河北衡水中学高三数学下学期六调考试文

20182019学年度高三年级第二学期六调考试文科数学试卷第卷（选择题共60分）一、选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.设全集，集合，则集合的子集的个数是（ ）A. 16B. 8C. 7D. 4【答案】B【解析】因为，所以，集合的子集的个数是 ，故选B.2.设复数（是虚数单位），则复数的虚部是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由，得，故其虚部为，故选A.3.命题“，且”的否定形式是（ ）A. ，且B. ，或C. ，或D. ，且【答案】C【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“nN，f（n）N且f（n）n”的否定形式是：n0N，f（n0）N或f（n0）n0，故选C点睛：(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“xM，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M中的一个特殊值x0，使p(x0)不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个xx0，使p(x0)成立即可，否则就是假命题.4.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为 ()A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：不妨设直线，即椭圆中心到的距离，故选B.考点：1、直线与椭圆；2、椭圆的几何性质.【方法点晴】本题考查直线与椭圆、椭圆的几何性质，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 不妨设直线，即椭圆中心到的距离，利用方程思想和数形结合思想建立方程是本题的关键节点.【此处有视频，请去附件查看】5.等比数列中，函数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】在等比数列中，由，得 ，函数是个因式的乘积，展开后含的项仅有，其余的项的指数均大于等于，中的常数项仅有，故选D.6.已知、满足约束条件，则的最小值为（ ）A. 5B. 12C. 6D. 4【答案】A【解析】【分析】根据约束条件画出可行域，将化成斜截式，找到其范围，然后得到的范围，得到答案.【详解】根据约束条件画出可行域，如图所示，令，转化为斜截式为即斜率为的一簇平行线，是其在轴的纵截距，直线过时，其纵截距最小；过时，其纵截距最大，即，所以，即故选A项.【点睛】本题考查了简单线性规划问题，注意绝对值处理，属于简单题.7.把平面图形上的所有点在一个平面上的射影构成的图形叫作图形在这个平面上的射影.如图，在三棱锥中，将围成三棱锥的四个三角形的面积从小到大依次记为，设面积为的三角形所在的平面为，则面积为的三角形在平面上的射影的面积是（ ）A. B. C. 10D. 30【答案】A【解析】试题分析：解：将该三棱锥补形为长方体如图所示：其中： ， ， ，由几何关系求得： ，则问题转化为求解平面 在平面 ，即平面 上的射影，其中点B的射影在直线 上，故射影面积为 .点睛：求几何体的体积，要注意分割与补形将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解，其中一个很重要的方法为将几何体补形为长方体，这使得几何体中的位置关系更为明确. 8.法国机械学家莱洛（1829-1905）发现了最简单的等宽曲线莱洛三角形，它是分别以正三角形的顶点为圆心，以正三角形边长为半径作三段圆弧组成的一条封闭曲线，在封闭曲线内随机取一点，则此点取自正三角形之内（如图阴影部分）的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先算出封闭曲线的面积，在算出正三角形的面积，由几何概型的计算公式得到答案.【详解】设正三角形的边长为，由扇形面积公式可得封闭曲线的面积为，由几何概型中的面积型可得：此点取自正三角形之内（如图阴影部分）概率是，故选：【点睛】本题考查几何概型求概率，属于简单题.9.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的值为2，则输出的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据框图的循环结构，依次得到每一步的和的值，然后循环至不满足循环条件时，停止循环，输出的值.【详解】根据题意，初始值，程序运行如下： 故选C项.