x1，则在1,3上，f(x)1的解集是（）A. (1,32B. 32,52C. 32,3)D. 2,3)【答案】C【解析】【分析】首先结合函数的对称性和函数的奇偶性绘制函数图像，原问题等价于求解函数位于直线y=1下方点的横坐标，数形结合确定不等式的解集即可.【详解】函数满足f(x)=f(2-x)，则函数关于直线x=1对称，结合函数为奇函数绘制函数的图像如图所示：f(x)1的解集即函数位于直线y=1下方点的横坐标，当x0,1时，由4x1=1可得x=12，结合f(x)=f(2-x)可得函数fx与函数y=1交点的横坐标为x=32，据此可得：f(x)1的解集是32,3).本题选择C选项【点睛】本题主要考查函数奇偶性，函数的对称性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.已知椭圆x2a2+y2b2=1ab0，点F为左焦点，点P为下顶点，平行于FP的直线交椭圆于A,B两点，且AB的中点为M1,12，则椭圆的离心率为（）A. 12B. 22C. 14D. 32【答案】B【解析】【分析】由题意，利用点差法求得直线AB的斜率，然后利用斜率公式求解直线AB的斜率，两斜率相等可得关于a,c的齐次方程，据此即可确定椭圆的离心率.【详解】设Ax1,y1,Bx2,y2，直线AB的斜率为k，点在椭圆上，则：x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1，两式作差可得：x1+x2a2+y1+y2b2y2y1x2x1=0，由于：x1+x2=2,y1+y2=1，故：2a2+1b2k=0,k=2b2a2.由于F(c,0),P(0,b)，故kPF=bc，2b2a2=bc，整理可得：4b2c2=a4,4a2c2c2=a4,a22c22=0，故a2=2c2,e=c2a2=22.【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出a，c，代入公式e=ca；只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2a2c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)10.已知函数f(x)=2cosx+0,2的部分函数图像如图所示，点A0,3,B6,0，则函数f(x)图像的一条对称轴方程为（）A. x=3B. x=12C. x=18D. x=24【答案】D【解析】【分析】由题意结合函数图像可得的解析式为f(x)=2cos4x6，结合三角函数的性质确定函数的对称轴即可.【详解】由题意可得：xBxA=T4+T413=T3=6，则T=2,=2T=4，当x=0时，2cos=3,cos=32，结合函数图像可知=6，故函数的解析式为：f(x)=2cos4x6，令4x6=k可得函数的对称轴方程为：x=k4+24kZ.令k=0可得一条对称轴方程为x=24.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求解，三角函数的对称轴的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.如图，某几何体的三视图都是边长为1的正方形，则该几何体的体积为（）A. 12B. 56C. 13D. 23【答案】D【解析】【分析】首先由三视图还原几何体，然后结合几何体的空间结构特征求解其体积即可.【详解】如图所示，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，三视图所对的几何体为该正方体去掉三棱锥BA1B1C1和三棱锥A1ABD所得的组合体，其体积为：V=1321312111=23.本题选择D选项.【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解12.对任意m1e,e2，都存在x1,x2x1,x2R,x1x2，使得ax1ex1=ax2ex2=mlnmm，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是（）A. e2,+B. 1,+C. 1,e2D. 0,1【答案】A【解析】【分析】首先求函数f(x)=xlnxx1exe2的值域，将原问题转化为方程axex=k,k1,e至少有两个实数根，利用切线的性质考查临界条件可得实数a的取值范围.【详解】令f(x)=xlnxx1exe2，则f(x)=lnx，据此可得函数在区间1e,1上单调递减，在区间1,e2上单调递增，注意到f1e=2e,f(1)=1,f(e2)=e2，故函数的值域为1,e2.则原问题等价于方程axex=k,k1,e至少有两个实数根，即ex=axk,k1,e2至少有两个实数根，考查临界情况，当k=e2时，直线y=axe2与指数函数y=ex相切，由y=ex可得y=ex，则切点坐标为x0,ex0，切线斜率k=yx=x0=ex0,切线方程为：yex0=ex0xx0，切线过点0,e2，故eex0=ex00x0，很明显方程的根为x0=2，此时切线的斜率k=e2.据此可得实数a的取值范围是e2,+.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查导数研究函数的最值，导数研究函数的切线方程等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知随机变量X服从正态分布N2,1，若PXa2=PX2a+3，则a=_【答案】1【解析】【分析】由正态分布的性质可得正态分布的图像对称轴为X=2，据此得到关于a的方程，解方程可得a的值.