江苏苏州外国语学校高二数学上学期自主学习检查一

江苏省苏州市外国语学校2019-2020学年高二数学上学期自主学习检查试题（一）（含解析）一、单选题（每题 5 分，共计 60 分）1.已知a，b，c，dR，则下列不等式中恒成立的是（）A. 若ab，cd，则acbdB. 若ab，则C. 若ab0，则（ab）c0D. 若ab，则acbc【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质判断【详解】当时，A不成立；当时，B不成立；当时，C不成立；由不等式的性质知D成立故选D【点睛】本题考查不等式的性质，不等式的性质中，不等式两边乘以同一个正数，不等式号方向不变，两边乘以同一个负数，不等式号方向改变，这个性质容易出现错误：一是不区分所乘数的正负，二是不区分是否为02.不等式x2+ax+40对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）A. （4，4）B. （，4）（4，+）C. （，+）D. 【答案】A【解析】【分析】根据二次函数的性质求解【详解】不等式x2+ax+40对任意实数x恒成立，则，故选A【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立问题，解题时可借助二次函数的图象求解3.设数列的通项公式为，则（ ）A. 153B. 210C. 135D. 120【答案】A【解析】【分析】根据数列的通项公式，判断数列为等差数列，并求得数列的前3项均小于，从第4项起均大于，对所求式子去掉绝对值，利用等差数列前项和，求得式子值.【详解】因为，所以数列是均小于，均大于的等差数列，所以.选A.【点睛】本题考查数列中的基本量法求数列的前项和，解题的关键在于判断各项的正负.4.若实数满足，则的最大值是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据，将等式转化为不等式，求的最大值.【详解】,，解得，的最大值是.故选B.【点睛】本题考查了基本不等式求最值，属于基础题型.5.已知数列成等差数列，成等比数列，则A. 1B. C. -D. 【答案】B【解析】【分析】利用等差中项和等比中项的概念来计算、的值.【详解】因为成等差数列，所以，所以；因为成等比数列，所以，且和的正负号相同，则.所以.故选：B.【点睛】本题考查等差中项和等比中项的计算，难度较易.一般的，若成等差数列，则称是与的等差中项；若成等比数列，则称是与的等比中项.6.已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则（ ）A. B. C. D. 15【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的性质以及前项和公式，逆向构造得，从而求出其比值.【详解】因为,故答案选.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质应用，以及前项和公式的应用，属于中档题.7.关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】把不等式化为，分类讨论和，求出不等式的解集，再根据不等式的解集中恰有两个整数，确定的取值范围。【详解】不等式，即，若，不等式解集为；若，不等式解集为，要保证恰含有两个整数，则或，所以正确选项为C。【点睛】本题主要考查含参数的一元二次不等式的解法，分类讨论是解决本题的关键。8.已知等差数列an的前n项和为Sn，若，则=（）A. B. 1C. D. 【答案】B【解析】【详解】等差数列an中，故选B9.九章算术中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺蒲生日自半，莞生日自倍问几何日而长等？意思是：今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍若蒲、莞长度相等，则所需时间为（）（结果精确到0.1参考数据：lg20.3010，lg30.4771）A. 2.6天B. 2.2天C. 2.4天D. 2.8天【答案】A【解析】【分析】设蒲的长度组成等比数列an，其a13，公比为，其前n项和为An莞的长度组成等比数列bn，其b11，公比为2，其前n项和为Bn利用等比数列的前n项和公式及其对数的运算性质即可得出【详解】设蒲的长度组成等比数列an，其a13，公比为，其前n项和为An莞的长度组成等比数列bn，其b11，公比为2，其前n项和为Bn则An，Bn，由题意可得：，化为：2n7，解得2n6，2n1（舍去）n12.6估计2.6日蒲、莞长度相等，故选：A【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式在实际中的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10.设等差数列的前项和为，公差为，已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】用等差数列的前项和公式代入分类讨论.【详解】由得 化简：，即，又因为，所以，所以符号相反.若，则，所以，；若，则，所以，.综上，故选B.【点睛】本题考查等差数列的综合应用.11.设正实数满足，则当取得最大值时， 的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先利用基本不等式分析取得最大值的条件，然后再去计算的最大值.【详解】因为，所以，且，则，即，取等号时有：，且；，当且仅当时取得最大值：，故选：B.【点睛】本题考查基本不等式以及二次函数类型问题的最值，难度一般.注意基本不等式求解最值的时候，取等号的条件一定要判断好.12.数列中，且，则数列前2019项和为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由，可得，化为：，利用“累加求和”方法可得，再利用裂项求和法即可得解【详解】解：，整理得：，又，可得：则数列前2019项和为：故选：B【点睛】本题主要考查了数列递推关系、“累加求和”方法、裂项求和，考查了推理能力、转化能力与计算能力，属于中档题二、填空题（每题 4 分，共计 16 分）13.若不等式kx22x1k0对满足的所有k都成立，则x的取值范围为_【答案】【解析】【分析】原不等式可化为，设，则是关于的一次函数，且是单调函数，列出相应的不等式组，即可求解.