【点睛】本题考查框图的循环结构，根据输入值求输出值，数列的错位相减求和，属于中档题.10.在，角，的边分别为，且，则的内切圆的半径为（ ）A. B. 1C. 3D. 【答案】D【解析】由及正弦定理得，整理得， ，又，故，由余弦定理得，即，解得，选D点睛：（1）解三角形中，余弦定理和三角形的面积公式经常综合在一起应用，解题时要注意余弦定理中的变形，如，这样借助于和三角形的面积公式联系在一起（2）求三角形内切圆的半径时，可利用分割的方法，将三角形分为三个小三角形，且每个小三角形的高均为内切圆的半径，然后利用公式可得半径11.如图，汉诺塔问题是指有3根杆子，.杆子有若干碟子，把所有碟子从杆移到杆上，每次只能移动一个碟子，大的碟子不能叠在小的碟子上面.把杆上的4个碟子全部移到杆上，最少需要移动（ ）次.A. 12B. 15C. 17D. 19【答案】B【解析】把上面三个碟子作为一个整体,移动的顺序是：（1）把上面三个碟子从B杆移到C杆子；（2）把第四个碟子从B移到A；（3）把上面3个碟子从C杆子移到A杆子。用符号表示为：（B,C） (B,A) (A,C) (B,C) (A,B) (A,C) (B,C) (B,A) (C,A) (C,B) (A,B) (C,A) (B,C) (BA,) (C,A)共移动15次。故选B此处有视频，请去附件查看】12.已如函数 的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大值为 ，则的值为（ ）A. 2B. -1C. 1D. 2【答案】D【解析】分析：由过原点的直线与函数在区间内的图象相切，利用导数知识可求得切线方程，由直线过原点，可求，代入化简可得结果.详解：函数的图象与过原点的直线恰有四个交点，直线与函数在区间内的图象相切在区间上，的解析式为，因为切点坐标为，切线斜率，由点斜式得切线方程为，即，直线过原点，得，化简 ，故选D. 点睛：应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解. 第卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，共20分。把答案填在答题纸的横线上）13.已知，若任意非零向量与共线，则_.【答案】2.【解析】【分析】根据任意非零向量与共线，可得向量是零向量，然后得到的值.【详解】因为任意非零向量与共线，所以向量是零向量，而，所以，所以.【点睛】本题考查零向量的性质，向量坐标的线性运算，属于简单题.14.已知，满足，则最大值为_.【答案】.【解析】分析：由求得，化为，利用三角函数的有界性可得结果.详解：由，得化为， 的最大值为，故答案为.点睛：对三角函数恒等变形及三角函数性质进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.15.已知正方体棱长为2，点是上底面内一动点，若三棱锥的外接球表面积恰为，则此时点构成的图形面积为_.【答案】.【解析】【分析】设三棱锥的外接球为球，分别取、的中点、，先确定球心在线段和中点的连线上，先求出球的半径的值，然后利用勾股定理求出的值，于是得出，再利用勾股定理求出点在上底面轨迹圆的半径长，最后利用圆的面积公式可求出答案【详解】如图所示，设三棱锥的外接球为球，分别取、的中点、，则点在线段上，由于正方体的棱长为2，则的外接圆的半径为，设球的半径为，则，解得.所以，则而点在上底面所形成的轨迹是以为圆心的圆，由于，所以，因此，点所构成的图形的面积为.【点睛】本题考查三棱锥的外接球的相关问题，根据立体几何中的线段关系求动点的轨迹，属于中档题.16.已知函数 ，则函数的最小值是_.【答案】-16.【解析】【分析】根据解析式的对称性进行换元，令，得到的最小值，由与的最小值相同，得到答案【详解】令，则当时，有最小值故的最小值是.【点睛】本题考查利用换元法求函数的最小值，二次函数求最值，属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，17题10分，18-22题每题12分，共70分，解答应写出证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）17.已知为公差不等于零的等整数列，为的前项和，且为常数列.（1）求；（2）.设，仅当时，最大，求.【答案】(1) .(2) .【解析】【分析】（1）将等差数列的通项和求和全部用基本量表示，然后对整理，令的系数和常数项为，得到答案.（2）表示出通项，然后化成反比例函数平移的形式，根据对称中心，得到公差的范围，然后根据，得到的值，再求出的通项.【详解】（1）设首项为，公差为，则整理得：对任意的恒成立，只须解得：， （2）由题意可知，数列的对称中心为 因为仅当时，最大，所以 ，解得，又因，所以,【点睛】本题考查等差数列通项公式和求和公式，多项式恒成立，数列的函数性质，属于中档题.18.