【详解】由正态分布的性质可得正态分布的图像对称轴为X=2，结合题意有：(a-2)+(2a+3)2=2,a=1.故答案为：1【点睛】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法熟记P(X)，P(2X2)，P(3X3)的值充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.14.已知双曲线C:x24y2=1，过点P2,0的直线与C有唯一公共点，则直线的方程为_【答案】y=12x-1或y=-12x+1【解析】【分析】易知点P位于双曲线x2-4y2=1内部，则直线与渐近线平行时，直线与C有唯一公共点，据此确定直线方程即可.【详解】如图所示，点P位于双曲线x2-4y2=1内部，由双曲线的几何性质可知，当直线与渐近线平行时，直线与C有唯一公共点，由于双曲线的渐近线为y=12x，故直线的方程为y=12x-2或y=-12x-2.即y=12x-1或y=-12x+1【点睛】本题主要考查双曲线的性质及其应用，属于中等题.15.在棱长为1的透明密闭的正方形容器ABCDA1B1C1D1中，装有容器总体积一般的水（不计容器壁的厚度），将该正方体容器绕BD1旋转，并始终保持BD1所在直线与水平平面平行，则在旋转过程中容器中水的水面面积的最大值为_【答案】2【解析】【分析】设点E在A1B1上，点F在CD上，满足A1E=CF，则原问题等价于求解四边形BFD1E的最大值.建立空间直角坐标系，结合二次函数的性质可得旋转过程中容器中水的水面面积的最大值.【详解】如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在A1B1上，点F在CD上，满足A1E=CF，则原问题等价于求解四边形BFD1E的最大值.作EGBD1于点G，当EG最大时，四边形BFD1E有最大值.建立如图所示的空间直角坐标系，设Em,0,10m1，设G(x,y,z)，由于B(1,0,0),D1(0,1,1)，由BG=BD1可得：(x-1,y,z)=(-1,1,1)，则：x=-+1y=z=，故G(-+1,),故：GE=(m+-1,-,1-),BD1=(-1,1,1)，由GEBD1=-m-+1-+1-=0可得：=2-m3,1-=1+m3.故：GE=m-m+132+2-m32+2-m3-12 =136m2-m+1，结合二次函数的性质可知：当m=0或m=1时，GE取得最大值，此时S取得最大值，最大值为：Smax=SBDD1B1=2.【点睛】本题主要考查等价转化的数学思想，空间向量的应用，函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16.已知数列an的前n项和为Sn，且Sn+1+Sn=n219n2nN*，若a24，则Sn取最小值时n=_【答案】10【解析】【分析】由题意结合递推关系可得an+2an=1(n2)，即数列为隔项等差数列，结合数列的性质可得Sn取最小值时n的值.【详解】由Sn+1+Sn=n219n2，Sn+Sn1=(n1)219n12，两式作差可得：Sn+1Sn1=n10(n2)，即an+1+an=n10(n2)，由an+1+an=n10，an+2+an+1=n9，两式作差可得：an+2an=1(n2)，则a3+a2=8，a24，故a24a3，进一步可得：a4a5,a6a7,a8a9,a10a11，又a10+a11=0，则a100a11，且0a11+a12a12+a13，则Sn取最小值时n=10.【点睛】本题主要考查数列的递推关系，数列中最值问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知ABC的面积为33，且内角A、B、C依次成等差数列.（1）若sinC=3sinA，求边AC的长；（2）设D为边AC的中点，求线段BD长的最小值.【答案】（1）27（2）3.【解析】【分析】（1）由题意可得B=60，结合面积公式得ac=12.利用正弦定理角化边，据此可得a,c的值，最后由余弦定理可得AC的长.（2）由题意可得BD=12BC+BA，利用向量的运算法则和均值不等式的结论可得BD长的最小值.【详解】（1）ABC三内角A、B、C依次成等差数列，B=60设A、B、C所对的边分别为a,b,c,由S=33=12acsinB可得ac=12.sinC=3sinA，由正弦定理知c=3a,a=2,c=6.ABC中，由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=28,b=27.即AC的长为27（2）BD是AC边上的中线，BD=12BC+BABD2=14BC2+BA2+2BCBA=14a2+c2+2accosB=14a2+c2+ac142ac+ac=9，当且仅当a=c时取“=”BD3,即BD长的最小值为3.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用解决三角形问题时，注意角的限制范围18.已知三棱锥PABC中，PCAB,ABC是边长为2的正三角形，PB=4,PBC=60；（1）证明：平面PAC平面ABC；（2）设F为棱PA的中点，求二面角PBCF的余弦值.【答案】（1）见解析（2）255【解析】【分析】（1）由题意结合正弦定理可得PC=23， 据此可证得PC平面ABC，从而可得题中的结论；（2）在平面ABC中，过点C作CMCA，以CA,CM,CP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系C-xyz，由空间向量的结论求得半平面的法向量，然后求解二面角P-BC-F的余弦值即可.