湖南长沙一中高考数学二模文

2017年湖南省长沙一中高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合A=y|y=log2x，x1，B=x|y=，则AB=（）Ay|0yBy|0y1Cy|y1D2若复数的实部与虚部相等，则实数a的值为（）A3B3CD3已知a=log0.55、b=log32、c=20.3、d=（）2，从这四个数中任取一个数m，使函数f（x）=x3+mx2+x+2有极值点的概率为（）ABCD14如图，若N=10，则输出的数等于（）ABCD5经过点（1，），渐近线与圆（x3）2+y2=1相切的双曲线的标准方程为（）Ax28y2=1B2x24y2=1C8y2x2=1D4x22y2=16已知三棱锥ABCD的各棱长都相等，E为BC中点，则异面直线AB与DE所成角的余弦值为（）ABCD7已知函数f（x）=（sinx+cosx）cosx，则下列说法正确的为（）A函数f（x）的最小正周期为2Bf（x）在，单调递减Cf（x）的图象关于直线x=对称D将f（x）的图象向右平移，再向下平移个单位长度后会得到一个奇函数的图象8已知数列an的前n项和Sn=n2n，正项等比数列bn中，b2=a3，bn+3bn1=4（n2）nN+，则log2bn=（）An1B2n1Cn2Dn9已知实数x，y满足时，z=（ab0）的最大值为1，则a+b的最小值为（）A7B8C9D1010如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（）A8+8+4B8+8+2C2+2+D +11若xR，函数f（x）=2mx2+2（4m）x+1与g（x）=mx的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围为（）A（0，4B（0，8）C（2，5）D（，0）12已知函数f（x）=，若对任意的x1，2，f（x）x+f（x）0恒成立，则实数t的取值范围是（）A（，B（，）C（，D，+）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13在ABC中，P为中线AM上的一个动点，若|=2，则（+）的最小值为 14在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（xa）2+（ya+2）2=1，点A（0，3），若圆C上存在点M，满足|AM|=2|MO|，则实数a的取值范围是 15已知等比数列an的首项为，公比为，前n项和为Sn，则当nN*时，Sn的最大值与最小值之和为 16如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是O的直径，上底CD的端点在圆周上，则梯形周长的最大值为 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知函数f（x）=sin2xcos2x+，xR（1）若x，f（x）m=0有两个不同的根，求m的取值范围；（2）已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f（B）=，b=2，且sinA、sinB、sinC成等差数列，求ABC的面积18某大学在开学季准备销售一种盒饭进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该盒饭获利润10元，未售出的产品，每盒亏损5元根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示该同学为这个开学季购进了150盒该产品，以x（单位：盒，100x200）表示这个开学季内的市场需求量，y（单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润（）根据直方图估计这个开学季内市场需求量x的平均数和众数；（）将y表示为x的函数；（）根据频率分布直方图估计利润y不少于1350元的概率19已知四棱台ABCDA1B1C1D1的下底面是边长为4的正方形，AA1=4，且AA1面ABCD，点P为DD1的中点，点Q在BC上，BQ=3QC，DD1与面ABCD所成角的正切值为2（）证明：PQ面A1ABB1；（）求证：AB1面PBC，并求三棱锥QPBB1的体积20已知过点P（1，0）的直线l与抛物线y2=4x相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点（）求直线l倾斜角的取值范围；（）是否存在直线l，使A、B两点都在以M（5，0）为圆心的圆上，若存在，求出此时直线及圆的方程，若不存在，请说明理由21已知函数f（x）=lnxax2+（2a）x（）讨论函数f（x）的单调性；（）设g（x）=2，对任意给定的x0（0，e，方程f（x）=g（x0）在（0