高一数学立体几何基础题六

高一数学立体几何基础题题库六1255.已知：直线a和直线b是异面直线，直线ca，直线b与c不相交，求证：b、c是异面直线.证：因为b,c不相交，b、c的位置关系有bc或b、c异面两种可能.假设bc, ca, ab，这与已知a,b是异面直线矛盾.所以b与c不能平行，又b、c不相交所以b,c是异面直线.256.分别和两条异面直线AB、CD同时相交的两条直线AC、BD一定是异面直线，为什么?证明：假设AC、BD不异面，则它们都在某个平面内，这时A、B、C、D四点都在上，由公理1知A、B、C、D，这与已知AB与CD异面矛盾，所以AC、BD一定是异面直线.257. 如图，ABCDA1B1C1D1是正方体，B1E1D1F1，则BE1与DF1所成角的余弦值是( )A. B. C. D. 解析：过A点在平面ABB1A1内作AF，使A1FD1F1，则ADF1F是平行四边形，FADF1，再过E1在平面ABB1A1内作E1EFA，则BE1E即是BE1与DF1所成的角，由已知BE1DF1，ABCDA1B1C1D1是正方体， E1EA1B1，又DF1AFE1E，DF1BE1. E1EA1B1，EBA1B1在BE1E中，cosBE1E. 应选A.258. 在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是( )A. B. C.D.解析：由图所示，AM与CN是异面直线，过N作平行于AM的平行线NP，交AB于P，由定义可知PNC就是AM与CN所成的角.因PBC，PBN，CBN皆为直角三角形，且BP，BN，BC1，故PN2()2+()2，CN2()2+12，PC2()2+12，在PCN中cosPNC，所以cosPNC，因此应选D.259. 已知异面直线a与b所成的角为50，P为空间一定点，则过点P且与a、b所成的角都是30的直线有且仅有( )A.1条 B.2条 C.3条 D.4条解析： 过P点分别作直线aa,bb,则a与b的夹角为50，由异面直线所成的角的定义可知，过P点与a,b成30角的条数，就是所求的条数.画图可知，过P点与a、b成30角的直线只有两条. 应选B.260. .若a、b为异面直线，P为空间一点，过P且与a、b所成角均为的直线有( )A.二条B.二条或三条 C.二条或四条D.二条、三条或四条解析：D261. 已知空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是边BC、DC的三等分点.求证：对角线AC、BD是异面直线，EF和HG必交于一点，且交点在AC上.解析：提示：用反证法，或者用判定定理.提示：先证EHFG，EHFG，设FEGH0又 0GH.GH平面ADC.O平面ADC.同理O平面ABC.O在平面ADC和平面ABC的交线AC上.262.如果直线a垂直于直线b，那么直线a与平行于直线b的任意一条直线b互相垂直解析：在a上任取一点A，过A作b1b，则a与b1垂直.bb，bb1 b1b直线a与b1和a与b所成的角相等.ab263. 在一块长方形木块的面上有一点P，木匠师傅要用锯子从P和CD将木块分成两块，问怎样画线.解析：过P作C1D1的平行线EF，连DE、CF.264.异面直线l1、l2，它们之间的距离为1，所成角是，它们的公垂线是AB，Al1,Bl2.El1,Fl2,AEBF1，求EF的长.解析：如图，用异面直线l1、l2作为长方体的上、下底面的对角线，公垂线AB为高.EF的长即是正方形PEEF的对角线长，为.侧面的对角线，用勾股定理得2，即为所求.265.试证：两两相交且不全过同一点的四条直线共面.解析：(1)设a、b、c、d四条直线两两相交，且不过同一点，并且无三线共点.记 abA,acC,cbB, abA, a、b确定平面. Bb,Ca. B、C. BC，即c，同理d 从而 a、b、c、d共面(2)若有三线共点，不妨设b、c、d相交于A，abB，acC,adD. a与A可确定平面. Ba. B，于是b.同理，c，d. 从而a、b、c、d共面.266. 正方体的两条体对角线所夹角的正弦值为_。解析：易知故两条体对角线相交，设交点为O（如图），则即为所成的角。设正方体棱长为1，则，所以，而，故，即，267.长方体中，则所成角的大小为_。解析：如图所示，将平移到，则在中268. 