高三数学：平面向量的方法技巧及易错题剖析理人教实验B知识精讲

用心 爱心 专心 高三数学专题：平面向量的方法技巧及易错题剖析（理）高三数学专题：平面向量的方法技巧及易错题剖析（理）人教实验人教实验 版（版（B B） 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 专题：平面向量的方法技巧及易错题剖析 二. 重点与难点 总结平面向量部分的方法技巧及对本章易错题进行剖析 三. 知识分析 （一）平面向量常见方法技巧 方法一：强化运用交换律和结合律的意识，活用闭合向量为零向量解题 特别对于化简题，应灵活运用加法交换律变为各向量首尾相连，然后再运用向量加法 结合律作和。 例：化简下列各式：；CABCAB ；CDBDACAB ；ADODOA 。结果为零向量的序号为_。MPMNQPNQ 答案：答案： 解析：解析：对于，；0CAACCABCAB 对于， 0ADADCDACBDABCDBDACAB 对于，；0ADDAADODOAAB 对于， 0PNNPMPMNQPNQMPMNQPNQ 综上知，应填。 方法二：强化运用向量加法法则 例：已知四边形 ABCD 是菱形，点 P 在对角线 AC 上（不包括端点 A、C） ，则等AP 于（ ） A. B. 1, 0,ADAB 2 2 0,BCAB， 用心 爱心 专心 C. D. 1, 0,ADAB 2 2 , 0,BCAB 答案：答案：A 解析：解析：如图，因为点 P 在 AC 上且不包括端点 A、C，所以，。ACAP1, 0 由三角形法则和平行四边形法则，知，。ADABACBCABACAB 所以或，。ADABAPBCABAP1, 0 故选 A。 方法三：数形结合思想 例：已知向量、满足条件，且 1 OP 2 OP 3 OP0OPOPOP 321 =1，试判断的形状。|OP|OP|OP| 321 321 PPP 解析：解析：如图，以与为邻边作平行四边形，利用向量加法的平行四边 1 OP 2 OP 21PP OP 形法则，易知。OPOPOP 21 ，。0OPOPOP 321 3 OPOP 又=1，|OP|OP|OP| 321 ，四边形为菱形。1|PP|OP|OP| 11 21PP OP 为等边三角形。 1 POP 即，从而60OPP1120OPP 21 同理可得。120OPPOPP 3132 用心 爱心 专心 =1，|OP|OP|OP| 321 。 313221 OPPOPPOPP 。|PP|PP| 3221 |PP| 31 为正三角形。 321 PPP 方法四：取特例 例：ABC 的外接圆的圆心为 O，两条边上的高的交点为 H， ，则实数=_。OCOBOAmOHm 答案：答案：1 解析：解析：（特殊值法）当ABC 为直角三角形时，O 为 AC 中点，AB、AC 边上高的交 点 H 与 B 重合。 ，OHOBOCOBOA 。1m 方法五：应用解题 22 a|a| 是向量数量积的重要性质之一，它沟通了向量与实数间的转化关系，充分利 22 |a|a 用这一性质，可以将与向量有关的问题转化为向量的运算问题。 例：已知 a、b 均为单位向量，它们的夹角为，那么等于（ ）60|b3a| A. B. C. D. 710134 答案：答案：C 解析：解析： 2222 b9ba6ab3a|b3a| ， 22 |b|9b, acos|b|a|6|a| ，1|a|1|b| 60b, a 原式=。13960cos1161 ，故选 C。13|b3a| 方法六：利用数形结合思想解决向量的模、向量的夹角问题 例 1：已知向量、b 满足，且 a 与 b 的夹角为，求和a6|a|4|b|60|ba| 。|b3a| 用心 爱心 专心 解析：解析：如图所示，则由 a、b 的夹角为知，aOA bOC baOB60 ，在AOB 中，由余弦定理得，60AOC120BAO 。19260cos64246|OB|ba| 22 如图所示，仿上可求得。