，e有两个不同的实数根，求实数a的取值范围（其中aR，e=2.71828为自然对数的底数）选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为92cos2+162sin2=144，且直线l与曲线C交于P，Q两点（）求曲线C的直角坐标方程及直线l恒过的顶点A的坐标；（）在（）的条件下，若|AP|AQ|=9，求直线l的普通方程选修4-5：不等式选讲23设函数f（x）=|xa|，aR（）当a=2时，解不等式：f（x）6|2x5|；（）若关于x的不等式f（x）4的解集为1，7，且两正数s和t满足2s+t=a，求证：2017年湖南省长沙一中高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合A=y|y=log2x，x1，B=x|y=，则AB=（）Ay|0yBy|0y1Cy|y1D【考点】1E：交集及其运算【分析】求出集合的等价条件，结合交集运算进行求解即可【解答】解：A=y|y=log2x，x1=y|y0，B=x|y=x|12x0=x|x，则AB=y|0y，故选：A2若复数的实部与虚部相等，则实数a的值为（）A3B3CD【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、实部与虚部的定义即可得出【解答】解：复数=+i的实部与虚部相等，=，解得a=故选：D3已知a=log0.55、b=log32、c=20.3、d=（）2，从这四个数中任取一个数m，使函数f（x）=x3+mx2+x+2有极值点的概率为（）ABCD1【考点】6D：利用导数研究函数的极值；CB：古典概型及其概率计算公式【分析】求出函数的导数，根据函数的极值点的个数求出m的范围，通过判断a，b，c，d的范围，得到满足条件的概率值即可【解答】解：f（x）=x2+2mx+1，若函数f（x）有极值点，则f（x）有2个不相等的实数根，故=4m240，解得：m1或m1，而a=log0.552，0b=log321、c=20.31，0d=（）21，满足条件的有2个，分别是a，c，故满足条件的概率p=，故选：B4如图，若N=10，则输出的数等于（）ABCD【考点】EF：程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=+的值，由裂项法即可计算得解【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=S=+的值，又由：S=+=（1）+（）+（）=1=故选：C5经过点（1，），渐近线与圆（x3）2+y2=1相切的双曲线的标准方程为（）Ax28y2=1B2x24y2=1C8y2x2=1D4x22y2=1【考点】KB：双曲线的标准方程【分析】设双曲线的渐近线方程为mxny=0（m0，n0），利用渐近线与圆（x3）2+y2=1相切，可得渐近线方程，设出双曲线方程，代入点（1，），即可得出结论【解答】解：设双曲线的渐近线方程为mxny=0（m0，n0）渐近线与圆（x3）2+y2=1相切，=1，n=2m，渐近线方程为x2y=0双曲线方程设为x28y2=，代入点（1，），可得=12=1，双曲线方程为8y2x2=1故选：C6已知三棱锥ABCD的各棱长都相等，E为BC中点，则异面直线AB与DE所成角的余弦值为（）ABCD【考点】LM：异面直线及其所成的角【分析】取AC中点O，连结DO，EO，则EOAB，从而DEO是异面直线AB与DE所成角（或所成角的补角），由此利用余弦定理能求出异面直线AB与DE所成角的余弦值【解答】解：取AC中点O，连结DO，EO，三棱锥ABCD的各棱长都相等，E为BC中点，EOAB，DEO是异面直线AB与DE所成角（或所成角的补角），设三棱锥ABCD的各棱长为2，则DE=DO=，OE=1，cosDEO=异面直线AB与DE所成角的余弦值为故选：B7已知函数f（x）=（sinx+cosx）cosx，则下列说法正确的为（）A函数f（x）的最小正周期为2Bf（x）在，单调递减Cf（x）的图象关于直线x=对称D将f（x）的图象向右平移，再向下平移个单位长度后会得到一个奇函数的图象【考点】H1：三角函数的周期性及其求法；H5：正弦函数的单调性【分析】化函数f（x）为正弦型函数，再判断选项中的命题是否正确【解答】解：函数f（x）=（sinx+cosx）cosx=sinxcosx+cos2x=sin2x+=（sin2x+cos2x）+=sin（2x+）+，f（x）的最小正周期为T=，A错误；x，时，2x+，f（x）是单调递增函数，B错误；当x=时，f（x）=sin（+）+=sin（）+，x=不是f（x）的对称轴，C错误；将f（x）的图象向右平移，得y=sin2（x）+的图象，再向下平移个单位长度得y=sin2x的图象，它是奇函数，D正确故选：D8已知数列an的前n项和Sn=n2n，正项等比数列bn中