高三数学导数在函数解中的应用教案

导数应用的面观导数是研究函数的工具，在导数进入新教材后，为函数问题注入活力和活力，开辟了解决许多问题的新途径，拓展了高考函数问题的命题空间。 因此，合并导数和函数是合理的，问题的命运合并了函数、导数、不等式、方程等知识，通过演绎证明、运算推理等理性思维解决了单调性、极值、最高值、切线、方程根、参数范围等问题，这类问题难度高、综合性强、内容新、背景新、方法新解题需要函数和方程式思想、分类讨论思想、数学结合思想、转化和回归思想。 本文以导数在函数问题中的应用为例，进行选择供参考。一、研究曲线的切线问题从函数y=f(x )在点x0处的导数的几何意义上，曲线y=f(x )在点P(x0，f(x0 ) )处的切线斜率，即k=，切线方程为y- f(x0)=(x-x0 )。例1 .在过点(2，0 )求出与曲线y=相切的切线方程式。解：点(2，0 )不是曲线y=上的点，所以设为接点P(x0，y0 )=(=-x-2，因此k=-x0-2所以=-x0-2，另外，点P(x0，y0 )在曲线y=上，因此x0y0=1 由求解x0=1、y0=1，因此k=-1，切线方程式为x y-2=0。注意：在求得与曲线相切的直线方程式的问题时，必须先调查与曲线的位置关系。2 .研究运动物体的瞬时速度根据教科书的引用例，如果物体的运动规则为s=s(t )，则运动物体在某个时刻的瞬时速度是该运动方程式在t0中的导数，这也是导数的物理意义之一。例2 .物体的运动方程式是s=-。 求出物体为t=3时的速度。解：=(=fufu )t=3时物体的速度=fu fu。五、证明不等式：在高中数学学习的过程中，我们经常遇到不等式的证明，看起来很简单，但是不能下手，找到切入点很难，有些常用的证据法一一尝试过，但是没有取得成效。 此时，我们改变了思路，根据已证明的不等式的结构和特征，结合自身所具有的知识，构建新函数，通过导数决定函数的单调性，利用单调性实现问题的转换，证明不等式。 用导数方法证明了不等式，该过程通常由结构导数研究单值或最大值得出不等关系得出结论。例3 .寻求证据：其中证明：假设也就是说，上面有增加函数，并且当时成立。评估：一般来说，证明可以构建函数如果以上是递增函数，并从递增函数的定义得出，则立即得到证明。四、研究函数的单调性函数的单调性是函数最基本的性质之一，是我们研究函数最基本的知识。 初中数学应用十分广泛，其思路是：一)，利用递增(递减)函数的定义判断单调性二)，导数法。 在利用内在导数方面增加(或减少)的充分条件是(或)并且恒定成立(然而，在下一子部分中不总是为0 )。 方法的简化既麻烦又适合解决抽象函数的单调性问题，但用导数知识判断函数的单调性容易快速把握。 特别适用于具体函数。例4 .判定函数y=x cosx在x 0，2下的单调性。由于解=1-sinx=0，x=，其中 0，并且y在0，处连续，因此y在0，处单调增加；并且对于(2)，由于0，y在，2处连续，因此y在，2处单调增加。五、研究函数的极值函数f(x )以x0连续，x0两侧符号不同时，x0为函数f(x )的极值点。 通常，如果函数f(x )连续为x0，则判定f(x0)是非常大(小)值的方法如下(1)如果在x 0附近左侧 0，右侧0，则f(x0)是极大值点(2)如果x 0附近的左侧 0，则f(x0)是最小值点例5 .求出函数y=1 3x-x3的极值。解：=3-3x2，命令=0，解x1=-1，x2=1x-1时，0，函数y=1 3x-x3为减法函数，-1x 0，函数y=1 3x-x3为减法函数，0，函数y=1 3x-x3为减法函数因此，当x=-1时，函数y=1-3- x-x 3具有最小值，并且当最小值为-1即x=1时，在函数y=1-3- x-x 3中具有最大值，并且最大值为3。例6 .已知的函数f(x)=x3-3ax2 2bx在x=1时具有最小值-1，指定a、b的值并求出f(x )的单调区间。了解：=3x2-6ax 2bf(1)=1-3a 2b=-1=3-6a 2b=0时a=、b=f(x)=x3-x2-x，=3x2-2x-1对于x1， 0； -x1时0因此，(-，- )、(1，)为增加函数(-，1 )为减法函数。六、研究函数的最大值最有价值的问题是高中数学的重点，也是难点。 参与高中数学知识的各个方面。 解决这类问题需要很多技能，需要选择合理的解题途径。 用导数解决这类问题简化了解题过程，程序清晰，学生也能把握。 要注意函数极值与最值的区别和联系。 极值是局部概念，最值是某区间的整体概念。函数f(x )在a，b中的最大值和最小值的求法：(1)求出1)f(x )在(a，b )内的极值(2)将各极值与f(a )、f(b )进行比较，最大的为最大值，最小的为最小值。例7 :已知函数f (x )=-x33 x2ax bx=(1，f(1) )处的切线与直线12x-y-1=0平行.(1)求实数a的值(2)求出2)f(x )的单调减少区间(3)如果3)f(x )区间-2，2 中的最大值为20，则求出该区间中的最小值.解： (1)f(x )=-3 x26 x af(1)=3a=12，8756； a=9(2)f(x)=-3x2 6x 9.f(x)0、x-1或x3因此函数f(x )的单调递减区间为(-1)，(3，)。(f(-2)=8 12-18 b=2 b，f(2)=-8 12 18 b=22 bf(2)f(-2 )在(-1，3 )中有f (x)0因此f(x )在-1，2 中单调增加，另外f(x )在-2，-1