湖南长郡中学高三数学第二次模拟考试理

湖南省长郡中学2019届高三数学下学期第二次模拟考试试题 理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.1.设全集，则 （）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出集合A中的元素，从而求出A的补集即可或者将分别代入检验.【详解】解法1：，故 ，所以选C.解法2：将分别代入检验，可得，故 ，所以选C.【点睛】本题考查了集合的运算，考查不等式解法，是基础题2.若为第二象限角则复数 （为虚数单位）对应点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】根据复数对应复平面的点，然后判断对应三角函数的符号即可得到答案.【详解】解：因为为第二象限角所以，即复数的实部为负数，虚部为正数，所以对应的点在第二象限故选：B【点睛】本题主要考查复数对应的复平面的点的相关概念，难度较小.3.已知等差数列前9项的和为27，则A. 100B. 99C. 98D. 97【答案】C【解析】试题分析：由已知，所以故选C.【考点】等差数列及其运算【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.4.条件，条件，则是的（）A. 充分非必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件【答案】A【解析】试题分析：条件等价于，条件等价于集合，因为，且，所以是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件考点：充分必要条件5.设函数，则使成立的的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】通过判断原函数单调性和奇偶性脱离f，建立不等式关系解出即可.【详解】解：根据题意，函数，则，即函数为偶函数，当时，易得为增函数，则，变形可得：，解可得或，即的取值范围为故选：D【点睛】本题主要考查函数的单调性，奇偶性以及通过函数性质解不等式问题，难度中等.6.如图所示，半径为1的圆是正方形的内切圆，将一颗豆子随机地扔到正方形内，用表示事件“豆子落在圆内”，表示事件“豆子落在扇形（阴影部分）内”，则（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用几何概型先求出，再由条件概率公式求出【详解】如图所示，半径为1的圆O是正方形MNPQ的内切圆，将一颗豆子随机地扔到正方形MNPQ内，用A表示事件“豆子落在圆O内”，B表示事件“豆子落在扇形阴影部分内”，则，故选：B【点睛】本题考查概率的求法，考查几何概型、条件概率能等基础知识，考查运算求解能力，是基础题7.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.详解：由三视图可得四棱锥，在四棱锥中，由勾股定理可知：，则在四棱锥中，直角三角形有：共三个，故选C.点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解.8.已知，则的展开式中的系数为（）A. B. 15C. D. 5【答案】D【解析】由题意得，故求的展开式中的系数， 展开式的通项为展开式中的系数为选D9.把函数的图象向左平移个单位长度，再把所得的图象上每个点的横、纵坐标都变为原来的2倍，得到函数的图象，并且的图象如图所示，则的表达式可以为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据条件先求出和，结合函数图象变换关系进行求解即可【详解】g（0）2sin1，即sin，或（舍去）则g（x）2sin（x），又当k=1,即g（x）2sin（x），把函数g（x）的图象上所有点的横坐标缩短到到原来的，得到y2sin（4x），再把纵坐标缩短到到原来的，得到ysin（4x），再把所得曲线向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，即g（x）sin（x-）故选：B【点睛】本题主要考查三角函数图象的应用，根据条件求出 和的值以及利用三角函数图象平移变换关系是解决本题的关键10.已知是双曲线的左、右焦点，若点关于双曲线渐近线的对称点满足（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先利用对称求出点的坐标，根据可得，再利用两点间距离得出关于方程，从而解得渐近线方程.【详解】解：设因为点关于渐近线的对称点为，不妨设渐近线方程为，故有，解得，因为，所以，根据两点间距离可得，即，即，即，即，可得，所以，故渐近线方程为，故选B.【点睛】本题考查了点关于直线对称点的知识，考查了双曲线渐近线方程、两点间距离公式等知识，解题时需要有较强的运算能力.11.