，b2=a3，bn+3bn1=4（n2）nN+，则log2bn=（）An1B2n1Cn2Dn【考点】8H：数列递推式【分析】利用a3=S3S2，即可得到log2b2验证可知A，B，C均不符合，即可得出【解答】解：a3=S3S2=（323）（222）=4，b2=a3=4，log2b2=log24=2验证可知A，B，C均不符合，故答案为D9已知实数x，y满足时，z=（ab0）的最大值为1，则a+b的最小值为（）A7B8C9D10【考点】7C：简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的最大值，确定最优解，然后利用基本不等式进行判断【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=（ab0）得y=，则斜率k=，则由图象可知当直线y=经过点B（1，4）时，直线y=的截距最大，此时，则a+b=（a+b）（）=1+4+，当且仅当，即b=2a取等号此时不成立，故基本不等式不成立设t=，ab0，01，即0t1，则1+4+=5+t+在（0，1上单调递减，当t=1时，1+4+=5+t+取得最小值为5+1+4=10即a+b的最小值为10，故选：D10如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（）A8+8+4B8+8+2C2+2+D +【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知几何体为从边长为4的正方体切出来的三棱锥作出直观图，计算各棱长求面积【解答】解：由三视图可知几何体为从边长为4的正方体切出来的三棱锥ABCD作出直观图如图所示：其中A，C，D为正方体的顶点，B为正方体棱的中点SABC=4，SBCD=4AC=4，ACCD，SACD=8，由勾股定理得AB=BD=2，AD=4cosABD=，sinABD=SABD=4几何体的表面积为8+8+4故选A11若xR，函数f（x）=2mx2+2（4m）x+1与g（x）=mx的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围为（）A（0，4B（0，8）C（2，5）D（，0）【考点】52：函数零点的判定定理【分析】当m0时，显然不成立；当m0时，g（x）=mx0，因为f（0）=10，所以仅对对称轴进行讨论即可【解答】解：当m0时，当x0时，g（x）=mx0，又二次函数f（x）=2mx2（82m）x+1开口向下，当x+时，f（x）=2mx2（82m）x+10，故当m0时不成立；当m=0时，因f（0）=10，不符合题意；当m0时，若=0，即0m4时结论显然成立；若=0，时只要=4（4m）28m=4（m8）（m2）0即可，即4m8，综上：0m8故选：B12已知函数f（x）=，若对任意的x1，2，f（x）x+f（x）0恒成立，则实数t的取值范围是（）A（，B（，）C（，D，+）【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性【分析】对任意的x1，2，f（x）x+f（x）0恒成立对任意的x1，2，恒成立，对任意的x1，2，2x22tx+10恒成立，t恒成立，求出x+在1，2上的最小值即可【解答】解：对任意的x1，2，f（x）x+f（x）0恒成立对任意的x1，2，恒成立，对任意的x1，2，2x22tx+10恒成立，t恒成立，又g（x）=x+在1，2上单调递增，t故选：B二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13在ABC中，P为中线AM上的一个动点，若|=2，则（+）的最小值为2【考点】9R：平面向量数量积的运算【分析】由已知中ABC中，P为中线AM上的一个动点，若|=2，我们易将（+）转化为2（|1）22的形式，然后根据二次函数在定区间上的最值的求法，得到答案【解答】解：AM为ABC的中线，故M为BC的中点则+=2=+则（+）=（+）2=22+2=2|24|=2（|1）22当|=1时， （+）的最小值为2故答案为：214在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（xa）2+（ya+2）2=1，点A（0，3），若圆C上存在点M，满足|AM|=2|MO|，则实数a的取值范围是0，3【考点】J5：点与圆的位置关系；IR：两点间的距离公式【分析】设点M（x，y），由题意得x2+（y2）2+x2+y2=10，若圆C上存在点M满足MA2+MO2=10也就等价于圆E与圆C有公共点，由此能求出实数a的取值范围【解答】解：设点M（x，y），由题意得点A（0，2），O（0，0）及MA2+MO2=10，即x2+（y2）2+x2+y2=10，整理得x2+（y1）2=4，即点M在圆E：x2+（y1）2=4上若圆C上存在