高二数学平面的性质应用举例与异面直线所成角及距离人教

高二数学平面的性质应用举例与异面直线所成角及距离平面的性质应用举例一、 学习目标：运用平面性质证明一些几何问题二. 重点、难点： 重点：理解平面性质并会用平面性质证题 难点：应用三个公理及推论证明共面、共线、共点问题 平面性质回顾： 公理一：（图示） 公理二：（图示） 公理三：（图示） 公理三推论： 【典型例题】 例1. 已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD各边AB、AD、CB、CD上的点，且直线EF和HG交于点P，求证：点B、D、P在同一条直线上。 证明： 点B、D、P在同一条直线上。 注：关键是先认清BD是两平面ABD和CBD的交线，然后再证明P的性质是同时在两个平面内，最后由两平面的交线的唯一性，得证。 例2. 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB中点，F为A1A的中点，求证：（1）E、C、D1、F四点共面；（2）CE、D1F、DA三线共点。 证明：（1）F、E是A1A、AB中点 FEA1BD1C 于是F、E、D1、C四点共面 （2）由（1）知，ECD1F为平面图形， 知FD1与EC共面，但不平行 FD1与CE交于点P， 即CE、D1F、DA三线共交于P 例3. D三点共线。 证明：ABCD AB、CD确定一个平面 B、E、D三点共线。 例4. 证明：两两相交而不通过同一点的四条直线必在同一平面内。 解：设a、b、c、d，如图： a与b确定一个平面 a、b、c、d必在同一平面内。 例5. 。 证明：（反证） 假设A、B、C三点共线 于是a与b共面，矛盾 A、B、C三点不共线【模拟试题】 1. 共点的四条直线最多能确定几个平面？ 2. 空间四点中，若任意三点不共线，那么经过三点的平面有几个？ 3. 已知平面，设过A、B、C三点的平面为，则是（ ） A. 直线ACB. 直线BC C. 直线CRD. 以上全错 4. 已知ABC三边AB、BC、CA分别交平面于P、Q、R，求证：P、Q、R共线。 5. 如果ABC和A1B1C1不在同一平面内，且AA1、BB1、CC1两两相交，求证：三直线AA1、BB1、CC1交于一点。参考答案 1. 6个 2. 4个 3. C 4. 证： 且 同理 P、Q、R共线。 5. 证明：AA1与BB1相交 设 又 且 于是。异面直线所成角及距离重点、难点：1. 异面直线所成角定义。 异面直线、，过空间一点O作、，直线，所成的锐角（或直角）叫做异面直线和所成的角。2. 异面直线所成角的计算。（1）平移其中一条或两条使其相交。（2）连接端点，使角在一个三角形中。（3）计算三条边长，用余弦定理计算余弦值。（4）若余弦值为负，则取其相反数。3. 公垂线。 与两条异面直线均垂直、相交的直线叫两条异面直线的公垂线，两条异面直线的公垂线有且只有一条。4. 两条直线垂直。 （1）相交垂直 （2）异面垂直5. 6. 两条异面直线的公垂线段的长度，叫两条异面直线的距离。【典型例题】异面直线所成的角与距离：例1 正方体棱长为，对角线长为。 异面直线与所成的角。 异面直线与的距离。 异面直线与所成的角。 异面直线与所成的角。 M、N为、中点，MN与AC所成角。 H为BC中点，与所成角。解： 与所成锐角即为两条异面直线所成的角。 AB为两条异面直线的公垂线 距离为 为等边三角形 成角为 延长DC至E使CE=CD 中，中，DE=，AD= AE，由余弦定理 MN/BD 所成角为 F为AD中点，中， 所成角为例2 四面体ABCD，棱长均为（正四面体） 求异面直线AD、BC的距离。 求AC、BD所成的角。 E、F为BC、AD中点，求AE、CF所成角。解： E、F为BC、AD中点，连AE、DE、BF、CF中， F为等腰底边中点 EFAD同上EFBC E、F为AD、BC公垂线 H为CD中点EH/BD EH= FH/AC 为两条异面直线AC、BD所成角 K为DE中点，连FK，FK/AE CF与FK所夹锐角为异面直线AE、CF所成角 例3 正方体中，E、F为AB、中点，求、所成的角。证：H在上， M为中点 HF与所成角等于异面直线、所成的角 设棱长为 中， 、所成角为例4 P为所在平面外一点，E为PA中点，且，（）。求异面直线BE、PC的距离。解：F为PC中点连EFEF为PC、BE公垂线 BE、PC距离为【模拟试题】（答题时间：60分钟）1. ，、与、均垂直，则、的关系为（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 以上均可能2. 已知异面直线、成角，P为空间一点，则过P且与、所成角均为的直线有（ ） A. 2条 B. 3条 C. 4条 D. 无数条3. 空间直线满足（1）与异面；（2）与成角；（3）与距离为10cm；则这样的有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 4条 D. 无数条4. 、为异面直线，为、的公垂线，与、的关系为（ ）A. 均不相交B. 与其中一条相交C. 至少与一条相交D. 至多