在一次53.5公里的自行车个人赛中，25名参赛选手的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示.（1）现将参赛选手按成绩由好到差编为125号，再用系统抽样方法从中选取5人.已知选手甲的成绩为85分钟.若甲被选取,求被选取的其余4名选手的成绩的平均数；（2）若从总体中选取一个样本，使得该样本的平均水平与总体相同，且样本的方差不大于7，则称选取的样本具有集中代表性.试从总体（25名参赛选手的成绩）选取一个具有集中代表性且样本容量为5的样本，并求该样本的方差.【答案】(1) 97.(2) 见解析【解析】试题分析：（1）从茎叶图可知甲编号为第一组的第5个，则其余4名选手的成绩分别为88、94、99、107，这4个成绩的平均数为97；（2）先求出总体的平均数为，具有集中代表性且样本容量为5的一个样本为88、90、93、94、95，根据方差公式可得结果.试题解析：(1)将参赛选手按成绩由好到差分为5组，则第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，甲的编号为第一组的第5个，则其余4名选手的成绩分别为88、94、99、107，这4个成绩的平均数为97.(2)25名参赛选手的成绩的总分为2300，总体的平均数为.具有集中代表性且样本容量为5的一个样本为88、90、93、94、95(或89、90、92、94、95).该样本的方差为，(或).(备注：写出一组即可)19.如图，在三棱柱，中，四边形是矩形，平面平面.（1）证明：；（2）若.是线段上的一点，且三棱锥的体积为，求的值【答案】(1)证明见解析；(2)3.【解析】分析：(1)由题意结合几何关系可证得四边形与均是平行四边形，则平面平面,据此可知四边形是菱形，从而.（2）由(1)可知平面,则，故.详解：(1) 在三棱柱中,，.又.平面.设与相交于点,与相交于点,连接，四边形与均是平行四边形，,平面，又平面平面,且相交于,平面,，四边形是菱形，从而.（2）由(1)可知平面,在中, ， ，点睛：本题主要考查空间位置关系，椎体的体积公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.已知抛物线 在第一象限内的点到焦点的距离为.（1）若，过点，的直线与抛物线相交于另一点，求的值：（2）若直线与抛物线相交于，两点，与圆相交于，两点，为坐标原点，试问：是否存在实数，使得的长为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）时，的长为定值【解析】试题分析：（1）根据抛物线的性质可得到焦点的距离为可得出，求出的方程，联立抛物线，故而可得， ，即可得最后结果；（2）设出直线的方程为，设 ，与抛物线方程联立，运用韦达定理得， ，由，得，将， 代入可得的值，利用直线截圆所得弦长公式得，故当时满足题意.试题解析：（1）点，解得，故抛物线的方程为： ，当时，的方程为，联立可得， ，又， ， （2）设直线的方程为，代入抛物线方程可得，设 ，则， ，由得： ，整理得，将代入解得，直线，圆心到直线l的距离，显然当时， ， 的长为定值点睛：本题主要考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系，难度中档；抛物线上点的特征，抛物线上任意一点到焦点的距离和到准线的距离相等，即为，两直线垂直即可转化为斜率也可转化为数量积为0，直线与圆相交截得的弦长的一半，圆的半径以及圆心到直线的距离可构成直角三角形.21.已知函数.（1）当时，讨论函数的单调性：（2）若不等式对于任意成立，求正实数的取值范围.【答案】(1) 当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在和上单调递增. (2) 【解析】【分析】(1)对函数求导得到，讨论a和0和1的大小关系，从而得到单调区间；（2）原题等价于对任意，有成立，设，所以，对g(x)求导研究单调性，从而得到最值，进而求得结果.【详解】（）函数的定义域为 若，则 当或时，单调递增； 当时，单调递减； 若，则当时，单调递减； 当时，单调递增； 综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在和上单调递增 （）原题等价于对任意，有成立，设，所以 令，得；令，得 函数在上单调递减，在上单调递增， 为与 中的较大者 设 ，则， 在上单调递增，故，所以，从而 ，即设 ，则所以在上单调递增又，所以的解为 ， 的取值范围为【点睛】本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据函数的导