高二数学椭圆的定义、标准方程及几何性质知识精讲文新人教实验B选修11

1 高二数学高二数学 椭圆的定义、标准方程及几何性质椭圆的定义、标准方程及几何性质 文文 新新人教实验人教实验 B B 版版 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 椭圆的定义、标准方程及几何性质 二. 本周学习目标 掌握椭圆的定义，标准方程，能根据条件利用待定系数法求椭圆的方程，掌握椭圆的 几何性质。了解椭圆的参数方程，能根据方程讨论曲线的性质，了解椭圆的一些实际应用， 掌握直线与椭圆的位置关系的判断方法，能够正确熟练地解决直线和椭圆的位置关系的一 些问题。 三. 知识点精析 （一）椭圆的定义 1、第一定义：平面内与两个定点为 F1，F2的距离的和等于常数（大于 21F F）的点的 轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。特别地，当常 数等于 21F F时，轨迹是线段 F1F2，当常数小于 21F F时，无轨迹。 2、第二定义：平面内到定点 F 的距离和到定直线 l 的距离之比等于常数 e(0e1)的点 的轨迹，叫做椭圆，定点 F 叫椭圆的焦点，定直线 l 叫做椭圆的准线。e 叫椭圆的离心率。 椭圆有两个焦点，两条准线。该定义中的焦点和准线具有“对应性” ，即左焦点对应左准线， 右焦点对应右准线。 （二）椭圆的标准方程及几何性质 1、标准方程是指中心在原点，坐标轴为对称轴的标准位置的椭圆方程。 中心在原点，焦点在x轴上中心在原点，焦点在y轴上 标准方程)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x )0( 1 2 2 2 2 ba b x a y 参数方程 ( sin cos by ax 为参数) ( sin cos ay bx 为参数) 图 形 顶 点 ), 0(), 0( ) 0 , (), 0 , ( 21 21 bBbB aAaA ), 0(), 0( ) 0 , (), 0 , ( 21 21 aBaB bAbA 对称轴x轴，y轴；短轴为b2，长轴为a2 2 焦 点) 0 , (), 0 , ( 21 cFcF ), 0(), 0( 21 cFcF 焦 距)0(2| 21 ccFF 222 bac 离心率) 10(e a c e（离心率越大，椭圆越扁） 准 线 c a x 2 c a y 2 通 径ep a b 2 2 2 （p为焦准距） 焦半径 02 01 | | exaPF exaPF 02 01 | | eyaPF eyaPF 焦点弦 )(2| BA xxeaAB 仅与它的中点的横坐标有关 )(2| BA yyeaAB 仅与它的中点的纵坐标有关 焦准距 c b c c a p 22 说明：方程中的两个参数 a 与 b，确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定型条件，焦点 F 1，F2的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型，常数 a，b，c 都大于零， 其中 a 最大且 a 2 =b 2 +c 2 2、椭圆焦点三角形：设 P 为椭圆1 2 2 2 2 b y a x 上任意一点，F1，F2为焦点且 F1PF2，则PF1F2为焦点三角形，Sb 2 tan 2 。 3、方程 22 AxByC表示椭圆的充要条件是：ABC0，且 A，B，C 同号， AB。AB 时，焦点在 y 轴上，AB 时，焦点在 x 轴上。 4、弦长公式：x1，x2分别为弦 PQ 的横坐标，弦 PQ 所在直线方程为 y=kx+b，代入椭 圆方程整理得 Ax2+Bx+C=0，则PQ A ACB kxxk 2 11 2 2 21 2 ，若 y1，y2分别为弦 PQ 的纵坐标，则PQ 21 2 1 1yy k ， 5、直线与椭圆的位置关系：设直线 l 的方程为：Ax+By+C=0，椭圆 1 2 2 2 2 b y a x （ab0） ，组成方程组，消去 y(或 x)利用判别式的符号来确定。 3 若0则直线与椭圆有两个交点， 若=0则直线与椭圆有一个交点， 若1， （2）点 P（x0，y0）在椭圆上 2 2 0 2 2 0 b y a x 1， （3）点 P（x0，y0）在椭 圆内 2 2 0 2 2 0 b y a x 1 9、椭圆1 2 2 2 2 b y a x （ab0）按a（x0，y0）平移得 1 2 2 0 2 2 0 b yy a xx （它的中心、对称轴、焦点、准线方程都按a（x0，y0）作 了相应的平移。 ） 考点指要 在历年的高考数学试题中，有关圆锥曲线的试题所占的比重约占试卷的 15%左右，且 题型，数量，难度保持相对稳定：选择题和填空题共 2 道题，解答题 1 道，选择题和填空 题主要考查圆锥曲线的标准方程，几何性质等；解答题往往是以椭圆，双曲线或抛物线为 载体的有一定难度的综合题，问题涉及函数，方程，不等式，三角函数，平面向量等诸多 方面的知识，并蕴含着数学结合，等价转化，分类讨论等数学思想方法，对考生的数学学 科能力及思维能力的考查要求较高。近几年解答题注意了控制运算量，增加了思维容量， 即逻辑思维，数学思维的考查容量有所增加，运算能力的考查略有下降。 主要考查：圆锥曲线的概念和性质；直线与圆锥曲线的位置关系；求曲线的方程；与 圆锥曲线有关的定值问题，最值问题，对称问题，范围问题等。曲线的应用问题，探索问 题以及圆锥曲线与其它数学内容的交汇问题也将是高考命题的热点。 【典型例题典型例题】 4 例 1. 求下列椭圆的标准方程 （1）椭圆的一个顶点为2,0A，其长轴长是短轴长的 2 倍。 分析：分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置 解：解：当2,0A为长轴端点时， ， ，椭圆的标准方程为： 22 1 41 xy ； 当2,0A为短轴端点时， ， ，椭圆的标准方程为： 22 1 416 xy ； 说明：说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭 圆的横竖的，因而要考虑两种情况 选题角度：选题角度：根据椭圆上的点和长短轴之间的关系求标准方程，考查椭圆的标准方程和 思考问题的全面性； （2）已知中心在原点，焦点在 轴上的椭圆与直线 交于 、 两点， 为 中点， 的斜率为 0.25，椭圆的短轴长为 2。 解：解：由题意，设椭圆方程为 2 2 2 1 x y a 由 ，得 ， 2 2 21 M a a1 2 xx x ， ， ， ， 为所求 说明：说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经 常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题 选题角度：选题角度：根据椭圆的几何特征求椭圆的方程 例 2. 已知点 P(3，4)是椭圆1 2 2 2 2 b y a x （ab0）上的一点， 两个焦点为 F1，F2， 若 PF1PF2，试求: 5 （1）椭圆的方程 （2）PF1F2的面积 解析：解析：（1）解法一：解法一：令 0 , 1 cF ， 0 , 2 cF，则 222 cab。 21 PFPF ，1 21 PFPF kk， 即 1 3 4 3 4 cc ，解得5c， 椭圆方程为1 25 2 2 2 2 a y a x ， 点4 , 3P在椭圆上，1 25 169 22 aa ， 解得45 2 a或5 2 a 又ca ，5 2 a舍去， 故所求椭圆方程为1 2045 22 yx 。 解法二：解法二： 21 PFPF ， 21F PF为直角三角形， cFFOP 21 2 1 又543 22 OP，5c， 椭圆方程为1 25 2 2 2 2 a y a x （以下同解法一） （2）解法一：解法一： 由焦半径公式： 543 53 5 53 1 exaPF， 523 53 5 53 2 exaPF， 205254 2 1 2 1 21 21 PFPFS FPF 。 解法二：解法二：P 点纵坐标的值即为 21F F边上的高， 20410 2 1 4 2 1 21 21 FFS FPF 。 6 解法三：由椭圆定义知： 56 21 PFPF 又 2 21 2 2 2 1 FFPFPF 2 得802 21 PFPF， 20 2 1 21 21 PFPFS FPF 反思：反思：要确定椭圆的标准方程，即确定a、b的值，由于 222 cba，故只需求出 a、b、c中的任意两个量即可。本例中利用 21 PFPF 的条件或使用斜率或借助平面几 何知识均可求出5c。对于求 21F PF的面积，解法一使用了焦半径公式，解法二利用了 第一定义和勾股定理，以上解法都说明在处理解析几何问题时，既可以用代数的方法求值 运算，又可以利用某些几何性质。 例 3. 椭圆 C：1 2 2 2 2 b y a x （ab0）的两个焦点为 F1，F2，点 P 在椭圆 C 上，且 PF1PF2，PF1= 4 3 ，PF2= 14 3 （1）求椭圆 C 的方程。 （2）若直线 l 过圆 x2+y2+4x2y=0 的圆心 M，交椭圆 C 于 A，B 两点，且 A，B 关 于点 M 对称，求直线 l 的方程. 