高二数学椭圆及其标准方程例题解析人教

高二数学椭圆及其标准方程例题解析一. 本周教学内容：椭圆及其标准方程二. 本周教学重、难点：1. 重点：椭圆的定义和标准方程。2. 难点：椭圆的定义和标准方程的联系，标准方程的推导过程。 例1 求适合下列条件的标准方程（1）两个焦点坐标分别是（，0），（3，0）椭圆经过点（5，0）（2）椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，求椭圆的标准方程。（3）已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且椭圆经过点，求椭圆的方程。解：（1） 椭圆的焦点在轴上 设它的标准方程为（） ， ， 所求椭圆的方程为（2）由题意：， 又焦点在轴或轴上 或（3） 椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上 可设椭圆的方程为 椭圆过 方程为例2 方程表示焦点在轴上的椭圆，求实数的取值范围。 解： 例3 方程表示何种曲线？解：（1）时，是平行于轴的两条平行直线（2）时，方程，表示焦点在轴上的椭圆。（3）时，表示圆。（4）时，表示焦点在轴上的椭圆（5）时，表示平行于轴的两条平行直线例4 为两个顶点坐标分别是B（0，6）和C（0，），另两边AB、AC的斜率的乘积是，求顶点A的轨迹方程。解：设顶点A的坐标为（） 由题意得 顶点A的轨迹方程为（）例5 已知椭圆（），短轴的一个端点与两焦点连线构成一个正三角形且焦点到椭圆上的点的最短距离为，求此椭圆的方程。解：设P为椭圆上任一点，两个焦点为，其中短轴的一个端点为B（） 为正三角形 焦点到椭圆上的点的最短距离为 把代入得， 例6 焦点分别为（0，）和（0，）的椭圆截直线所得椭圆的弦的中点的横坐标为，求此椭圆方程。解：设 且（1） （2）由（1）（2）：， 例7 P是椭圆上的一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，连结、（1）的最小值是多少？（2）当为钝角时，点P的横坐标取值范围是什么？解：（1）（2） 例8 已知椭圆的焦点是，P为椭圆上一点，且是和的等差中项。（1）求椭圆的方程（2）若点P在第三象限，且，求解：（1）由题设 又 （2）设，则由正弦定理得： （等比定理） （答题时间：60分钟）一. 选择：1. 椭圆的焦点坐标是（ ） A.（） B.（） C.（） D.（）2. 方程表示椭圆，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 3. 已知椭圆上一动点到两定点、的距离之和为20，则此椭圆的方程为（ ）A. B. C. 或D. 1或4. 设P是椭圆上一点，P到两焦点、的距离之差为2，则是（ ）A. 锐角三角形 B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形5. 若的两个顶点坐标为A（）、B（4，0），的周长为18，则顶点C的轨迹方程为（ ）A. B. C. D. 6. 已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向轴作垂线段，则线段中点M的轨迹是（ ）A. 圆B. 椭圆C. 可能是圆也可能是椭圆D. 以上都有可能7. 若圆上每个点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的，则所得曲线的方程是（ ）A. B. C. D. 8. 已知A（0，）、B（0，1）两点，的周长为6，则的顶点C的轨迹方程是（ ） A. （）B. （）C. （）D. （）二. 填空：1. 已知动圆C和定圆C1：内切而和定圆：外切，设C（），则 。2. 已知椭圆上一点P与椭圆两焦点、连线的夹角为直线，则= 。3. 若长度为8的线段AB的两个端点A、B分别在轴、轴上滑动，点M是AB的中点，则点M的轨迹方程是 。4. 点P是椭圆上一点，以点P以及焦点、为顶点的三角形的面积等于4，则P点的坐标是 。三. 解答题：1. 的两个顶点A、B的坐标分别是（）（5，0），边AC、BC所在直线的斜率之积为，求顶点C的轨迹。2. 如下图，已知椭圆（其中），点P为其上一点，、为焦点，的外角平分线为点，关于的对称点为Q，交于点R。（1）当P点在椭圆上运动时，求R的轨迹方程；（2）设点R形成的曲线为C，直线：与曲线C相交于A、B两点，的面积为S，求S取得最大值时的值。3. 椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，椭圆短轴的一个顶点B与两个焦点、组成的三角形的周长是，且，求椭圆的方程。参考答案http:/www.DearEDU.com一.1. C 2. D 3. D 4. B 5. D 6. B 7. C 8. B二.1. 225 2. 48 3. 4. 三.1. 解：设顶点C的坐标为（），则， 即（）为所求轨迹方程 顶点C的轨迹是椭圆（不包括长轴端点）2.（1）解法一：连结PQ 、Q关于对称 ，又为的外角平分线，故点、P、Q在同一直线上设R（），Q（），（，0），（）则， ， 故R的轨迹方程为（）解法二：同解法一得、 P、Q共线 连结OR ， 即