36|FE|b3a| 例 2：已知，则与的夹角大小为（ ）1|a|2|b|bacac ab A. B. C. D. 6 6 5 3 3 2 答案：答案：D 解析：解析：如图，bacac a、b、c 构成一个三角形，且，所以可以推知 a 与 b 的夹角为，故选 D。 6 3 2 方法七：三角形形状的判断方法 由于三角形的形状可按角分类也可按边分类，所以这类题常将条件统一用边或角表示 后再化简、判断。 1. 应用平面向量的基本概念和性质判断。 例 1：已知平面上有互异的四点 A、B、C、D，若，0ACABDA2DCDB 则ABC 的形状是 A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形 答案：答案：B 解析：解析：因为ACABDA2ACDAABDADA2DCDB 用心 爱心 专心 所以，0ACABACABDA2DCDB 22 即。|AC|AB| 所以ABC 是等腰三角形，故选 B。 2. 应用正弦、余弦定理进行边角互化达到判断三角形的形状的目的。 例 2：在ABC 中，若，试判断三角形的形状。CcosBcosbc2BsincCsinb 2222 解析：解析：解法一：由正弦定理=，R 为ABC 的外接圆半径， Csin c Bsin b Asin a R2 将原式化为。CcosBcosCsinBsinR8CsinBsinR8 2222 0CsinBsin ，即。CcosBcosCsinBsin0CBcos ，A=。90CB90 故ABC 为直角三角形。 解法二：将已知等式变形为：，CcosBcosbc2Bcos1cCcos1b 2222 由余弦定理得： ab2 cba ac2 bca bc2 ac2 bca c ab2 cba bcb 222222 2 222 2 2 222 222 ， 即，故ABC 为直角三角形。 2 2 2 222222 22 a a4 bcacba cb （二）易错题剖析 【易错题 1】若向量 a、b 满足关系式，则下列结论中正确的是（ ）|ba|ba| A. 以、为邻边的四边形是矩形ab B. 、中至少有一个零向量或abba C. 、中至少有一个是零向量ab D. 、均为零向量ab 答案：答案：B 解题思路：（1）当、均为非零向量时，由向量加法和向量减法的平行四边形法则ab 可知，与分别是以、为邻边的平行四边形的两条对角线。表ba ba ab|ba|ba| 明这个平行四边形的两条对角线的长相等，所以，以、为邻边的四边形为矩形时，aba ；b （2）当、中有零向量时，条件显然满足。ab 综上所述，故选 B。 用心 爱心 专心 错因分析：误区：错选 A。 思考不严密，只注意到了向量、均不为零向量的情形，事实上，当、中有零向abab 量时显然也满足条件。 由于零向量是特殊向量，具有特殊性，处理向量问题要首先考虑所给向量能否为零向 量。 【易错题 2】 “两个向量共线”是这两个向量方向相反的（ ） A. 充分条件B. 必要条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 答案：答案：B。 解题思路：两个向量与共线，它们可以在同一条直线上，也可以不在同一条直线ab 上，只要它们方向相同或相反即可。因此，两个向量方向相反这两个向量共线；两个向 量共线不能得到这两个向量反向。故选 B。 错因分析：误区：两个向量共线包含两个向量同向和反向两种情况，因此，两个向量 共线不能得到这两个向量反向；两个向量反向，这两个向量并不一定在同一条直线上。因 此错选 D。 造成以上误区的原因是对两个向量共线的概念模糊。 【易错题 3】设点 A（，2） ，B（，3） ，C（，） ，D（，） 。若向11n 21n 21n2 量与共线且同向，则的值为（ ）ABCDn A. 2B. C. D. 122 答案：答案：A 解题思路：由已知条件得，由与共线得，1, nABn, 4CD ABCD04n 2 。当时，=（2，1） ，=（4，2） ，则有，满足与同2n2n ABCDAB2CD ABCD 向，当时，有，此时与反向，2n1, 2AB2, 4CDAB2CDABCD 不符合题意。因此，符合条件的只有。故选 A。