根据叙述作图，指出二面角a -l-b 的平面角，并证明（1）已知a b =l，Al（图9-39）在a 内作PAl于A，在b 内作QAl于A图9-39（2）已知a b =l，Aa ，（图9-40）作APb 于P，在a 内作AQl于Q，连结PQ图9-40（3）已知a b =l， （图9-41）作APa 于P，AQb 于Q，l平面PAQ=H，连结PH、QH 解析：（1）PAa ，QAb ，PAl，QAl，PAQ为二面角的平面角（2）APb ，PQ为AQ在平面b 内的射影，AQl，根据三垂线定理，有PQl，AQP为二面角的平面角（如图答9-35）（3）APa ，APl，AQb ，AQl，l平面PAQ，PHQH平面PAQ，lPH，lQH，PHQ为二面角的平面角（如图答9-36）269. 如图9-42，立体图形A-BCD中，AC=AD，BC=BD求作二面角A-CD-B的平面角，并说明理由解析：取CD中点E，连结AE、BE，AC=AD，AECDBC=BD，BECD，AEB为二面角A-CD-B的平面角270. 若二面角a -l-b 的一个半平面a 上有一个点A，点A到棱l的距离是它到另一个平面b 的距离的2倍，则这个二面角的大小为（）A90 B60C45D30解析：D作AHb 交b 于H，作HBl于B，连结AB，由三垂线定理，HBl，ABH为二面角a -l-b 的平面角，由已知在RtABH中，AB=2AH，ABH=30271. 下列命题中正确的是（）A平面a 和b 分别过两条互相垂直的直线，则a b B若平面a 内的一条直线垂直于平面b 内的两条平行直线，则a b C若平面a 内的一条直线垂直于平面b 内的两条相交直线，则a b D若平面a 内的一条直线垂直于平面b 内的无数条直线，则a b 解析：Ca 内的直线l垂直b 内的相交直线a、b，则lb la ，a b 272. 设两个平面互相垂直，则（）A一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面B过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一个平面上C过交线上一点垂直于交线的直线，必垂直于另一个平面D分别在两个平面内的两条直线互相垂直解析：B如图答9-38，在正方体中，平面平面ABCD，其中平面，但不垂直平面ABCD，故A不正确点D在交线AD上，但不垂直平面ABCD，故C不正确平面，AC平面ABCD，但与AC不垂直，故D不正确273. 如图9-43，AOB是二面角a -CD-b 的平面角，AE是AOB的OB边上的高，回答下列问题，并说明理由：（1）CD与平面AOB垂直吗?（2）平面AOB与a 、b 垂直吗?（3）AE与平面b 垂直吗?解析：（1）AOB是二面角a -CD-b 的平面角，OBCD，OACD，CD平面AOB（2）CD平面AOB，CDa ，a 平面AOB同理b 平面AOB（3）CD平面AOB，AE平面AOB，COAE，又AEOB，CDOB=O，AE平面BCD，即AEb 274. 如图9-44，以等腰直角三角形的斜边BC上的高AD为折痕，使ABD和ACD折成相垂直的两个面求证：BDCD，BAC=60图9-44解析：AD是等腰ABC底边BC上的高线，ADBD，ADDC，BDC是二面角B-AD-C的平面角，平面ABD平面ACD，BDC=90，即BDDC连结BC，设AD=a，则BD=DC=AD=a，ABC是正三角形，BAC=60275. 直线a、b是异面直线，a平面，b平面，ab，求证：.证明 过b上任意一点作直线a，使aa.ab,ab.设相交直线a、b确定一个平面,c.b,c,bc.在平面内，bc,ba,ac.aac.又a,c,c，276. 在三棱锥SABC中，ASBBSC60，ASC90，且SASBSC，求证：平面ASC平面ABC.证明 取AC的中点O，连SO、BO，由已知，得SAB、SBC都是正三角形.BCABa,SASCa,又SOAC，BOAC，SOB就是二面角SACB的平面角.又SAABa,SCBCa,ACAC,ACSACB.SOBOa.在SOB中，SBa,SOB90.即平面SAC平面ABC.另证：过S作SO平面ABC，垂足是O.SASBSC，S在平面内的射影是ABC的外心，同前面的证明，可知ABC是直角三角形，O在斜边AC上.