【详解】（1）证明：在PBC中，PBC=60o，BC=2，PB=4，由余弦定理可得PC=23， PC2+BC2=PB2，PCBC， 又PCAB,ABBC=B，PC平面ABC，PC平面PAC，平面PAC平面ABC. （2）在平面ABC中，过点C作CMCA，以CA,CM,CP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系C-xyz：C(0,0,0),P(0,0,23),A(2,0,0),B(1,3,0) ，F(1,0,3)设平面PBC的一个法向量为m=(x1,y1,z1)则CBm=x1+3y1=0CPm=23z1=0解得x1=3，y1=-1，z1=0即m=(3,-1,0) 设平面BCF的一个法向量为n=(x2,y2,z2)则CBn=x2+3y2=0CFn=x2+3z2=0解得x2=3，y2=-1，z2=-1即n=(3,-1,-1)cos=mnmn=3+1+023+-12+-12=255 由图可知二面角P-BC-F为锐角，所以二面角P-BC-F的余弦值为255.【点睛】本题主要考查面面垂直的证明方法，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.东方商店欲购进某种食品（保质期两天），此商店每两天购进该食品一次（购进时，该食品为刚生产的）.根据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，如果两天内无法售出，则食品过期作废，且两天内的销售情况互不影响，为了了解市场的需求情况，现统计该产品在本地区100天的销售量如下表：（视样本频率为概率）（1）根据该产品100天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为，求的分布列与期望（2）以两天内该产品所获得的利润期望为决策依据，东方商店一次性购进32或33份，哪一种得到的利润更大？【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据题意可得的取值为30,31,32,33,34,35,36，计算相应的概率值即可确定分布列和数学期望；（2）分别求解当购进32份时的利润和购进33份时的利润即可确定利润更高的决策.【详解】（1）根据题意可得P(=30)=1515=125，P(=31)=153102=325，P(=32)=15252+310310=14，P(=33)=151102+310252=725，P(=34)=3101102+2525=1150，P(=35)=251102=225，P(=36)=110110=1100，的分布列如下：30313233343536p1253251472511502251100E()=30125+31325+3214+33725+341150+35225+361100=32.8 （2）当购进32份时，利润为3242125+314-8325+304-16125 =107.52+13.92+4.16=125.6，当购进33份时，利润为33459100+324-814+314-16325+304-24125 =77.88+30+12.96+3.84=124.68，125.6124.68可见，当购进32份时，利润更高.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望的计算，概率统计的预测作用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.已知抛物线C:y2=2pxp0上一点Px0,2到焦点F的距离PF=2x0.（1）求抛物线C的方程；（2）过点P引圆M:x32+y2=r200解得p=2x0=1所以，抛物线的方程为y2=4x.（2）由题意知，过P引圆x-32+y2=r2(0-2，所以9g(x).【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意可得f(x)=x-(a-1)x2,（x0）分类讨论函数的极小值即可.（2）令F(x)=f(x)-g(x)=lnx+a-1x-a(sinx+1)-2x=xlnx-asinx+1x,(x0)，原问题等价于F(x)0,即证xlnxasinx-1.据此分类讨论0a1，a=0和-1a0）当a-10时，即a1时，f(x)0，函数f(x)在(0,+)上单调递增，无极小值；当a-10时，即a1时，f(x)0,0x0,xa-1，函数f(x)在(a-1,+)上单调递增；f(x)极小=f(a-1)=1+ln(a-1)，综上所述，当a1时，f(x)无极小值；当a1时，f(x)极小=1+ln(a-1)（2）令F(x)=f(x)-g(x)=lnx+a-1x-a(sinx+1)-2x=xlnx-asinx+1x,(x0)当-1a1时，要证：f(x)g(x)，即证F(x)0,即证xlnx-asinx+10，要证xlnx-asinx+10，即证xlnxasinx-1.当0h(0)=0，即xsinx.ax-1asinx-1（*），令q(x)=xlnx-x+1，q(x)=lnx，当x(0,1),q(x)0，q(x)在(1,+)单调递增，故q(x)q(1)=0，即xlnxx-1.当且仅当x=1时取等号又0asinx-1所以当0asinx-1当a=0时，即证xlnx-1.令m(x