江苏南京高二数学期中

江苏省南京市2019-2020学年高二数学上学期期中试题注意事项：1本试卷共4页，包括选择题（第1题第12题）、填空题(第13题第16题)、解答题(第17题第22题)三部分。本试卷满分150分，考试时间120分钟。2答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置。3作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。4非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。5考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。参考公式：线性回归方程 bxa；回归系数b，ab； 球的表面积S4R2，其中R为球的半径一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共计48分其中第1至第10题为单选题，第11、12题为多选题1若直线ax2y10与直线x2y20互相垂直，则实数a的值是A1 B1 C4 D42已知向量a(0，1，1)，b(1，2，1)若向量ab与向量c(2，m，4)平行，则实数m的值是A2 B2 C10 D103在平面直角坐标系xOy中，双曲线x21的渐近线方程是Ayx Byx Cyx Dyx4为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x（万元）8.38.51011.212支出y（万元）67.588.510根据上表可得10，8，线性回归方程0.76xa据此估计，该社区一户年收入为20万元家庭年支出为 A15.2万元 B15.6万元 C16万元 D16.2万元（第6题图）ABCDMN（第5题图）5如图，已知一个圆柱的底面半径为，高为2，若它的两个底面圆周均在球O的球面上，则球O的表面积为A B16 C8 D46如图，在四面体ABCD中，点M是棱BC上的点，且BM2MC，点N 是棱AD的中点若xyz，其中x，y，z为实数，则xyz的值是A B C D 7在平面直角坐标系xOy中，直线l过点P(1，2)，且被圆O：x2y29截得的弦长为4，则直线l的方程为A3x4y50 B3x4y110 Cx1或3x4y50 Dx1或3x4y110 8已知cos()，则sin2的值是A B C D9在平面直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y4x的焦点，交抛物线于A，B两点，且线段AB中点的横坐标为3，则线段AB的长为 A6 B7 C8 D1010在平面直角坐标系xOy中，已知点P(4，0)，点A，B在双曲线C：y1上，且3，则直线AB的斜率为A B C1 D注：以下两题为多选题，每小题有多个选项符合题意全部选对得4分，选对但不全的得2分，错选或不答的得0分11已知两条直线l，m及三个平面，下列条件中能推出的是 A. l，l Bl，m，lm C， Dl，m，lm12在平面直角坐标系xOy中，动点P到两个定点F(1，0)和F(1，0)的距离之积等于8，记点P的轨迹为曲线E，则A曲线E经过坐标原点 B曲线E关于x轴对称C曲线E关于y轴对称 D若点(x，y)在曲线E上，则3x3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：y1的焦距为 若双曲线C的右焦点与抛物线y22px (p0)的焦点重合，则实数p的值为 14在平面直角坐标系xOy中，若椭圆E：1(ab0)的两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的四个顶点，则椭圆E的离心率是 15我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是：每个大于2的偶数可以表示为两个质数的和，如14311在不超过15的质数中，随机选取2个不同的数，其和不等于16的概率是 16已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是矩形，底面边长和侧棱长均为2，A1ABA1AD60，则对角线AC1的长为 三、解答题：本题共6小题，共82分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知12(acosCccosA)13bcosB（1）求cosB；（2）若ac15，且ABC的面积为5，求b的值18（本小题满分12分）某家庭记录了未使用节水龙头30天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头30天的日用水量数据，得到频数分布表如下：（一）未使用节水龙头30天的日用水量频数分布表日用水量0.2，0.3)0.3，0.4)0.4，0.5)0.5，0.6)0.6，0.7频数238125（二）使用了节水龙头30天的日用水量频数分布表日用水量0.1，0.2)0.2，0.3)0.3，0.4)0.4，0.5)0.5，0.6频数251166（1）估计该家庭使用了节水龙头后，日用水量小于0.4 m3的概率；（2）估计该家庭使用节水龙头后，平均每天能节省多少水？