高三数学学习素材：用向量的模和数量积求角和距离

用向量的模和数量积求角和距离高中数学教材中的向量知识为解决空间几何问题提供了有力的工具，不仅把几何中的逻辑推理转化为向量的代数运算，使得空间问题的解决变得快捷、思路更清晰，体现在解题方法上更具有普遍性。这里以空间角和距离问题为例，来说明向量知识在解决几何问题中的作用。解决空间角和距离问题只需三个步骤：一建立适当的空间直角坐标系；二用空间直线（或平面）的向量参数表示式表示有关向量,根据互相垂直向量的数量积为零,列出关于所设参数的方程(组)并解出参数；三利用向量的模(或向量数量积)的公式求出角或距离.一、求两条异面直线之间的距离和所成角.例1、 已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=4，BC=AA1=2，xyzABCDA11B1C1D1PQz（1）求异面直线BD1和AC所成角（结果用反三角函数值表示）和距离。解：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，A ( 2, 0, 0 ) B ( 2, 4, 0 )，C ( 0 ,4 , 0 ) D1 ( 0, 0, 2 ) , （1）设D1B与AC所成角为， . ,因此异面直线D1B与AC所成角为。（2）, ,由得 解方程组得 ,且异面直线D1B和AC的距离为.二、求点与直线（或平面）的距离和直线与平面所成角例2、如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB900，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G.（1）求点G到直线A1B距离；（2）求点A1到平面AED的距离。（3）求直线A1B与平面AED所成角的大小（结果用反三角函值表示） 解：建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,设AC2aKzxyA1B1C1ABCEDGH则A(2a,0,0),B(0,2a,0),D(0,0,1)A1(2a ,0,2),E(a,a,1),G(2a/3,2a/3,1/3).,解得a=1 , ,.（1）令点G在A1B上的射影为H，且由 得 =0 即点G到直线A1B距离为.(2)设点A1平面AED上的射影为K,且由 得 所以 点A1到平面AED的距离为(3) 由(1)知A1K平面AED, 直线A1B与平面AED所成的角就是A1EK. 在RtA1KE中， 且 (或者),即直线A1B与平面AED所成角为.三、求二面角例3、如图，直三棱柱ABCA1B1C1中,ACB=900,AC=1,CB=,侧棱AA1=1,求二面角B1-A1B-C的大小.分析：求二面角可以分别过二面角两个面内已知点作二面角棱的垂线段，二面角的大小就等于分别以两个垂足为起点、两个已知点为对应终点的两条垂线段所表示的向量所成的角。CAzyxBA1C1B1MN解:如图,以C为原点建立空间直角坐标系,A1 (0,1,1),B1 () ,B (,0,0) ,则,，.设点B1、C在二面角B1A1B的棱A1 B上的射影分别为 点、， 向量 与 夹角就等于二面角B1A1B的平面角大小.令 ，.由得 得 ,CAzyxBA1C1B1MN二面角B1A1B的大小为 .说明：（1）这里给出了求两异面直线距离和点到直线(或平面)距离的求法，对于立体几何中直线（或平面）与平面的距离等，可以转化成上述问题而得到解决;而立体几何中的求异面直线所成角、直线（或平面）与平面所成角可以借鉴上述方法解决。（2）运用上述方法解答空间角和距离问题不但实现了形向数的转化，体现数形结合思想，还体现了方程的观点。降低了问题解决的难度，