解析：解法一解析：解法一（1）因为点 P 在椭圆 C 上，所以62 21 PFPFa，3a。 在 21F PFRt中，52 2 1 2 221 PFPFFF，故椭圆的半焦距5c，从而 4 222 cab。 所以椭圆 C 的方程为1 49 22 yx 。 （2）设 A，B 的坐标分别为 11, y x， 22, y x。 已知圆的方程为512 22 yx，所以圆心 M 的坐标为1 , 2，从而可设直线 l的方程为12 xky，代入椭圆 C 的方程得 0273636183694 2222 kkxkkxk。 因为 A，B 关于点 M 对称，所以2 94 918 2 2 2 21 k kkxx ，解得 9 8 k，所以直 7 线l的方程为12 9 8 xy，即02598 yx。 解法二：解法二：（1）同解法一。 （2）已知圆的方程为512 22 yx，所以圆心 M 的坐标为1 , 2，设 A，B 的坐标分别为 11, y x， 22, y x。由题意 21 xx 且 1 49 2 1 2 1 yx ， 1 49 2 2 2 2 yx 。 由得 0 49 21212121 yyyyxxxx 。 因为 A，B 关于点 M 对称， 所以4 21 xx，2 21 yy。代入 得 9 8 21 21 xx yy ， 即直线l的斜率为 9 8 ，所以直线l的方程为 12 9 8 xy， 即02598 yx。 反思：反思： （1）利用椭圆的定义求a以及已知的条件求c从而求出椭圆方程。 （2）解法一：利用解析几何的基本思想用代数方法解决几何问题，先求出圆心坐 标从而求出k的值。 解法二：利用点差法求出 12 12 xx yy 的值，从而求出直线l的方程。 【模拟试题模拟试题】 （答题时间：45 分钟） 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 1. 若方程1 m16 y m25 x 22 表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（ ） A. （16，25） B. （ 2 9 ，25）C. （16， 2 9 ）D. （ 2 9 ，） 2. 已知椭圆1 9 y 25 x 22 上的点 M 到该椭圆一个焦点 F 的距离为 2，N 是 MF 的中点， O 为椭圆中心，那么线段 ON 的长是（ ） 8 A. 2 B. 4C. 8D. 3. 设 M 是椭圆1 16 y 25 x 22 上一点，为焦点， ，则（ ） A. 3 316 B. 16(23)C. D. 16 4. 已知为椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，并且，则该椭圆的离心率应为（ ） A. B. C. D. 5. 以椭圆右焦点为圆心作一个圆，使此圆过椭圆中心，并交椭圆于点 M、N，若直线是 圆的切线，则椭圆的离心率为（ ） A. 13 B. 2 13 C. 2 13 D. 2 3 6. 已知是椭圆0ba的两个焦点，过的弦与组成等腰，其中，则该椭圆的离心率的 值为（ ） y A F1 O F2 x B A. 2B. 36 C. 3D. 6 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 7. 已知，且三边|AC|，|AB|，|BC|成等差数列，则顶点 C 的轨迹方程是_。 8. 已知 P 是椭圆上一点，为焦点，且，则的面积是_。 9. 若椭圆的焦距为 4，则_。 10. 椭圆的两个焦点为，短轴的一个端点为 B，则的外接圆的方程为_。 三、解答题（本大题共 4 题，共 50 分） 11. 过椭圆1 34 22 yx 的左焦点F作直线l交椭圆于P、Q， 2 F为右焦点。 求： 22 QFPF 的最值 12. 已知椭圆的一个焦点为，对应的准线方程为，且离心率满足，成等比数列。 （1）求椭圆的方程。 （2）试问是否存在直线，使与椭圆交于不同的两点 M、N，且线段 MN 恰被直线平分？ 若存在，求出的倾角的取值范围，若不存在，请说明理由。 13. 求证：（）上任一点与短轴两端点的连线所在直线在轴上的截距之积为定值 14. 能否在椭圆上位于轴左侧的部分找到一点 M，使得点 M 到左准线的距离为点 M 到 9 两焦点距离的等比中项，若找到的话，请求出 M 的坐标，若找不到，请说出理由。 【试题答案试题答案】 1. B 2. B 3. C 4. B 提示： 故 5. A 提示：中 6. B 提示：设 则 的周长为 由 7. 解：设 8. 解：依已知，得 10 1632 2 1 |PF|PF| 2 1 S 32|PF|PF| 6|PF|PF|210 |