高三数学第五章平面向量总结人教文知识精讲

用心 爱心 专心 高三数学高三数学第五章第五章 平面向量总结平面向量总结人教版（文）人教版（文） 【同步教育信息同步教育信息】 一. 本周教学内容： 第五章 平面向量总结 二. 基础知识： 1. 向量的有关概念 定义：既有大小又有方向的量叫做向量（自由向量） 记作： 或ABa),(yxa 表示： 有向线段 向量长度 （模）： a 22 yxa 单位向量： （与同向的） | 0 a a a a ),( 2222 0 yx y yx x a 相等向量： 方向相同 |ba CDAB ba 21 21 2211 ),(),( yy xx yxbyxa 共线向量： 若，则与共线（平行）0bab （唯一）ba 0/ 1221 yxyxbaba 相反向量： 的相反向量aa),(yxa 加法： ba ),( 2121 yyxxba 减法： ba ),( 2121 yyxxba 实数与向 量的积： a),(),(yxyxa 数量积： cos|baba 2121 yyxxba 向量垂直 非零向量，ab 0baba 0 2121 yyxxba 2. 向量的加法与减法 （1）加法法则：三角形法则与平行四边有法则 三角形法则：首尾相接 平行四边形法则：起点相同 （2）运算性质：，aaaabba00,)()(cbacba （3）减法法则：是起点 O 连接，终点指向被减数的向量ba ab 用心 爱心 专心 （4）常用结论：BAAB ；ADCDBCABCBACAB 0 113221 AAAAAAAA nnn bababa 3. 实数与向量的积 （1）定义：a 时，与同向0aa 时，与反向0aa 时，00a （2）运算律： aa aa)()( aaa)( baba )( （3）有且只有一个实数，使 )0(/bba0 1221 yxyxba 注：注：此条件应用非常广泛，是证明三点共线的重要依据。 （4）平面向量的基本定理 为一组基底，平面内任一向量，有且只有一对实数、，使 21,e ea 1 2 11e a 22e 00 212211 ee （5）几个重要结论 已知，C 是 A、B 中点，则bOBaOA ,)( 2 1 OBOAOC 以原点为起点的三个向量、的终点 A、B、C 在同一条直线上的充要条件是abc ，其中，bacR,1 4. 线段的定比分点 （1）定义：设 P1、P2是直线 上的两点，点 P 是 上不同于 P1P2的任意一点，则存在ll 用心 爱心 专心 唯一实数，使，叫做 P 分所成的比 21 PPPP 21P P （2）设 P1（）、且 11, y x),( 222 yxP),(yxP 21 PPPP 则 1 1 21 21 yy y xx x 1 ) 1( ba OP 时，P 为线段的的中点，则1 21P P 2 2 2 21 21 ba OP yy y xx x （3）的重心坐标公式ABC 、重心 G（）),( 11 yxA),(),( 3322 yxCyxB、yx, 则（坐标表示）或（向量表示） 3 3 321 321 yyy y xxx x 3 cba OG 常见题型： 求有向线段的比 证明三点共线 求的角平分线长ABC 求的内心ABC 5. 平面向量的数量积 （1）两平面向量的夹角 AOBbOBaOA, 范围：1800 （2）非零向量与垂直：ab 用心 爱心 专心 0900 2121 yyxxbaba （3）与的数量积（内积）ab 定义： 2121 cosyyxxbaba 的几何意义：ab 等于的长度与在方向上的投影的乘积baaba 在上的投影为ba 2 1 2 1 2121 cos yx yyxx a ba b （4）的性质，设，是两个非零向量，是单位向量baabe cosaeaae 00 2121 yyxxbaba 当与同向时，；当与反向时，abbabaabbaba （实现模与向量内积的相互转化） 22 2 2 yxaaba 两点间距离公式：若则),(),( 2211 yxByxA、 2 21 2 21 )()(yyxxAB （与的夹角） 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 cos yxyx yyxx ba ba ab ；baba 222 )(baba （5）的运算律ba abba cacba)(cb （）)()()(bababaR 注：注： 不满足结合律ba)()(cbacba 数量积的多项式乘积类似实数多项式的乘积 6. 平移 （1）图形平移的定义：设 F 是坐标平面内的一个图形将 F 上所有点按同一方向，移 动同样长度，得到图形，这一过程叫图形的平移。 F （2）平移公式 设，按平移，对应点),(yxPF),(kha ),(yxP F 用心 爱心 专心 则有或 kyy hxx kyy hxx 理解：公式中反应的平移可以分解为两步进行。 