又平面SAC经过SO，平面SAC平面ABC说明 证明“面面垂直”的常用方法是根据定义证明平面角是90，或利用判定定理证明一个平面经过另一个平面的垂线.277. 如图，四面体ABCD的棱BD长为2，其余各棱的长均是，求：二面角ABDC、ABCD、BACD的大小.解析：(1)取BD的中点O，连AO、OC.在ABD中，ABAD，BD2，ABD是等腰直角三角形，AOBD，同理OCBD.AOC是二面角ABDC的平面角又AOOC1，AC，AOC90.即二面角ABDC为直二面角.(2)二面角ABDC是直二面角，AOBD，AO平面BCD.ABC在平面BCD内的射影是BOC.SOCB,SABC,cos.即二面角ABCD的大小是arccos.(3)取AC的中点E，连BE、DE.ABBC，ADDC，BDAC，DEAC，BED就是二面角的平面角.在BDE中，BEDE，由余弦定理，得cos-二面角BACD的大小是-arccos.评析 本例提供了求二面角大小的方法：先作出二面角的平面角，再利用其所在的三角形算出角的三角函数值，或利用面积的射影公式SScos求得.278. 如图所示，在三棱锥SABC中，SA底面ABC，ABBC，DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E.又SAAB，SBSC.求以BD为棱，以BDE与BDC为面的二面角的度数.解法一：由于SBBC，且E是SC中点，因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线，所以SCBE.又已知SCDE，BEDEE，SC平面BDE，SCBD，又SA底面ABC，BD在底面ABC上，SABD.而SASCS，所以BD平面SAC.DE平面SAC平面BDE，DC平面SAC平面BDC，BDDE，BDDC.EDC是所求二面角的平面角.SA底面ABC，SAAB，SAAC.设SAa,则ABa,BCSBa.又ABBC，所以ACa.在RtSAC中tgACS，所以ACS30.又已知DESC，所以EDC60，即所求的二面角等于60.解法二：由于SBBC，且E是SC的中点，因此BE是等腰SBC的底边SC的中线，所以SCBE.又已知SCDE，BEDEE.SC平面BDE，SCBD.由于SA底面ABC，且A是垂足，所以，AC是SC在平面ABC上的射影，由三垂线定理的逆定理得BDAC；又ESC，AC是SC在平面内的射影，所以E在平面ABC内的射影在AC上，由于DAC，所以DE在平面ABC内的射影在AC上，根据三垂线定理得BDDE.DE平面BDE，DC平面BDC.EDC是所求二面角的平面角.以下解法同解法一.279. 在直三棱柱ABCABC中，BAC90，ABBB1，直线BC与平面ABC成30的角.(如图所示)(1)求点C到平面ABC的距离；(2)求二面角BBCA的余弦值.解析：(1)ABCABC是直三棱柱，ACAC，AC平面ABC，AC平面ABC，于是C到平面ABC的距离等于点A到平面ABC的距离，作AMAB于M.由AC平面ABA得平面ABC平面ABA，AM平面ABC，AM的长是A到平面ABC的距离.ABBB1，BCB30，BC2，BC，AB，AM.即C到平面ABC的距离为；(2)作ANBC于N，则AN平面BBCC，作NQBC于Q，则AQBC，AQN是所求二面角的平面角，AN，AQ1.sinAQN,cosAQN.说明 利用异面直线上两点间的距离公式，也可以求二面角的大小，如图，ABBB1，AB，又BCB30，BC,BC2,AC.作AMBC于M，BNBC于N，则AM1，BN，CN，CM1，MN.BNBC,AMBC，BN与AM所成的角等于二面角BBCA的平面角.设为.由AB2AM2+BN2+MN2-2AMBNcos得cos.280 如图所示，四棱锥PABCD的底面是边长为a的菱形，A60，PC平面ABCD，PCa,E是PA的中点.(1)求证平面BDE平面ABCD.(2)求点E到平面PBC的距离.(3)求二面角AEBD的平面角大小.解析：(1)设O是AC，BD的交点，连结EO.ABCD是菱形，O是AC、BD的中点，E是PA的中点，EOPC，又PC平面ABCD，EO平面ABCD，EO平面BDE，平面BDE平面ABCD.(2)EOPC，PC平面PBC，EO平面PBC，于是点O到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离.