2n 错因分析：误区：由已知可得，因为与同向且共线，1, nABn, 4CD ABCD 所以=0，因此错选 C。4n 2 2n 出现错误的原因是对同向与共线的概念模糊。事实上，上述解答中只注意了共线条件， 而忽视了另一个条件：方向相同。 向量共线的充要条件中的正负决定两个向量是同向还是反向，同向；0 ，反向。0 【易错题 4】已知，则的取值范围是（ ）8| AB | 5| AC | | BC | A. B. （3，8）C. D. （3，13）8, 313, 3 答案：答案：C 解题思路：因为向量减法满足三角形法则，作出，8|AB| 用心 爱心 专心 ，。5|AC|ABACBC （1）当ABC 存在，即 A、B、C 三点不共线时，；13|BC|3 （2）当与同向共线时，；ACAB3|BC| 当与反向共线时，。ACAB13|BC| ，故选 C。13, 3|BC| 错因分析：误区：错选 D。 错误原因是对题意的理解有误，题设条件并没有给出 A、B、C 三点不能共线，因此它 们可以共线。当 A、B、C 共线时，ABC 不存在。 题目中两向量 a、b 是任意向量，在解答构思中理应考虑到它们的特殊情形。 【易错题 5】已知，设与的夹角为，要使为锐角，求的取3, 1a , 2b ab 值范围。 解题思路：由为锐角，得0，且，cos1cos 恒大于 0，cos|b|a|ba ，即。0ba0321 解得 3 2 若平行于，则。即，但若平行于，则或，与ab03216ab0 为锐角相矛盾，所以。6 综上，。6 3 2 且 失分警示：误区：为锐角，。0cos 由知，只需，即，故。cos|b|a|ba0ba0321 3 2 本题误以为两非零向量 a 与 b 的夹角为锐角的充要条件是，事实上，两向量的0ba 夹角，当时，有，对于非零向量 a 与 b 仍有，因此, 0001cos0ba 是两非零向量 a 与 b 的夹角为锐角的必要不充分条件。即有如下结论：两非零向量0ba a 与 b 的夹角为锐角的充要条件是且不平行于 b。0baa 【易错题 6】已知点 A（3，）与点 B（，2） ，点 P 在直线 AB 上，且，41|PB|2|PA| 求点 P 的坐标。 解题思路：设点 P 的坐标为（x，y） ， 由于，|PB|2|PA| 所以，当点 P 为有向线段的内分点时，AB2 用心 爱心 专心 此时有 . 0 21 224 y , 3 1 21 ) 1(23 x 点 P 的坐标为（，0） 。 3 1 当点 P 为有向线段的外分点时， AB 2 此时有 . 8 21 224 y , 5 21 123 x 点 P 的坐标为（，8） 。5 综上所述，点 P 的坐标为（，0）或（，8） 。 3 1 5 失分警示：思考不严密，出现漏解现象，点 P 可能是的内分点，也可能是的ABAB 外分点，因此本题必须分类讨论。 【易错题 7】ABC 中，已知，判断ABC 的形0ACAB0ABBC0CACB 状。 解题思路：。Acos|AC|AB|ACAB ，Bcos|AB|BC|Bcos|AB|BC|ABBC 。Ccos|CA|CB|CACB 。0CACB, 0ABBC, 0ACAB ，、B、C 均为锐角。0Acos0Bcos0CcosA ABC 为锐角三角形。 失分警示：误区：，。BC0AB0Bcos|AB|BC| B 为钝角，ABC 为钝角三角形。 上述错误在于将与的夹角看成是ABC 的内角 B，向量与的夹角应为BCABBCAB 。B 【易错题 8】设二次函数，其中，、是ABC 的三边，)ba (cx2x)ba (y 2 abc 且，若二次函数与轴有交点，试确定B 的范围。ab cb x 解题思路：由题设，即00bca 222 用心 爱心 专心 。 ac2 bca Bcos 222 90B00 又，。cb, ab 60B 由知，。90B60 失分警示：误区：由题意得0ba4c4 222 。 90B00 ac2 bca Bcos 222 此解法忽视了题设中所给条件，事实上，是三角形的最大边。B 为三ab cb b 角形的最大角，不小于。60 解题时要注意挖掘题目中的隐含条件，要做到细致入微，不可大意。 