沿轴正方向平移个单位； 再沿轴正方向平移个单位xhyk （3）点的平移关系 点按平移得),(yxA),(kha ),(kyhxA 点按平移得，则),(yxAa),(yxA),(yyxxa 点 A 按平移，得，则),(kha ),(yxA),(kyhxA （4）函数、曲线的平移关系 图形 F：按平移，得图形)0),()(yxfxfy),(kha ；khxfyF)(:)0),(kyhxf 图形按平移，得图形)0),()(:yxfxfyFa 则)(:xfyF)0),( y xf),(yyxxa 图形 F 按平移得a),(kh)0),()(:yxfxfyF 则)0),()(:kyhxfhxfkyF 【模拟试题模拟试题】（答题时间：60 分钟） 一. 选择题（本大题 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1. 已知、为两个单位向量，下列命题正确的是（ ）ab A. B. C. D. ba0ba1ba 22 ba 2. 若，与的夹角为，则=（ ）2a 2 1 bab60ba A. B. C. 1 D. 2 4 1 2 1 3. 已知中，当时，是（ ）ABCaAB bAC 0baABC A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形 4. 设，则与的夹角大小为（ ）12a9b254baab A. B. C. D. 4513560120 5. 、为非零向量，是、共线的（ ）abbabaab A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 6. 若，则（ ）ba/ba A. 0 B. C. D. 1baba 7. 下列叙述不正确的是（ ） A. 向量的数量积满足交换律B. 向量的数量积满足分配律 C. 向量的数量积满足结合律D. 是一个实数ba 8. 已知，则，与的夹角为（ ）6a4b72)3()2(babaab A. B. C. D. 306090120 用心 爱心 专心 9. ，向量与的位置关系是（ ）2a4bba 4 3 ba 4 3 A. 平行 B. 垂直 C. 夹角为 D. 不平行也不垂直 3 10. 下列的命题中，正确的命题的个数是（ ） （1） 2 22 )(baba （2） a b a ba 2 （3）对任意向量，都成立)()(cbacbaabc （4）)()()(babababa A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 二. 填空题（本大题 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 11. 已知是两个任意向量，则与的大小关系是： （用不ba、|baa bbaba 等号填空）。 12. 已知，为单位向量，它们之间的夹角为，则在方向上的投影为 6ab60ab 。 13. 已知中，则 。ABC5BC8CA60ACBCABC 14. ，且与垂直，则 。4, 2bababa 15. 设 O、A、B、C 为平面上四个点，且，aOA bOB cOC 0cba ，则 。1accbbacba 16. 若 O 为所在平面内一点，且满足，则ABC0)2)(OAOCOBOCOB 的形状为 。ABC 三. 解答题（本大题 2 小题，每小题 15 分，共 30 分） 17. 、 是夹角为的单位向量，且，求及 1 e 2 e60 21 2eea 21 23eebba 与的夹角。ab 18. 已知，1a2b （1）若，求；ba/ba （2）若与的夹角为，求；ab60ba （3）若与垂直，求与的夹角。ba aab 19. G 为的重心，DE 经过点 G，与 AB、AC 分别交于点 D、E，设，ABCaAB AC ，求证：。bamADbnAE3 11 nm 用心 爱心 专心 试题答案试题答案 一. 1. D 2. B 3. A 4. B 5. A 6. D 7. C 8. B 9. D 10. B 二. 11. 12. 3 13. 14. 15. 16. 等腰三角形20 2 1 23 三. 17. 解： 2 221 2 1 26eeeeba 2 7 744 2 221 2 1 2 eeeea7a74129 2 221 2 1 2 eeeeb 又 故7b 2 1 cos ba ba 1800120 18. 解：（1）设为与夹角，由abbabacos 又，则或，故，所以ba/ 01801cos2ba （2）=60cos2232 22 2 bbaaba23 则23ba （3）设与夹角为，由，则ababa0