江苏启东中学高二数学期初考试2班

江苏省启东中学2019-2020学年度第一学期期初考试高二(2)班数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共50分）1. 若z=1+2i，则4izz-1=（）A. 1B. -1C. iD. -i2. 复平面内表示复数z=i（-2+i）的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 掷一枚均匀的硬币3次，出现正面向上的次数恰好为两次的概率为（）A. 38B. 14C. 58D. 124. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列对立的两个事件是( )A. “至少1名男生”与“至少有1名是女生”B. “恰好有1名男生”与“恰好2名女生”C. “至少1名男生”与“全是男生”D. “至少1名男生”与“全是女生”5. 已知i是虚数单位，a，bR得“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 椭圆x216+y29=1中，以点M（1，2）为中点的弦所在直线斜率为（）A. 916B. 932C. 964D. -9327. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为33，过F2的直线l交C于A、B两点，若AF1B的周长为43，则C的方程为（）A. x23+y22=1B. x23+y2=1C. x212+y28=1D. x212+y24=18. 已知F是双曲线C：x2-y23=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则APF的面积为（）A. 13B. 12C. 23D. 329. 设F1，F2分别是椭圆E：x2a2+y2b2=1（ab0）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|BF1|，若cosAF2B=，则椭圆E的离心率为（）A. 12B. 23C. 32D. 2210. 已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF1|PF2|，线段PF1的垂直平分线过F2，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则2e1+e22的最小值为（）A. 6B. 3C. 6D. 3二、填空题（本大题共6小题，共30分）11. 设复数z=1+i，则复数z共轭的模是_12. 若命题“p：xR，ax2+2x+10”是假命题，则实数a的取值范围是_13. 已知双曲线与椭圆x216+y23=1有相同的焦点，且其中一条渐近线为y=32x，则该双曲线的标准方程是_14. 设有下面四个命题（1） 若复数满足，则；（2）若复数，则；（3）若复数满足，则；（4）若复数满足，则.其中的真命题为_（填序号）15. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点若，则C的离心率为_16. 已知双曲线C：（a0，b0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若MAN=60，则C的离心率为_.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. 设z1=2x+1+（x2-3x+2）i，z2=x2-2+（x2+x-6）i（xR）（1）若z1是纯虚数，求实数x的取值范围；（2）若z1z2，求实数x的取值范围18. 已知命题p：“曲线C1：x2m2+y22m+8=1表示焦点在x轴上的椭圆”，命题q：“曲线C2：x2m-t+y2m-t-1=1表示双曲线”（1）若命题p是真命题，求m的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求t的取值范围19. 已知复数w满足w-4=（3-2w）i（i为虚数单位），z=5w+|w-2|（1）求z；（2）若（1）中的z是关于x的方程x2-px+q=0的一个根，求实数p，q的值及方程的另一个根20. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F（1，0），且点P(1，32)在椭圆C上，O为坐标原点（）求椭圆C的标准方程；（）设过定点T（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围21. 设双曲线x2a2-y2b2=1（a，b0）的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为3（1）求此双曲线的方程；（2）已知直线y=33x-2与双曲线的右支交于A，B两点，且在双曲线的右支上存在点C，使得OA+OB=mOC，求m的值及点C的坐标22. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆：x24+y2=1，A为椭圆的上顶点，P为椭圆上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点(1)若P在第一象限，且|OP|=2，求P的坐标；(2)设P(85,35)，若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；(3)若|MA|=|MP|，直线AQ与椭圆交于另一点C，且AQ=2AC，PQ=4PM，求直线AQ的方程高二2班数学答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查共轭复数及复数的代数形式混合运算，考查计算能力，利用复数的乘法除法运算法则，化简求解即可【解答】解：z=1+2i，,则=i故选C.2.【答案】C【解析】解：z=i（-2+i）=-2i-1对应的点（-1，-2）位于第三象限故选：C利用复数的运算法则、几何意义即可得出本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3.【答案】A【解析】【分析】本题考查古典概率的求法，是基础题，解题时注意等可能事件概率计算公式的合理运用掷一枚均匀的硬币3次，利用列举法求出共有8种不同的情形，再求出满足出现正面向上的次数恰好为两次的基本事件个数，由此能求出出现正面向上的次数恰好为两次的概率【解答】解：掷一枚均匀的硬币3次，共有8种不同的情形：正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反反反，其中满足条件的有3种情形：正正反，正反正，反正正，故所求的概率p=，故选A4.