电子计算机诞生于20世纪中叶，是人类最伟大的技术发明之一计算机利用二进制存储信息，其中最基本单位是“位（bit）”，1位只能存放2种不同的信息：0或l，分别通过电路的断或通实现“字节（Byte）”是更大的存储单位，因此1字节可存放从至共256种不同的信息将这256个二进制数中，所有恰有相邻两位数是1其余各位数均是0的所有数相加，则计算结果用十进制表示为（）A. 254B. 381C. 510D. 765【答案】B【解析】【分析】将符合题意的二进制数列出，转化为十进制，然后相加得出结果.【详解】恰有相邻两位数是1其余各位数均是0的二进制数为，共个.转化为十进制并相加得，故选B.【点睛】本小题主要考查二进制转化为十进制，阅读与理解能力，属于基础题.12.已知函数有唯一零点，则a=A. B. C. D. 1【答案】C【解析】函数的零点满足，设，则，当时，；当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，当时，函数取得最小值，为.设，当时，函数取得最小值，为，若，函数与函数没有交点；若，当时，函数和有一个交点，即，解得.故选C.【名师点睛】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量满足，且，则在方向上的投影为_【答案】1【解析】【分析】通过向量的数量积及投影的相关概念建立方程即可得到答案.【详解】解： 向量满足，且，则在方向上的投影为：故答案为：1【点睛】本题主要考查向量的数量积，及投影的相关概念，难度较小.14.设满足约束条，则目标函数的最大值为_【答案】4【解析】【分析】画出不等式表示的平面区域，通过目标函数表示的斜率式观察图像即可得到答案.【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）目标函数的几何意义为区域内的动点到定点的斜率，由图象知的斜率最大，由得，此时的斜率，即的最大值为4故答案为：4【点睛】本题主要考查线性规划问题，在于考查学生的作图能力及转化能力，此题只需将目标函数化为斜率式即可得到答案.15.已知直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若，则_【答案】【解析】【分析】画出几何图像，建立几何关系，通过建立方程即可得到答案.【详解】解：由题意利用定义，结合其他几何性质可得抛物线的焦点，准线又直线过定点，因为，所以为中点，连接，所以设，所以，作，则垂足为的中点，设，则，求得、，所以，故答案为：【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质及学生的计算能力，难度中等.16.某工厂现将一棱长为的正四面体毛坯件切割成一个圆柱体零件，则该圆柱体体积的最大值为_【答案】【解析】【分析】找出正四面体中内接圆柱的最大值的临界条件，通过体积公式即可得到答案.【详解】解：圆柱体体积最大时，圆柱的底面圆心为正四面体的底面中心，圆柱的上底面与棱锥侧面的交点在侧面的中线上正四面体棱长为，设圆柱的底面半径为，高为，则由三角形相似得：，即，圆柱的体积，当且仅当即时取等号圆柱的最大体积为故答案为：【点睛】本题主要考查学生空间想象能力,以及分析问题的能力，基本不等式的运用,难度较大.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知分别是的三个内角的对边，若，角是最小的内角，且（）求的值；（）若的面积为42，求的值【答案】() ;() .【解析】【分析】()由正弦定理，三角形内角和定理可得，结合，整理可得，又，利用同角三角函数基本关系式可求的值 ()由()及三角形的面积公式可求的值，利用同角三角函数基本关系式可求的值，根据余弦定理可求的值【详解】() 由、，及正弦定理可得：，由于，整理可得：，又，因此得：()由()知，又的面积为42，且，从而有，解得，又角是最小的内角，所以，且，得，由余弦定理得，即【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想。18.如图，在多面体中，平面，平面平面，是边长为2的等边三角形，（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】(1)通过面面垂直的判定转化为线面垂直，进而转化为线线垂直从而证明;(2)建立空间直角坐标系，利用法向量计算即可.【详解】证明：（1）取中点，连结， ，平面，平面平面，平面平面，平面，平面，又，四边形是平行四边形，是等边三角形，平面，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，平面平面解：（2）由（1）得平面，又，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，取，得，设平面与平面所成锐二面角的平面角为，则平面与平面所成锐二面角的余弦值为【点睛】本题主要考查学生的空间想象能力及计算能力,难度不大.建立合适的空间直角坐标系是解决本题的关键.19.