高三数学数列习题课苏教理知识精讲

高三数学数列习题课高三数学数列习题课苏教版（理）苏教版（理） 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 数列习题课 【典型例题典型例题】 例 1. 等差数列an的前 n 项和为 Sn且 S5=-5，S10=15，求数列的前 n 项和 Tn n Sn 。 解：解：设数列an的公差为 d，首项为 a1， 由已知得 5a1 + 10d = -5， 10a1 + 45d = 15 解得 a1=-3 ，d=1 Sn = n(-3)+ nn nn 2 7 2 1 2 ) 1( 2 2 7 2 1 n n Sn , 2 1 2 7 2 1 2 7 1 2 1 1 1 nn n S n S nn 是等差数列且首项为3、公差为 n Sn 1 1 S1 2 Tn = n(-3)+ 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 ) 1( nn nn 4 13 4 1 2 1 2 例 2. 等比数列中，各项均为正数，且，求。 n a 6103548 41,4a aa aa a 84 aa 解：解：设等比数列首项为，公比为 q，则 1 a 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 749)( 4 41 84 273 2 1 10 2 1 6 2 1 14 2 1 aaqqa qa qaqa 另法：， 22 6103584 4141a aa aaa 4848 428aaaa 将两式相加得 2 48 ()41 849aa 又因为数列中，各项均为正数，所以7 n a 84 aa 例 3. 设数列an前 n 项的和为 Sn，且其中 m 为常数，*).( 32)3 (NnmmaSm nn 0, 3mm且 （1）求证：an是等比数列； （2）若数列an的公比满足 q=f(m)且，1ab 11 2n*,Nnbf 2 3 b 1nn 为等差数列，并求 1 n b 求证 n b 解：解：（1）由，得(3)23 nn m Smam 11 (3)23, nn m Smam 两式相减，得 1 (3)2,(3) nn m amam 1 2 , 3 n n am am 是等比数列 n a 点评：为了求数列的通项，用取“倒数”的技巧，得出数列的递推公式， n b 1 n b 从而将其转化为等差数列的问题 例 4. 项数为奇数的等差数列，奇数项之和为 44，偶数项之和为 33，求这个数列的中间 项及项数。 解：解：设数列共 2m+1（mN*）项，把该数列记为an 。 依题意 a1+a3+a2m+1=44 且 a2+a4+a2m=33 即 (a2+a2m)=33 （1） 2 m (a1+a2m)=44 （2） 2 1m （1）（2）得 m = 3 代入（1）得 a2+a2m = 22 4 3 1 m m am+1=11。 2 22m aa 即该数列有 7 项，中间项为 11。 例 5. 设数列的前 n 项和为 Sn，若是首项为 S1，各项均为正数且公比为 q 的等 n a n S 比数列。 （1）求数列的通项公式（用 S1和 q 表示） ； n a n a （2）试比较的大小，并证明你的结论. 12 2 nnn aaa与 解：解：（1）是各项均为正数的等比数列， n S )0( 1 1 qqSS n n 当 n=1 时，an=S1； 当 2 11 2,(1) n nnn naSSS qq 时 )2() 1( ) 1( 2 1 1 nqqS nS a n n （2）当 n=1 时， 2 13211 31 2(1)2 (1)()0, 24 aaaSS qqS qSq 231 2aaa 21 21111 2, 2(1)(1)2(1) nnn nnn n aaaS qqS qqS qq 当时 3 2 1 1. n Sqq 2 1 0,0, n Sq 当 q=1 时， 3 21 (1)0,2. nnn qaaa 当,10时 q.2, 0) 1( 12 3 nnn aaaq 当,1时q.2, 0) 1( 12 3 nnn aaaq 综上可知：当 n=1 时，当 231 2aaa 21 2,1,2; nnn nqaaa 时若则 若 若，则。 21 01,2; nnn qaaa 则1q 1n1nn a2aa 点评：数列与比较大小的综合是高考命题的一个老话题，我们可以找到较好的高考真 题本题求解当中用到与之间的关系式： n S n a 1 1 , (1) .(2) n nn Sn a SSn 例 6. 设首项为正数的等比数列，它的前 n 项和为 80，前 2n 项和为 6560，且前 n 项中数 值最大的项为 54，求此数列的首项和公比 q。 解：解：设等比数列an的前 n 项和为 Sn 依题意设：a10，Sn=80 ，S2n=6560 S2n2Sn ， q1 从而 =80且=6560 1 1 1 n aq q 2 1(1 ) 1 n aq q 两式相除得 1+qn=82 ，即 qn=81 a1=q-10 即 q1，从而等比数列an为递增数列，故前 n 项中数值最大的项为 第 n 项。 a1qn-1=54，从而(q-1)qn-1=qn-qn-1=54 qn-1=81-54=27 q= 3 27 81 q q 1n n a1=q-1=2 故此数列的首项为 2，公比为 3 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 【模拟试题模拟试题】 （答题时间：60 分钟） 一、选择题（每题 3 分，共 54 分） 1. 