【答案】D【解析】【分析】本题考查命题真假的判断，考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题【解答】解：某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，在A中，“至少1名男生”与“至少有1名是女生”能同时发生，不是互斥事件，故A错误；在B中，“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”是互斥不对立事件，故B错误；在C中，“至少1名男生”与“全是男生”能同时发生，不是互斥事件，故C错误；在D中，“至少1名男生”与“全是女生”是对立事件，故D正确故选D.5.【答案】A【解析】【分析】本题考查的知识点是充要条件的定义，复数的运算，难度不大，属于基础题利用复数的运算性质，分别判断“a=b=1”“（a+bi）2=2i”与“a=b=1”“（a+bi）2=2i”的真假，进而根据充要条件的定义得到结论【解答】解：当“a=b=1”时，“（a+bi）2=（1+i）2=2i”成立，故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分条件；当“（a+bi）2=a2-b2+2abi=2i”时，“a=b=1”或“a=b=-1”，故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的不必要条件；综上所述，“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分不必要条件.故选A6.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的关系，属于基础题.在解决弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化，达到解决问题的目的，先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率.【解答】解：设弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆得，两式相减得+=0，即=，即=，即=，即=，弦所在的直线的斜率为.故选D.7.【答案】A【解析】【分析】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题利用AF1B的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程【解答】解：AF1B的周长为4，AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，4a=4，a=，离心率为，c=1，b=，椭圆C的方程为+=1故选A8.【答案】D【解析】【分析】本题考查双曲线的简单几何性质，考查数形结合思想，属于基础题由题意求得双曲线的右焦点F（2，0），由PF与x轴垂直，代入即可求得P点坐标，根据三角形的面积公式，即可求得APF的面积【解答】解：由双曲线C：x2-=1的右焦点F（2，0），PF与x轴垂直，设P（2，y），y0，则y=3，则P（2，3），APPF，则AP=1，PF=3，APF的面积S=APPF=，同理当y0时，则APF的面积S=，故选D9.【答案】D【解析】解：设|F1B|=k（k0），则|AF1|=3k，|AB|=4k，|AF2|=2a-3k，|BF2|=2a-kcosAF2B=，在ABF2中，由余弦定理得，|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|BF2|cosAF2B，（4k）2=（2a-3k）2+（2a-k）2-（2a-3k）（2a-k），化简可得（a+k）（a-3k）=0，而a+k0，故a=3k，|AF2|=|AF1|=3k，|BF2|=5k，|BF2|2=|AF2|2+|AB|2，AF1AF2，AF1F2是等腰直角三角形，c=a，椭圆的离心率e=，故选：D设|F1B|=k（k0），则|AF1|=3k，|AB|=4k，由cosAF2B=，利用余弦定理，可得a=3k，从而AF1F2是等腰直角三角形，即可求椭圆E的离心率本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、勾股定理的逆定理、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10.【答案】C【解析】解：由题意可知：F1F2=F2P=2c，又F1P+F2P=2a1，F1P-F2P=2a2，F1P+2c=2a1，F1P-2c=2a2，两式相减，可得：a1-a2=2c，=，=4+2+，2+2=2，当且仅当时等号成立，的最小值为6，故选：C通过图象可知F1F2=F2P=2c，利用椭圆、双曲线的定义及离心率公式可得的表达式，通过基本不等式即得结论本题考查椭圆的简单性质，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题11.【答案】【解析】【解答】解：复数z=1+i，则故答案为12.【答案】a1【解析】【分析】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了二次函数的图象和性质，难度中档若命题“p：xR，ax2+2x+10”是假命题，则a=0，或a0，或，进而得到实数a的取值范围【解答】解：若命题“p：xR，ax2+2x+10”是假命题，则xR，ax2+2x+10，当a=0时，y=2x+1为一次函数，满足条件；当a0时，y=ax2+2x+1是开口朝下的二次函数，满足条件；当a0时，y=ax2+2x+1是开口朝上的二次函数，则函数图象与x轴有交点，即=4-4a0，解得：0a1综上可得：实数a的取值范围是：a1，故答案为a1.13.【答案】x24-y29=1【解析】【分析】本题考查椭圆的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，求出a，b，即可得到双曲线方程【解答】解：双曲线与椭圆有相同的焦点（，0），焦点坐标在x轴，双曲线的一条渐近线为，可得=，a2+b2=13，可得a2=4，b2=9所求双曲线方程为：故答案为14. (1)(2)15. 216. 【答案】17.【答案】解：（1）依题意得2x+1=0x2-3x+20x=-12(x-1)(x-2)0x=-12x1且x2x=-12所以实数x的取值范围是x=-12（2）依题意得x2-3x+2=0x2+x-6=0(x-1)(x-2)=0(x+3)(x-2)=0x=1或x=2x=-3或x=2所以x=2检验：当x=2时，z1=22+1=5，z2=22-2=2，满足z1z2符合题意所以实数x的取值范围是x=2.