作OFBC于F，EO平面ABCD，EOPC，PC平面PBC，平面PBC平面ABCD，于是OF平面PBC，OF的长等于O到平面PBC的距离.由条件可知，OB,OFa，则点E到平面PBC的距离为a.(3)过O作OGEB于G，连接AG OEAC，BDAC AC平面BDEAGEB(三垂线定理) AGO是二面角AEBD的平面角OEPCa,OBa EBa.OGa 又AOa.tanAGOAGOarctan.评析 本题考查了面面垂直判定与性质，以及利用其性质求点到面距离，及二面角的求法，三垂线定理及逆定理的应用.281. 如图，矩形ABCD中，AB2，BC2，以AC为轴翻折半平面，使二平面角BACD为120，求：(1)翻折后，D到平面ABC的距离；(2)BD和AC所成的角.解析：研究翻折问题，通常要画出翻折前的平面图形和翻折后的空间图形，对应点的字母要相同.解 分别过B、D作AC的垂线，垂足是E、F，过F作FBBE，过B作BBAC，交点B，则四边形EFBB是矩形.ACDF，ACBF，AC平面BFD，即DFB就是二面角BACD的平面角，亦即DFB120.过D作DOBF，垂足为O.DO平面DFB，AC平面DFB.DOAF，DO平面ABC.在RtADC中，CD2，AD2，DF，ODDFsin60.(2)在DFB中，DB3.又由(1)可知，ACBB，AC平面DFB平面DFB.BB平面DFB，DB B是直角三角形，又BBEF2.tanDBB.ACBB,AC与BD所成的角就是DBB，即为arctan.说明 处理翻折问题，只要过不在棱上的点作棱的垂直相交的线段，就可以化成基本题型处理，本题也可以这样考虑，即利用异面直线DF、BE上两点B、D间的距离，先求出BD2EF2+DF2+BE2-2DFBEcos12013，从而得出DBBarccos.282. 判断下列命题是否正确，并说明理由（1）若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；（2）在一个平面内有三条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行；（3）若两个平面相交，那么分别在这两个平面内的两条直线也相交；（4）如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线也平行；（5）一条直线与两个平行平面所成的角相等；（6）一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么一定平行于另一个平面解析：（1）不正确两个平面还可能相交于一条直线；（2）不正确两个平面可能相交，这三条直线均与交线平行；（3）不正确分别在两个相交平面内的两条直线也可能平行，它们都平行于交线；（4）不正确两条直线还可能异面；（5）正确无论直线与两个平面相对位置如何，直线与两个平面所成的角都相等；（6）不正确直线可能在另一个平面上283. 平面a 平面b ，aa ，bb ，则a、b一定是（）A两条平行直线B异面直线C相交直线D无公共点的两条直线解析：Da b ，则平面a 与b 无公共点，a、b一定无公共点284. 下列命题中，不正确的是（）A一直线和两个平面a 、b 所成的角相等，那么a bB平面a 平面b ，则a 内的任意直线平行于平面bC一个三角形有两条边所在直线平行一个平面，那么三角形所在平面与这个平面平行D分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线解析：A直线与两平面所成的角相等，这两个平面可能相交，故A命题不正确三角形两边必相交，这两条相交直线平行于一个平面，那么三角形所在平面与这个平面平行，所以C命题正确，分别在两个平行平面内的两条直线一定没有公共点，它们的位置关系是平行或异面285. 若ab，aa ，bb ，则a 、b 这两个平面的位置关系是_解析：平行286. 夹在两平行平面a 、b 间的线段AB=8，AB与a 所成的角为45，那么a 、b 间的距离等于_解析：如图答9-27，过A作AHa ，交a 于H，AH为平面a 与b 间的距离连结BH，则BH是AB在平面a 内的射影，ABH=45AB=8，287. 