江苏扬州中学高三数学第一次月考

江苏省扬州中学20082009学年度第二学期2月份考试 高 三 数 学 试 卷 2009-2-26参考公式：线性回归方程的系数公式为.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1已知的终边经过点，且 ，则的取值范围是 2如果复数是实数，则实数_ 3如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角,现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内概率是_ 4某单位为了了解用电量y度与气温之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温(0C)181310-1用电量(度)24343864由表中数据得线性回归方程中，预测当气温为 时，用电量的度数约为_.5给出一个算法： Read x If 根据以上算法，可求得 OP1P0P26如图，点P是单位圆上的一个顶点，它从初始位置开始沿单342俯视图主视图左视图位圆按逆时针方向运动角（）到达点，然后继续沿单位圆逆时针方向运动到达点，若点的横坐标为，则的值等于 7一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为 8已知平面上不共线的四点O,A,B,C。若，则。9已知函数，若直线对任意的都不是曲线的切线，则的取值范围为 10已知圆和过原点的直线的交点为P、Q，则|OP|OQ|的值为 11已知实数a使得只有一个实数x满足关于x的不等式，则满足条件的所有的实数a的个数是 12、已知直线所经过的定点恰好是椭圆的一个焦点,且椭圆上的点到点的最大距离为8.则椭圆的标准方程为 ； 13设A=，B=，记AB=max，若A=，B=，且AB=，则的取值范围为 。14.若关于的不等式至少有一个负数解，则实数的取值范围是_.二、解答题：本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题14分）在ABC中，分别为角A、B、C的对边，=3, ABC的面积为6，D为ABC内任一点，点D到三边距离之和为d。求角A的正弦值； 求边b、c； 求d的取值范围16（本小题14分）在四棱锥PABCD中，ABCACD90，BACCAD60，PA平面ABCD，E为PD的中点，PA2AB2（）求四棱锥PABCD的体积V；（）若F为PC的中点，求证PC平面AEF；17（本小题15分）（本小题15分）某建筑的金属支架如图所示，根据要求至少长2.8m，为的中点，到的距离比的长小0.5m，已知建筑支架的材料每米的价格一定，问怎样设计的长，可使建造这个支架的成本最低？BACD地面18（本小题15分）已知圆C的方程为（，椭圆C的方程为,且C 的离心率为，如果C 、C相交于A、B两点，且线段AB恰好为C 的直径，求直线AB的方程和椭圆C 的方程。19（本小题16分）已知函数，（1）已知函数，如果是增函数，且的导函数存在正零点，求的值（2）设,且在上单调递增,求实数的取值范围.（3）试求实数的个数，使得对于每个，关于x的方程 都有满足的偶数根20（本小题16分）已知为实数，数列满足，当时， （）；(5分)（）证明：对于数列，一定存在，使；(5分)（）令，当时，求证：(6分) 考场号_ 考试号_ 学号_ 班级_座位号_ 姓名_ 密封线内不要答题A大于失B大于失C大于失D大于失高三数学2月考附加题试卷一、选做题：本大题共4小题，请从这4题中选做2小题，如果多做，则按所做的前两题记分每小题10分，共20分1（几何证明选讲）如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的圆交AC于D求证：2（矩阵与变换）设是把坐标平面上的点的横坐标伸长到倍，纵坐标伸长到倍的伸压变换（）求矩阵的特征值及相应的特征向量；（）求逆矩阵以及椭圆在的作用下的新曲线的方程 3. （坐标系与参数方程）求直线（）被曲线所截的弦长.4（不等式证明选讲）若，证明。二、必做题：本大题共2小题，每小题10分，共20分5. 已知斜三棱柱，在底面上的射影恰为的中点，又知。（I）求证：平面；（II）求到平面的距离；（III）求二面角余弦值的大小。6某城市有甲、乙、丙、丁4个旅游景点，一位客人游览这4个景点的概率都是0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响设表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值（）求的分布列及数学期望；() 记“函数在区间上单调递增”为事件A，求事件A的概率 高三数学月考试卷参考答案 2009-2-271 2 3 468 50 6 7 82 9 105 11 2 12、 13 14. 15解：(1) (2)，20 由及20与=3解得b=4，c=5或b=5,c= 4 (3)设D到三边的距离分别为x、y、z，则 又x、y满足画出不等式表示的平面区域得： 16 解：（）在RtABC中，AB1，BAC60，BC，AC2在RtACD中，AC2，CAD60，CD2，AD4SABCD 3分则V 7分（）PACA，F为PC的中点，AFPC 8分PA平面ABCD，PACDACCD，PAACA，CD平面PACCDPC E为PD中点，F为PC中点，EFCD则EFPC 12分AFEFF，PC平面AEF 14分17解：设连结BD.则在中， 设则等号成立时答：当时，建造这个支架的成本最低.18 解：设A（）、B（）A、B在椭圆上 又线段AB的中点是圆的圆心（2，1），所以所以，椭圆的离心率为，1直线AB的方程为y-1=-1(x-2)即x+y-3=0. （1） 由（和x+y-3=0得A（2+，1）代入椭圆方程得：所以椭圆方程为： 19解：（1）由题意在上恒成立即在上恒成立即 ，所以 ，又存在正零点， 所以 ，即 （2）由题设得，5分对称轴方程为，。7分由于在上单调递增，则有()当即时,有。9分()当即时，设方程的根为， 若,则，有解得；11分若,即，有；。13分由得 。综合()， ()有 14分对任意，为偶数，的取值各不同，反证法证明。答案是200920解:（）由题意知数列的前34项成首项为100,公差为3的等差数列,从第35项开始,奇数项均为3,偶数项均为1,从而= (3分) =. (5分) （）证明：若,则题意成立(6分)若,此时数列的前若干项满足,即.设,则当时,.从而此时命题成立 (8分)若,由题意得,则由的结论知此时命题也成立.综上所述,原命题成立(10分)（）当时，因为, 所以=(11分)因为0,所以只要证明当时不等式成立即可.而(13分)当(15分)当时,由于0,所以综上所述,原不等式成立(16分)附加题2解：（）由条件得矩阵，它的特征值为和，对应的特征向量为及；（），椭圆在的作用下的新曲线的方程为3（坐标系与参数方程）求直线（）被曲线所截的弦长，将方程，分别化为普通方程：，(5分)(10分)4（不等式证明选讲）若，证明。柯西不等式一步可得二、必做题：本大题共2小题，每小题10分，共20分5. 解：（I）如图，取的中点，则，因为，所以，又平面，以为轴建立空间坐标系，则，由，知，又，从而平面；（II）由，得。设平面的法向量为，所以，设，则所以点到平面的距离。（III）再设平面的法向量为，所以，设，则，故，根据法向量的方向，可知二面角的余弦值大小为6 解：（1）分别设“客人游览甲景点”、“客人游览乙景点”、“客人游览丙景点” 、“客人游览丁景点”