等差数列的公差为 d，则数列（c 为常数，且 n aaaa, 321 n cacacaca, 321 ）是（ ）0c A. 公差为 d 的等差数列B. 公差为 cd 的等差数列 C. 非等差数列D. 以上都不对 2. 在数列中，则的值为（ ） n a122 , 2 11 nn aaa 101 a A. 49B. 50C. 51D. 52 3. 已知则的等差中项为（ ）, 23 1 , 23 1 baba, A. B. C. D. 32 3 1 2 1 4. 等差数列中，那么的值是（ ） n a120 10 S 101 aa A. 12B. 24C. 36D. 48 5. 是成等比数列的（ ） 2 bac cba、 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 6. 设成等比数列，其公比为 2，则的值为（ ） 4321 ,aaaa 43 21 2 2 aa aa A. B. C. D. 1 4 1 2 1 8 1 7. 数列 3，5，9，17，33，的通项公式等于（ ） n a A. B. C. D. n 212 n 12 n1 2 n 8. 数列的通项公式是，若前 n 项的和为 10，则项数 n 为（） n a 1 1 nn an A. 11B. 99C. 120D. 121 9. 计算机的成本不断降低，若每隔 3 年计算机价格降低，现在价格为 8100 元的计算 3 1 机，9 年后的价格可降为（ ） A. 2400 元B. 900 元C. 300 元D. 3600 元 10. 数列、都是等差数列，其中，那么 n a n b100,75,25 10010011 baba 前 100 项的和为（ ） nn ba A. 0B. 100C. 10000D. 102400 11. 若数列的前 n 项和为，则（） n a 2 nSn A. B. C. D. 12 nan12 nan12 nan12 nan 12. 等比数列中，（） n aqaaaa则, 8, 6 3232 A. 2B. C. 2 或D. 2 或 2 1 2 1 2 1 13. 等差数列-3，1，5，的第 15 项的值是（ ） A. 40B. 53C. 63D. 76 14. 在等比数列中，则项数 n 为（） 3 2 , 3 1 , 8 9 1 qaa n A. 3B. 4C. 5D. 6 15. 已知实数满足，那么实数是（）cba、122 , 62 , 32 cba cba、 A. 等差非等比数列B. 等比非等差数列 C. 既是等比又是等差数列D. 既非等差又非等比数列 16. 若成等比数列，则关于 x 的方程（ ）cba、0 2 cbxax A. 必有两个不等实根B. 必有两个相等实根 C. 必无实根D. 以上三种情况均有可能 17. 已知等差数列满足，则有（） n a0 11321 aaaa A. B. C. D. 0 111 aa0 102 aa0 93 aa6 6 a 18. 数列前 n 项的和为（）, 16 1 4 , 8 1 3 , 4 1 2 , 2 1 1 A. B. 22 1 2 nn n 1 22 1 2 nn n C. D. 22 1 2 nn n 22 1 2 1 nn n 二、填空题（每题 3 分，共 15 分） 19. 在等差数列中，已知，那么等于 n a20 54321 aaaaa 3 a 20. 某厂在 1995 年底制定生产计划，要使 2005 年底的总产量在原有基础上翻两番，则 年平均增长率为 21. 已知等差数列的公差，且成等比数列，则的值是 n a0d 931 ,aaa 1042 931 aaa aaa 22. 数列中，则 n a1 1 , 1 1 1 n n a aa 4 a 23. 已知在等比数列中，各项均为正数，且则数列的 n a , 7 , 1 3211 aaaa n a 通项公式是_ n a 三、解答题（第 24、25 每题 7 分，第 26 题 8 分，第 27 题 9 分，共 31 分） 24. 等差数列中，已知，试求 n 的值 n a33, 4, 3 1 521 n aaaa 25. 数列中，求数列的通项公式 n a * 11 ,3, 2Nnnaaa nn n a n a 26. 在等比数列的前 n 项和中，最小，且，前 n 项和 n a 1 a128,66 121 nn aaaa ，求 n 和公比 q126 n S 27. 已知等比数列与数列满足 n b n a * ,3Nnb n a n （1）判断是何种数列，并给出证明； n a （2）若 2021138 ,bbbmaa求 试题答案试题答案 一、 1. B2. D3. A4. B5. B6. A7. B8. C9. A10. C 11. A 12. C13. B14. B15. A16. C17. C18. B 二、19. 4 20. 21. 22. 23. 14 10 16 13 3 5 1 2 n 三、 24. 5033 3 1 3 2 ,33 3 1 3 2 3 2 ) 1( 3 1 , 3 2 3 1 , 4524 11152 nna nnadadaddaaa n n 得 又 25. 由 ) 1(3 6 3 3 1 23 12 1 naa aa aa naa nn nn 将上面各等式相加，得 2 ) 1(3 2) 1(363 1 nn anaa nn 26. 因为为等比数列，所以 n a 64, 2, 128 66 11 1 1