【易错题 9】已知在四边形 ABCD 中，且aABbBC cCD dDA ，试确定四边形 ABCD 的形状。addccbba 解题思路：由已知易得，则（）=，0dcbaba dc ，即。 22 dcbacd2dcab2ba 2222 又因为，dcba 2222 dcba 同理可得。 2222 cbda 由可得，即，即， 22 ca|c|a| 22 db |d|b| ，四边形 ABCD 为平行四边形，|DC|AB|BC|AD| 且，又，。cadbbacbba0baba 综上所述，四边形 ABCD 为矩形。 失分警示：误区：由已知可得，又，0dcbaaddccbba ，即。 .cdad ,bcab )bd(c)bd(a 22 22 ca|c|a| 同理，即。 .cdbc ,adab )ac(d)ac(b 22 22 db |d|b| 四边形 ABCD 为平行四边形，cadb 又，即，。cbba0) ca (b0)aa (b0baba 综上，四边形为矩形。 上述解法错在学生不自觉地应用了实数乘法的结合律，而向量的数量积恰恰不满足结 合律，因此学习向量时一定要认真仔细研读教材，抛开思维定式的影响，避免误入思维误 区。 用心 爱心 专心 【模拟试题模拟试题】 一. 选择题： 1. 下列各量中不是向量的是（ ） A. 浮力B. 风速C. 位移D. 密度 2. 下列说法中错误的是（ ） A. 零向量是没有方向的B. 零向量的长度是 0 C. 零向量与任一向量平行D. 零向量的方向是任意的 3. 设 O 是正的中心，则向量是（ ）ABCAOOBOC ， A. 有相同起点的向量B. 平行向量 C. 模相等的向量D. 相等向量 4. 命题“若” （ ）abbcac / / / /，则 A. 总成立B. 当时成立a 0 C. 当时成立D. 当时成立b 0c 0 5. 已知正方形 ABCD 的边长为 1，等于（ ）ABaBCbab ，则| A. 0B. 2C. D. 22 2 6. 在平行四边形 ABCD 中，等于（ ）BCDCBA A. B. C. D. BC DA AB AC 7. 下列等式中一定能成立的是（ ） A. B. AB ACBC AB ACBC C. D. AB ACCB AB ACCB 8. 在平行四边形 ABCD 中，若，则四边形 ABCD 必是（ ）| |BCBABCAB A. 菱形B. 矩形C. 正方形D. 无法确定 二. 填空题： 9. 已知向量满足，且，则_ab 、abb |b 1| |aab 10. 下列各命题的条件是结论的什么条件（填：充分不必要条件、必要不充分条件、充 要条件、既不充分也不充要必条件） （1）是的_ab ab / / （2）_| |/ /abab 是的 用心 爱心 专心 （3）_| |abab 是的 11. 如图，四边形 ABCD 为正方形，为等腰直角三角形。CE D C A B E （1）图中与共线的向量有_AB （2）图中与相等的向量有_AB （3）图中与模相等的向量有_AB （4）图中与相等吗？_EC BD （5）图中与相等吗？_AB BA 12. 中，则等于_ABCBCaCAb ，AB 三. 解答题： 13. 如图，已知四边形 ABCD 是矩形，设点集，求集合MABCD ， ， ， 。 （用列举法表示）TPQ PQMPQ |、，且 、 不重合 A D B C 14. 化简。OPQPPSMPMS 15. 有一两岸平行的河流，水流速度为 1，小船的速度为，为使小船从一岸到达另一2 岸时所走的路程最短，小船应朝什么方向行驶？ 用心 爱心 专心 试题答案试题答案 1. D 提示：密度只有大小没有方向。 2. A3. C 4. C 提示：由于零向量与任何向量都平行，所以当两非零向量不平行而时，ac 、b 0 有，但这时命题不成立。abbc / / /， 5. C 提示：| | |abABBCAC 2 6. A 提示：DCBA BCDCBABCBABABCBC()0 或者根据平行四边形 ABCD 中，BCBABDBDDCBC ，而 BCDCBABC 7. D 8. B 提示