【详解】原不等式可化，设，则是关于k的一次函数，且是单调函数，根据题意可得，即，解得，故x取值范围为【点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题的求解，对于不等式的恒成立问题，可通过构造新的函数，利用函数的单调性与最值求解是解答此类问题的关键，着重考查了转化思想和推理、计算能力.14.设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2an的最大值为 【答案】【解析】试题分析：设等比数列的公比为，由得，解得.所以，于是当或时，取得最大值.考点：等比数列及其应用15.已知函数，项数为的等差数列满足，且公差，若，则当（ ）时，【答案】.【解析】【分析】先分析函数的性质，利用函数性质来分析条件中所给的等式，然后得出结论.【详解】因为定义域为关于原点对称且，所以是奇函数；又因为在上单调递增，且且，则有：，则，所以.【点睛】本题考查数列与函数性质相结合的问题，难度一般.解答数列与函数的综合问题，一般都需要先分析函数的奇偶性和单调性，然后根据所给条件将问题转化为求解值或者范围的问题.16.已知，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】把整理为完全平方式，利用三角换元法可求.【详解】因为，所以令，解得，所以.因为，所以的最小值为.【点睛】本题主要考查多元变量的最值问题，主要处理策略是消元减参，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.三、解答题（共计 74 分）17.解关于的不等式【答案】时，解集为：或；时，解集为：；时，解集为：；时，解集为：；时，解集为： .【解析】【分析】先将不等式因式分解，然后再对参数分类讨论，最后求解不等式解集.【详解】因为，所以；当时，解得：；当时，若，解得：；若，解得：；若，解得：；若，解得：或；综上：时，解集为：或；时，解集为：；时，解集为：；时，解集为：；时，解集为： .【点睛】本题考查一元二次不等式的解法问题，难度一般.对于含有参数的一元二次不等式，如果在二次项上含有参数，一定要注意是否一定是一元二次；含参数时注意对参数分类讨论.18.设实数x，y满足若，求x的取值范围；若，求证：【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据等式，用x表示y，代入不等式中，通过分类讨论解不等式即可。（2）根据“1”的代换，结合基本不等式即可证明。【详解】由，得，所以不等式，即为，所以有或或解得 或或 ，所x的取值范围为，所以当且仅当，即时取等号又，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号【点睛】本题考查了含绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，属于中档题。19.某高科技公司研究开发了一种新产品，生产这种新产品的每天固定成本为元，每生产件，需另投入成本为元，每件产品售价为元（该新产品在市场上供不应求可全部卖完）（1）写出每天利润关于每天产量的函数解析式；（2）当每天产量为多少件时，该公司在这一新产品的生产中每天所获利润最大【答案】（1）；（2）每天产量为件时，该公司在这一新产品的生产中每天所获利润最大为.【解析】【分析】（1）根据（利润）（总售价）（总成本），将利润写成分段函数的形式；（2）计算利润的分段函数的每一段的最值，然后再进行比较求得利润最大值.【详解】（1）因为每件产品售价为元，所以件产品售价为元；当时， ；当时，；所以： ；（2）当时，当时有最大值；当时，取等号时，即时，有最大值；且，所以当每天产量为件时，该公司在这一新产品的生产中每天所获利润最大.【点睛】本题考查函数的实际应用，难度一般.求解分段函数的最值时，必须要考虑到每一段函数的最值，然后再比较每段最值的大小，取得最后的结果；运用基本不等式的时候，要注意取等号的条件.20.已知函数，且的解集为.（1）求函数的解析式；（2）解关于的不等式，；（3）设，若对于任意的都有，求的最小值.【答案】（1）（2）答案不唯一，具体见解析（3）1【解析】【分析】（1）根据韦达定理即可。（2）分别对三种情况进行讨论。（3）带入，分别对时三种情况讨论。【详解】（1）解集为可得1，2是方程的两根，则，（2）时，时，时，（3），为上的奇函数当时，当时，则函数在上单调递增，在上单调递减，且时，在时，取得最大值，即；当时，则函数在上单调递减，在上单调递减，且时，在时，取得最小值，即；对于任意的都有则等价于或（）则的最小值为1【点睛】本题主要考查了含参数的一元二次不等式，以及绝对值不等式，在解决含参数的不等式时首先要对参数进行讨论。本题属于难题。21.设数列前项和为, 满足 （1）求数列的通项公式；（2）令 求数列的前项和 ；（3）若不等式对任意的 恒成立，求实数 的取值范围【答案】（1）;（2）;（3）【解析】试题分析：（1）利用递推式与等比数列的通项公式即可得出；（2）bn=nan=2n4n1，利用“错位相减法”、等比数列前n项和公式即可得出（3）不等式nN*恒成立，化为a ，利用二次函数的单调性即可得出试题解析：解：（1） 两式相减，得 .所以，又，即是首项为，公比是的等比数列.所以 . （2） - ,得 故 （3）由题意，再结合（2），知 即 .从而设 ，.点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.22.已知常数且，在数列中，首项，是其前项和，且，.（1）设，证明数列是等比数列，并求出的通项公式；（2）设，证明数列是等差数列，并求出的通项公式；（3）若当且仅当时，数列取到最小值，求的取值范围【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析，；（3）.【解析】【分析】（1）令，求出的值，再令，由，得出，将两式相减得，再利用等比数列的定义证明为常数，可得出数列为等比数列，并确定等比数列的首项和公比，可求出；（2）由题意得出，再利用等差数列的定义证明出数列为等差数列，确定等差数列的首项和公差，可求出数列的通项公式；（3）求出数列的通项公式，由数列在时取最小值，可得出当时，当时，再利用参变量分离法可得出实数的取值范围.【详解】（1）当时，有，即，；当时，由，可得，将上述两式相减得，且，所以，数列是以，以为公比的等比数列，；（2）由（1）知，由