高中数学：1.3.2《杨辉三角》素材2（新人教B版选修23）

杨辉三角-求展开式系数的六种常见类型求展开式中的系数是高考常考题型之一,本文以高考题为例，对二项式定理试题中求展开式系数的问题加以归类与解析，供读者参考。一 、型例1的展开式中项的系数是（ ）（A）840 （B）840 （C）210 （D）210解析：在通项公式中令=4，即得的展开式中项的系数为=840,故选A。 例2展开式中的系数为 。解析：通项公式 ，由题意得，则，故所求的系数为。评注：常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数，由待定系数法确定的值。二 、型例3的展开式中整理后的常数项等于 .解析；的通项公式为,令，则,这时得的展开式中的常数项为=32, 的通项公式为,令，则,这时得的展开式中的常数项为=70，故的展开式中常数项等于。例4在的展开式中，含的项的系数是（ ）(A) (B) 5 (C) (D) 10解析：中的系数, 中的系数为,故的展开式中的系数为,故选D 。评注：求型如的展开式中某一项的系数，可分别展开两个二项式，由多项式加减法求得所求项的系数。三 、型例5的展开式中项的系数是 。解析：的展开式中、的系数分别为和，故的展开式中项的系数为+=1008。例6的展开式中的系数是（ ） （A ） （B ） （C ） （D） 略解：的展开式中、的系数分别为和,故 展开式中的系数为,故选B。评注：求型如的展开式中某一项的系数，可分别展开两个二项式，由多项式乘法求得所求项的系数。四 、型例7的展开式中整理后的常数项为 .解法一：=，通项公式, 的通项公式为,令，则，可得或或。当时，得展开式中项为；当时,，得展开式中项为；当时，得展开式中项为。综上，的展开式中整理后的常数项为。解法二：=，对于二项式中，要得到常数项需，即。所以，常数项为。解法三：是5个三项式相乘。常数项的产生有三种情况：在5个相乘的三项式中，从其中一个取，从另外4个三项式中选一个取，从剩余的3个三项式中取常数项相乘，可得；从其中两个取，从另外3个三项式中选两个取，从剩余的1个三项式中取常数项相乘，可得；从5个相乘的三项式中取常数项相乘，可得=。综上，的展开式中整理后的常数项为。评注：解法一、解法二的共同特点是：利用转化思想，把三项式转化为二项式来解决。解法三是利用二项式定理的推导方法来解决问题，本质上是利用加法原理和乘法原理，这种方法可以直接求展开式中的某特定项。五 、 型例8在的展开式中，项的系数是。（用数字作答）解析：由题意得项的系数为。例9在(1x)5(1x)6(1x)7(1x)8的展开式中，含x3的项的系数是( )(A) 74 (B) 121 (C) 74 (D) 121解析：(1x)5(1x)6(1x)7(1x)8=中的系数为，中的系数为,126+5= 121,故选D。评注：例8的解法是先求出各展开式中项的系数，然后再相加；例9则从整体出发，把原式看作首相为(1x)，公比为(1x)的等比数列的前4项和，用等比数列求和公式减少项数，简化了运算。例8和例9的解答方法是求的展开式中某特定项系数的两种常规方法。六 、求展开式中若干项系数的和或差例10若，则。(用数字作答)解析：在中，令，则，令，则故=2003+。例11，则的值为（ ）(A) 1 (B) 1 (C) 0 (D) 2解析：在中，令，可得，令，可得所以，=1,故选A。评注：求展开式中若干项系数的和或差常采用“赋值法”。赋值法是给代数式(或方程或函数表达式)中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的，它普遍适用于恒等式，是一种重