【解析】本题考查复数的基本运算，复数的基本概念，是基础题（1）利用复数的基本概念，列出方程求解即可（2）利用复数是实数求出x的值，然后判断即可18.【答案】解：(1)由题意知，从 6 个国家里任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有： (A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1) ， (A2,B2),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3) ，共 15 个，所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有： (A1,A2),(A1,A3),(A2,A3) ，共 3 个这2个国家都是亚洲国家的概率P=315=（2）从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，包含的基本事件个数为9个，分别为：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），这2个国家包括A1但不包括B1包含的基本事件有：（A1，B2），（A1，B3），共2个，这2个国家包括A1但不包括B1的概率P=【解析】本题考查概率的求法，涉及到古典概型、列举等知识点，考查运算求解能力，考查集合思想，是基础题（1）从这6个国家中任选2个，基本事件总数是15，这2个国家都是亚洲国家包含的基本事件个数是3，由此能求出这2个国家都是亚洲国家的概率（2）从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，利用列举法能求出这2个国家包括A1但不包括B1的概率19.【答案】解：（1）若p为真：则m22m+82m+80，解得-4m-2，或m4；（2）若q为真，则(m-t)(m-t-1)0，即tmt+1，p是q的必要不充分条件，则m|tmt+1m|-4m-2，或m4即-4tt+1-2或t4解得-4t-3或t4.【解析】本题考查了命题真假及充要条件的应用，属于基础题（1）利用圆锥曲线的性质求出m的范围；（2）若q为真，则(m-t)(m-t-1)0，即tmt+1，由p是q的必要不充分条件，得到m|tmt+1m|-4-2，或m4即可求出t的取值范围20.【答案】解：（1）解法一：w（1+2i）=4+3i，w=4+3i1+2i=2-i，z=52-i+|-i|=3+i解法二：设w=a+bi（a、bR），a+bi-4=3i-2ai+2b，得a-4=2bb=3-2a，a=2,b=-1w=2-i，以下解法同解法一（2）z=3+i是关于x的方程x2-px+q=0的一个根，（3+i）2-p（3+i）+q=0（8-3p+q）+（6-p）i=0，p，q为实数，8-3p+q=06-p=0，解得p=6，q=10解方程x2-6x+10=0得x=662-402=3i实数p=6，q=10，方程的另一个根为x=3-i【解析】（1）解法一：利用复数的运算计算出w，代入z即可得出解法二：设w=a+bi（a、bR），利用复数的运算法则与复数相等解出w，即可得出（2）把z=3+i代入关于x的方程x2-px+q=0，利用复数相等解出p，q，即可得出本题考查了复数的运算法则、复数相等解，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21.【答案】解：（）由题意，得c=1，a2=b2+1点P(1，32)在椭圆C上，1a2+94b2=1，可解得a2=4，b2=3，则椭圆C的标准方程为x24+y23=1.（）依题意知直线斜率存在，不妨设直线l的方程为y=kx+2，点A（x1，y1），B（x2，y2），由x24+y23=1y=kx+2，得（4k2+3）x2+16kx+4=0直线与椭圆有两个交点，=48（4k2-1）0，即k214，由根与系数的关系，得x1+x2=-16k4k2+3，x1x2=44k2+3AOB为锐角，OAOB0，即x1x2+y1y20x1x2+（kx1+2）（kx2+2）0，即（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+40，(1+k2)44k2+3+2k-16k4k2+3+40，-12k2+164k2+30，k243，综上14k243，解得-233k-12或12k233所求直线的斜率的取值范围为-233k-12或12k233【解析】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，范围问题的处理方法，考查转化思想以及计算能力（）利用已知条件求出c=1，得到a2=b2+1通过点在椭圆C上，得到，可解椭圆C的标准方程；（）设直线l的方程为y=kx+2，点A（x1，y1），B（x2，y2），通过联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及x1x2+y1y20判别式的符号，求解k的范围即可22.【答案】解：（1）由实轴长为43，得a=23，所以渐近线方程为y=b23x，即bx-23y=0或bx+23y=0，取渐近线方程为bx-23y=0，焦点到渐近线的距离为3，|bc|b2+12=3，又c2=b2+a2，b2=3，双曲线方程为：x212-y23=1；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0），则x1+x2=mx0，y1+y2=my0，由直线与双曲线方程联立，可得x2-163x+84=0，x1+x2=163，y1+y2=33163-4=12，x0y0=433x0212-y023=1，解得x0=43，y0=3，m=4，C（43，3），m=4【解析】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线标准方程的求解，考查向量的线性运算，考查学生分析问题解决问题的能力（1）由实轴长可得a值，由焦点到渐近线的距离可得b，c的方程，再由a，b，c间的平方关系即可求得b；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0），则x1+x2=mx0，y1+y2=my0，联立直线方程与双曲线方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理可得x1+x2，进而求得y1+y2，从而可得，再由点D在双曲线上得一方程，联立方程组即可求得C点坐标，从而求得m值【答案】解：(1)设P(x,y)(x0,y0)，椭圆：x24+y2=1，A为上顶点，P为异于上、下顶点的动点，P在第一象限，且|OP|=2，联立x24+y2=1x2+y2=2，解得P(233,63).(2)设M(x0,0)，A(0,1)，P(85,35)，若P=90，则PAP