点M满足MA2+MO2=10也就等价于圆E与圆C有公共点，所以|21|CE2+1，即|21|2+1，整理得12a26a+99，解得0a3，即实数a的取值范围是0，3故答案为：0，315已知等比数列an的首项为，公比为，前n项和为Sn，则当nN*时，Sn的最大值与最小值之和为【考点】89：等比数列的前n项和【分析】根据等比数列的求和公式求出Sn，分n为奇数或偶数计算出Sn的范围，从而得出Sn的最大值与最小值【解答】解：Sn=1（）n，（1）当n为奇数时，Sn=1+，1Sn，（2）当n为偶数时，Sn=1，Sn1对于任意nN*，Sn令Sn=t，f（t）=t，则f（t）在，上单调递增，f（t）的最小值为f（）=，f（t）的最大值为f（）=，Sn的最小值为，最大值为，Sn的最大值与最小值之和为+=故答案为：16如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是O的直径，上底CD的端点在圆周上，则梯形周长的最大值为10【考点】5D：函数模型的选择与应用【分析】作DEAB于E，连接BD，根据相似关系求出AE，而CD=AB2AE，从而求出梯形ABCD的周长y与腰长x间的函数解析式，根据AD0，AE0，CD0，可求出定义域；利用二次函数在给定区间上求出最值的知识可求出函数的最大值【解答】解：如图，作DEAB于E，连接BD因为AB为直径，所以ADB=90在RtADB与RtAED中，ADB=90=AED，BAD=DAE，所以RtADBRtAED所以=，即AE=又AD=x，AB=4，所以AE=所以CD=AB2AE=4，于是y=AB+BC+CD+AD=4+x+4+x=x2+2x+8由于AD0，AE0，CD0，所以x0，0，40，解得0x2，故所求的函数为y=x2+2x+8（0x2）y=x2+2x+8=（x2）2+10，又0x2，所以，当x=2时，y有最大值10三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知函数f（x）=sin2xcos2x+，xR（1）若x，f（x）m=0有两个不同的根，求m的取值范围；（2）已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f（B）=，b=2，且sinA、sinB、sinC成等差数列，求ABC的面积【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象【分析】（1）化简f（x），问题转化为y=m和y=f（x）在x，有2个不同的交点，画出函数的图象，求出m的范围即可；（2）求出B的值，根据正弦定理得到a+c=2b=4，根据余弦定理得到b2=a2+c22accosB=（a+c）22acac，求出ac的值，从而求出三角形的面积即可【解答】解：（1）函数f（x）=sin2xcos2x+，f（x）=sin2x+=sin（2x），f（x）=sin（2x），x，2x0，若x，f（x）m=0有两个不同的根，则y=m和y=f（x）在x，有2个不同的交点，画出函数的图象，如图所示：，结合图象得m1；（2）由f（B）=，解得：B=或B=，由sinA、sinB、sinC成等差数列，结合正弦定理得a+c=2b=4，故B=，且b2=a2+c22accosB=（a+c）22acac，故ac=（2412），故SABC=acsinB=（2412）=6318某大学在开学季准备销售一种盒饭进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该盒饭获利润10元，未售出的产品，每盒亏损5元根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示该同学为这个开学季购进了150盒该产品，以x（单位：盒，100x200）表示这个开学季内的市场需求量，y（单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润（）根据直方图估计这个开学季内市场需求量x的平均数和众数；（）将y表示为x的函数；（）根据频率分布直方图估计利润y不少于1350元的概率【考点】B8：频率分布直方图；BB：众数、中位数、平均数【分析】（）由频率分布直方图能估计这个开学季内市场需求量x的平均数和众数（）因为每售出1盒该盒饭获利润10元，未售出的盒饭，每盒亏损5元，当100x200时，y=10x5=15x750，当150x200时，y=10150=1500，由此能将y表示为x的函数（）由利润不少于1350元，得150x750750，由此能求出利润不少于1350元的概率【解答】解：（）由频率分布直方图得：最大需求量为150盒的频率为0.01520=0.3这个开学季内市场需求量的众数估计值是150需求量为100，120）的频率为0.00520=0.1，需求量为120，140）的频率为