（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）19（本小题满分14分）如图，已知四棱锥PABCD的底面是平行四边形，且PABPDC90ABCDEFP（第19题图）（1）求证：AB平面PAD；（2）若点E，F分别是棱PD，BC的中点，求证：EF平面PAB20（本小题满分14分） 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC2，BAC120，AA13（第20题图）ACBDA1C1B1（1）点D在棱AA1上，且BDA1C，求AD的长；（2）求二面角CA1B1B的大小21（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F，F，离心率e过F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且ABF的周长为12（1）求椭圆C的方程； （2）若点A位于第一象限，且AF1AF2，求ABF的外接圆的方程22（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，点A(2，0)，过动点P作直线x4的垂线，垂足为M，且4记动点P的轨迹为曲线E（1）求曲线E的方程；（2）过点A的直线l交曲线E于不同的两点B，C 若B为线段AC的中点，求直线l的方程； 设B关于x轴的对称点为D，求ACD面积S的取值范围南京市20192020学年度第一学期期中调研测试 高二数学参考答案 2019.11一、选择题：1D 2A 3A 4B 5B 6C 7C 8D 9C 10B11ABC 12BCD二、填空题：134；4 14 15 162三、解答题： 17（本小题满分12分）解：（1）因为12(acosCccosA)13bcosB， 由正弦定理 得12(sinAcosCsinCcosA)13sinBcosB， 2分因此12sin(AC)13sinBcosB 4分在ABC中，ABC，所以12sin(B)13sinBcosB，于是12sinB13sinBcosB， 因为B(0，)，所以sinB0，所以cosB 6分 （2）由（1）知cosB，sinB0，所以sinB 8分 因为ABC的面积为5，即SABCacsinB5，所以ac5，即ac26 10分又因为ac15，所以 b2a2c22accosBa2c2ac(ac)2ac15226125，因此b5 12分18（本小题满分12分）解：（1）根据表格（二），估计该家庭使用了节水龙头后，日用水量小于0.4m3的频数为251118， 2分所以所求的概率约为 0.6，即该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.4m3的概率的估计值为0.6 5分（2）该家庭未使用节水龙头30天日用水量的平均数为(20.2530.3580.45120.5550.65)0.5； 8分该家庭使用了节水龙头后30天日用水量的平均数为(20.1550.25110.3560.4560.55)0.38； 10分0.50.380.12因此，使用节水龙头后，平均每天能节省的水量估计为0.12 m3 12分19（本小题满分14分）证明：（1）在四棱锥PABCD中，因为PABPDC90，所以ABPA，DCPD 2分又因为四棱锥PABCD的底面是平行四边形，所以ABDC，所以ABPD 4分因为PAPDP，PA，PD平面PAD，所以AB平面PAD 6分ABCDEFP（第19题图）G（2）如图，取AD的中点G，连EG，GF在PAD中，因为E是棱PD的中点，所以EGPA又EG平面PAB，PA平面PAB，所以EG平面PAB 8分在平行四边形ABCD中，G，F分别是棱AD，BC的中点，所以AGBFBC，AGBF，所以四边形ABFG是平行四边形，所以 FGBA又FG平面PAB，AB平面PAB，所以FG平面PAB 11分因为EGFGG，EG，FG平面EFG，所以平面EFG平面PAB又EF平面EFG，所以EF平面PAB 14分20（本小题满分14分）xyz（第20题图）ACBDA1C1B1E解：（1）如图，在ABC中，过A作AB的垂线交BC于E在直三棱锥ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，所以AA1AB，AA1AE分别以AE，AB，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz 2分因为ABAC2，BAC120，AA13，所以C(，1，0)，B(0，2，0)，A1(0，0，3) 4分因为点D在棱AA1上，设D(0，0，a)，则(0，2，a)，(，1，3)因为BDA1C，所以23a0，解得a所以AD 6分（2）平面ABB1A1的一个法向量为n1(1，0，0)又B1(0，2，3)，所以 (，1，3)，(，3，3)设平面A1B1C的一个法向量为n2(x，y，z)，由n2，n2，得所以y0取x，则z1，所以平面A1B1C的一个法向量为n2(，0，1) 10分| n1|1，| n2|2，n1n2，所以cosn1，n2， 12分又n1，n20，从而n1，n2根据图形可知，二面角CA1B1B大小的为 14分21（本小题满分14分）解：（1）因为椭圆C：1(ab0)的离心率e，所以 又ABF的周长为12，所以4a12 联立，解得a3，c5， 从而b2ac20，因此椭圆C的方程为1 4分（2）因为点A位于第一象限，故设A(x，y)，其中x0，y0因为AF1AF2，所以0，又点A在椭圆C上，所以解得x129，从而x3，y4 7分 由（1）知，椭圆C的左焦点为F(5，0)，所以直线l的方程为y(x5)由得5x218x990，解得x3或所以B(，) 11分 因为FAF90，所以ABF的外接圆就是以BF为直径的圆又椭圆C的右焦点为F2(5，0)，所以线段BF的中点M的坐标为(，)，此时MF， 故ABF的外接圆的方程为(x)(y) 14分 22（本小题满分16分）解：（1）设P(x，y)，则M(4，y)因为A(2，0)，所以(2，y)，(x2，y)， 因为4，所以2x4y24，即y22x 所以曲线E的方程为y22x 3分（2） 若直线l的斜率不存在，则l与曲线E无公共点，因此l的斜率存在； 若l的斜率为0，则l与曲线E只有一个公共点，因此l的斜率不为0设l：yk(x2)，k0， 由得y2y40，于是160，解得k且k0设B(x1，y1)，C(x2，y2)，