三个不同平面a ，b ，g 满足a b ，b g =l，则a 与g 的位置关系是_；若三个平面满足a b ，b g ，则a 与g 的位置关系是_解析：相交；平行作直线lb ，a b ，la ，b g ，lg a g 当a b ，b g =l，假设a 与g 不相交，则a g ，a b ，由前面证明可知b g ，这与b 、g 相交矛盾a 与g 相交288. 已知直线a平面a ，直线b平面b ，a b，ab ，ba 求证：a b 解析：如图答9-29，在b上任取一点P，由点P和直线a确定的平面g 与平面b 交于直线c，则c与b相交于点P图答9-29289. BA不正确是因为直线b可以在平面a 内，也可能与a 平行，还可能与a 相交但不成直角，C中的直线b只与b 内的直线a垂直，不能得出垂直b 的结论D中a 、b 可能相交，a 内的两条直线均与交线平行290. 给出以下命题：平行于同一条直线的两条直线平行；垂直于同一条直线的两条直线平行；平行于同一个平面的两条直线平行；垂直于同一个平面的两条直线平行；平行于同一条直线的两个平面平行；垂直于同一条直线的两个平面平行；平行于同一个平面的两个平面平行其中正确的命题是_（把你认为正确的命题的序号都写上）解析：、由公理4知正确由直线与平面垂直的性质定理知正确由两个平面平行判定定理可以推导出、正确垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是平行、相交、或异面；平行于同一个平面的两条直线的位置关系是平行、相交、或异面；平行于同一条直线的两个平面的位置关系是平行或相交291. 给出下列命题，错误的命题是（）A若直线a平面a ，且a 平面b ，则直线a与平面b 的距离等于平面a 、b 间的距离B若平面a 平面b ，点Aa ，则点A到平面b 的距离等于平面a 、b 间的距离C两条平行直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离D两条异面直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离解析：C以下按顺序说明，对A中，在a上任取一点P，作PHb ，PH为直线a与平面b 的距离a b ，PHa ，PH又为a 、b 间的距离对于B，作AHb ，AH的长为点A到b 的距离又a b ，AHa ，于是AH的长是a 、b 两个平行平面间的距离对于C，设ab，aa ，bb ，过a上任一点P作PQb于Q，则PQ的长为a、b两平行直线间的距离因为PQ与a 、b 不一定垂直，所以PQ的长一般不是a 、b 间的距离，一般地说，a、b间的距离不小于a 、b 间的距离对于D设是异面直线a、b的公垂线段，Aa，aa ，bb ，过A和b的平面与a 相交于，则，于是同理 故的长又是a 、b 两个平面间的距离（如图答9-30）292. 设a 、b 是两个平面，l和m是两条直线，那么a b 的一个充分条件是（）Ala ，ma ，且lb ，mb Bla ，mb ，且lmCla ，mb ，且lm Dla ，mb ，且lm解析：C可参看图答9-31图答9-31293. 平面a 平面b ，过平面a 、b 外一点P引直线PAB分别交a 、b 于A、B两点，PA=6，AB=2，引直线PCD分别交a 、b 于C、D两点已知BD=12，则AC的长等于（）A10B9C8D7解析：B如图答9-32，平面PBDa =AC，平面PBDb =BD，a b ，ACBD由平面几何知识知，PA=6，AB=2，BD=12，AC=9294. 已知AC，BD是夹在两平行平面a 、b 间的线段，Aa ，Ba ，Cb ，Db ，且AC=25cm，BD=30cm，AC、BD在平面b 内的射影的和为25cm，则AC、BD在平面b 内的射影长分别为_，AC与平面b 所成的角的正切值为_，BD与平面b 所成的角的正切值为_解析：设a 、b 间的距离为h，AC在平面b 内的射影，BD在平面b 内的射影，根据已知条件可得-得，即，把代入得y-x=11， 解得即，又h=24cm，AC与平面b 所成的角为，同理295. 已知空间不共面的四个点，与此四个点距离都相等的平面有_个解析：与不共面的四个点距离相等的平面分为两类，一类是四个点中一个点位于平面的一侧，另外三个点在平面的另一侧，这样的平面有4个；另一类是四个点中的两个点位于平面一侧，另外两个点在平面的另一侧，这样的平面有3个，故一共7个平面到这四个点距离相等296. 如图9-35，平面a 平面b ，ABC、