已知椭圆的离心率为，且过点（）求椭圆的标准方程；（）设为椭圆的左、右顶点，过的右焦点作直线交椭圆于两点，分别记，的面积为，求的最大值【答案】（）（）4【解析】【分析】（）根据椭圆中相关量的几何性质即可算出椭圆的标准方程；（）设直线，直曲联立，得到维达定理，进而表示出相关量，从而算出最大值.【详解】解：（）根据题意可得：，解得：故椭圆的标准方程为：（）由（）知，当直线的斜率不存在时，于是；当直线斜率存在时，设直线，设，联立，得，于是当且仅当时等号成立，此时的最大值为4综上，的最大值为4【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的相关计算，直线与圆锥曲线的位置关系，以及基本不等式问题,主要考查学生的计算能力和转化能力.20.某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过的包裹收费10元；重量超过的包裹，除收费10元之外，超过的部分，每超出（不足，按计算）需再收5元该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如表：包裹重量（单位：kg）12345包裹件数43301584公司对近60天，每天揽件数量统计如表：包裹件数范围0100101200201300301400401500包裹件数（近似处理）50150250350450天数6630126以上数据已做近似处理，并将频率视为概率（1）计算该公司未来3天内恰有2天揽件数在101400之间的概率；（2）估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，工资100元公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利？【答案】(1)；(2)(i)15元；(ii)答案见解析.【解析】试题分析：先计算出包裹件数在之间的天数为，然后得到频率，估计出概率，运用二项分布求出结果(2)运用公式求出每件包裹收取的快递费的平均值(3)先将天数转化为频率，分别计算出不裁员和裁员两种情况的利润，从而作出比较解析：（1）样本包裹件数在之间的天数为，频率，故可估计概率为，显然未来天中，包裹件数在之间的天数服从二项分布，即，故所求概率为.（2）（i）样本中快递费用及包裹件数如下表：包裹重量（单位：）快递费（单位：元）包裹件数故样本中每件快递收取的费用的平均值为（元），故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为元.（ii）根据题意及（2）（i），揽件数每增加，可使前台工资和公司利润增加（元），将题目中的天数转化为频率，得包裹件数范围包裹件数（近似处理）天数频率若不裁员，则每天可揽件的上限为件，公司每日揽件数情况如下：包裹件数（近似处理）实际揽件数频率 故公司平均每日利润的期望值为（元）；若裁员人，则每天可揽件的上限为件，公司每日揽件数情况如下：包裹件数（近似处理）实际揽件数频率 故公司平均每日利润的期望值为（元）.因，故公司将前台工作人员裁员人对提高公司利润不利.点睛：本题考查了频率和概率、平均值的实际应用，计算出频率来估计概率的取值，运用二项分布求出事件概率，在比较裁员与不裁员的情况下分别算出期望值，来比较利润的大小，从而为作出决策提供依据。21.已知函数（1）若函数有两个零点，求的取值范围；（2）证明：当时，关于的不等式在上恒成立【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）可得m=lnx-x令g（x）=lnx-x，可得g（x）在（0，1）单调递增，在（1，+）单调递减，则mg（1）=-1即可，（2）f（x）+（x-2）ex0，可得m（x-2）ex+lnx-x设h（x）=（x-2）ex+lnx-x，x，；，设设，使得，即，x0=-lnx0，设，可得，即当时，即可【详解】（1）令，；令， 令，解得，令，解得， 则函数在上单点递增，在上单点递减，。要使函数有两个零点，则函数的图像与有两个不同的交点。则，即实数的取值范围为。 （2），；设，； 设，则在上单调递增. 又，.，使得，即，. 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减. .设，.当时，恒成立，则在上单调递增，即当时，. 当时，关于的不等式在上恒成立.【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，属于中档题请考生在22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为；直线的参数方程为 （为参数），直线与曲线分别交于两点（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若点的极坐标为，求的值【答案】(1) 曲线的直角坐标方程为即，直线的普通方程为；（2）.【解析】【分析】（1）利用代入法消去参数方程中的参数，可得直线的普通方程，极坐标方程两边同乘以