0.0120=0.2，需求量为140，160）的频率为0.01520=0.3，需求量为160，180）的频率为0.012520=0.25，需求量为180，200）的频率为0.007520=0.15，则平均数： =1100.1+1300.2+1500.3+1700.25+1900.15=153（）因为每售出1盒该盒饭获利润10元，未售出的盒饭，每盒亏损5元，所以当100x200时，y=10x5=15x750，当150x200时，y=10150=1500，所以y=，xN（）因为利润不少于1350元，所以150x750750，解得x140所以由（）知利润不少于1350元的概率p=10.10.2=0.719已知四棱台ABCDA1B1C1D1的下底面是边长为4的正方形，AA1=4，且AA1面ABCD，点P为DD1的中点，点Q在BC上，BQ=3QC，DD1与面ABCD所成角的正切值为2（）证明：PQ面A1ABB1；（）求证：AB1面PBC，并求三棱锥QPBB1的体积【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定【分析】（I）取AA1中点E，连接PE、BE，过D1作D1HAD于H，可证四边形PQBE为平行四边形，得出PQBE，故而PQ面A1ABB1；（II）由AA1面ABCD可得AA1BC，由相似三角形可得AB1BE，故而AB1平面PEBC，求出B1到平面PEBC的距离，代入体积公式即可得出棱锥的体积【解答】解：（）证明：取AA1中点E，连接PE、BE，过D1作D1HAD于HAA1面ABCD，AA1D1H，D1H面ABCDD1DA为DD1与面ABCD所成角=2，又AA1=4，DH=2A1D1=2PE=（A1D1+AD）=3，又EFAD，四边形PQBE为平行四边形，PQBE，又PQ面A1ABB1，BE面A1ABB1，PQ面A1ABB1（）AA1面ABCD，BC平面ABCD，AA1BC，又BCAB，ABAA1=A，BC面ABB1A1，又AB1平面ABB1A1，BCAB1在梯形A1ABB1中，RtBAERtAA1B1，B1AE+AEB=B1AE+AB1A1=90，AB1BE，又BEBC=B，BE平面PEBC，BC平面PEBC，AB1面PEBC设AB1BE=M，AE=2，AB=4，BM=2，A1B1=2，AA1=4，AB1=2，AM=，B1M=AB1AM=，又BQ=BC=3，V=V=620已知过点P（1，0）的直线l与抛物线y2=4x相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点（）求直线l倾斜角的取值范围；（）是否存在直线l，使A、B两点都在以M（5，0）为圆心的圆上，若存在，求出此时直线及圆的方程，若不存在，请说明理由【考点】KN：直线与抛物线的位置关系【分析】（）设直线l的方程，代入抛物线方程，利用0，即可求得k的取值范围，求得直线l倾斜角的取值范围；（）设圆M的方程，与抛物线方程联立，根据韦达定理，即可求得r的值及直线l的斜率k，求得直线及圆的方程【解答】解：（）由已知直线l的斜率存在且不为0设l：y=k（x+1），则，整理得：ky24y+4k=0，y1+y2=，=164k4k0，解得：1k1且k0直线l倾斜角的取值范围（0，）（，）；（）设M：（x5）2+y2=r2，（r0），则，则x26x+25r2=0，x1+x2=6，又由（）知y1y2=4，x1x2=125r2=1，r2=24，并且r2=24时，方程的判别式=364（25r2）0，由y1+y2=k（x1+x2+2）=，解得：k=，存在定圆M，经过A、B两点，其方程为：（x5）2+y2=24，此时直线l方程为y=（x+1）21已知函数f（x）=lnxax2+（2a）x（）讨论函数f（x）的单调性；（）设g（x）=2，对任意给定的x0（0，e，方程f（x）=g（x0）在（0，e有两个不同的实数根，求实数a的取值范围（其中aR，e=2.71828为自然对数的底数）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；54：根的存在性及根的个数判断【分析】（）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（）求出g（x）的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可【解答】解：（）f（x）=2ax+（2a）=，当a=0时，f（x）=0，f（x）在（0，+）单调递增当a0时，f（x）0，f（x）在（0，+）单调递增当a0时，令f（x）0，解得：0x，令f（x）0，解得：x，故f（x）在（0，）递增，在（，+）递减（）g（x）=2，g（x）=，x（，1），g（x）0，g（x）单调递增，x（1，+）时，g（x）0，g（x）单调递减，x（0，e时，g（x）的值域为（2，2，