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文档简介
高二数学期末复习 立体几何 排列 组合 二项式定理教学重、难点:立体几何、排列、组合、二项式定理【典型例题】例1 如下图所示,在直二面角中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=EB,F为CE上的点,且BF平面ACE。(1)求证:AE平面BCE;(2)求二面角的大小;(3)求点D到平面ACE的距离。解:(1) BF平面ACE BFAE 二面角为直二面角,且 平面ABE CBAE AE平面BCE(2)连结BD交AC于G,连结FG。 正方形ABCD边长为2 BGAC,BG= BF平面ACE由三垂线定理的逆定理得FGAC 是二面角的平面角由(1)AE平面BCE AEEB,又 AE=EB 在等腰直腰三角形AEB中,BE=又 直角中, 直角中, 二面角等于(3)过E作EOAB交AB于O,OE=1 二面角为直二面角 EO平面ABCD设D到平面ACE的距离为 平面BCE AEEC 点D到平面ACE的距离为例2 如图所示,矩形ABCD中,PD平面ABCD,若PB=2,PB与平面PCD所成的角为,PB与平面ABD成角。(1)求CD的长;(2)求PB与CD所成的角;(3)求二面角的余弦值解:(1) PD平面ABCD PDBC又 BCDC BC平面PDC 为PB与平面PCD所成的角,即同理,即为PB与平面ABD所成的角 在中, PB=2 BC=PC=在中, PD=1,BD=在中, CD=1(2) AB/CD PB与CD所成的角即为PB与AB所成的角,即为PB与AB所成的角 平面ABCD, 在中,AB=CD=1,PB=2 (3)由点C向BD作垂线,垂足为E,由点E向PB作垂线,垂足为F,连结CF 平面ABCD PDCE 又 CEBD CE平面PBDCF为平面PBD的斜线,由于EFPB PBCF 为二面角的平面角在中,DC=1,BD= 在中, =1 二面角的余弦值为例3 如图所示,正四棱锥PABCD的底面边长和各侧棱长均为13,M、N分别是PA、BD上的点,且。(1)求证:直线MN/平面PBC;(2)求直线MN与底面ABCD所成角的正弦值。解:(1)证明:连结AN并延长交BC于E,再连结PE BE/AD 又 PE/MN 又 平面PBC MN平面PBC 直线MN/平面PBC(2)设O为底面正方形ABCD的中心,连结PO、OE,则PO平面ABCD又直线MN/PE,则为直线MN与平面ABCD所成的角由及,得在中,PB=13,由余弦定理,得在中,则例4 由0,1,2,3,4,5六个数字可以组成多少个满足下列条件之一的无重复数字的四位数?(1)是5的倍数;(2)比1234大。解析:(1)末位数只能是0或5中的一个,当末位是0时满足条件的四位数有个,当末位是5时,首位不能为0,满足条件的四位数共有个, 共有是5的倍数的四位数:个。(2)(采用逐位分析法)当首位是2、3、4、5中的任一个时的四位数都符合条件,有个;当首位为1时百位为3、4、5中的任一个的四位数都符合,有个;当首位为1,百位为2时十位为4、5中任一个都符合,有个;当首位为1,百位为2,十位为3时,末位只能为5符合,有1个。 共有240+36+6+1=283个。例5 某人手中有5张扑克牌,其中2张为不同花色的2,3张为不同花色的A,有5次出牌机会,每次只能出一种点数的牌但张数不限,此人有多少种不同的出牌方法?解析:出牌的方法可分为以下几类:(1)5张牌全部分开出,有种方法。(2)2张2一起出,3张A一起出,有种方法。(3)2张2一起出,3张A分开出有种方法。(4)2张2一起出,3张A分两次出,有种方法。(5)2张2分开出,3张A一起出有种方法。(6)2张2分开出,3张A分两次出,有种方法。因此共有不同出牌方法(种)例6 已知,(1)求;(2)求。解析:(1)令,则(2)令,则得 例7(1)求的展开式中的常数项;(2)已知的展开式中的系数为,求常数的值;(3)求的展开式中含的项。解析:(1)设第项为常数项,则令,即第7项为常数项, 常数项为(2)本题只与某一项有关,用通项公式,设第项是含的项,则有得,故,即 (3)方法一: 由展开式,展开式中含的项是展开式中的一次项与展开式中的常数项之积,展开式中的常数项与展开式中的一次项之积的代数和。 含的项为方法二:展开式中的一次项是5个括号中有1个括号内取,其余4个括号内取常数项2相乘得到的,即一. 选择:1. 长方体一个顶点上三条棱的长分别是3,4,5,且它的8个顶点都在同一球面上,这个球的表面积( ) A. B. C. D. 2. 已知在中,AB=9,AC=15,平面ABC外一点P到A、B、C的距离都是14,那么P点到面ABC的距离是( ) A. 13 B. 11 C. 9 D. 73. 已知球的表面积为,球面上有A、B、C三点,如果AB=AC=2,BC=,则球心到面ABC的距离为( )A. 1 B. C. D. 2 4. 已知二面角的大小为,若面内一点A到面的距离为,则A在上的射影到的距离为( ) A. B. C. D. 25. 某银行储蓄卡的密码是一个4位数码,某人采用千位、百位上的数字之积作为十位、个位上的数字(如2816)的方法设计密码,当积为一位数时,十位上数字选0,千位、百位上都能取0,这样设计出来的密码共有( ) A. 90个 B. 99个 C. 100个 D. 112个6. 将4名教师分配到3所中学任教,每所中学至少1名教师,则不同分配方案有( ) A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种7. 在的展开式中的系数是( ) A. B. 14 C. D. 288. 若展开式中含的项的系数等于含的项的系数的8倍,则等于( )A. 5 B. 7 C. 9 D. 11二. 解答:1. 椭圆的长轴和短轴把椭圆分成4块,现在用5种不同的颜料给4块涂色,要求共边两块颜色互异,每块只涂一色,问一共有多少种不同的涂色方法。2. 在四面体中,PC平面ABC,AB=BC=CA=PC,求二面角BAPC的大小。3. 若,问的展开式中最大的项为第几项?并求出这一项的值。参考答案一.1. C 2. D 3. A 4. C 5. C 6. C 7. B 8. A二.1. 解析:方法一:如图所示,分别用A、B、C、D记这四块区域,A与C可同色,也可不同色,从而按照A、C涂色的异同将问题先分为两类,即A、C涂同色和A、C涂异色,再对每一类进行分步。 给A、C涂同种颜色共有种方法,再给B涂色有4种方法,最后给D涂色也有4种方法,由分步计数原理,此时共有种方法。 给A、C涂不同颜色共有种涂法,再给B涂色有3种方法,最后给D涂色也有3种方法,此时共有种涂法。故由分类计数原理,知共有=260种涂法方法二:总体实施分步完成,可分三个大步骤。第一步给A涂色;第二步给B涂色;第三步给C、D涂色。 给A涂色有5种方法; 给B涂色有4种方法; 当C与A异色时,C有3种方法,D有3种方法,共9种方法;当C与A同色时,C有1种方法(与A同色),D有4种方法。由分步计数原理知共有种涂色方法。2. 解析:方法一:如图所示,过点B作BEAC于E,过E作EFPA于F,连结BF PC平面ABC BE平面PAC BFPA 就是二面角的平面角设,则AB=BC=CA
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