江苏省南通市通州区届高三数学下学期四月质量调研检测试题 (3)

江苏省南通市通州区2019届高三第二学期四月质量调研检测数学试题20194第I卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1.已知集合，则_【答案】【解析】【分析】利用交集定义直接求解【详解】由题意可知AB中的元素是2的整数倍，且在(-2,3)内， AB0，2故答案为：0，2【点睛】本题考查交集的求法及交集的定义，是基础题2.已知复数，其中为虚数单位，则复数的实部为_【答案】3【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【详解】z11+2i，z21i，z1z2（1+2i）（1i）3+i，复数z1z2的实部为3，故答案为：3【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3.如图是一个算法的伪代码，若输入的值为3时，则输出的的值为_【答案】15【解析】【分析】由于输入的x的值是3，符合y2x2x，代入计算即可得解【详解】由题意，本题是一个条件型的程序，若x0，y2x，否则y2x2x，由于输入的x的值是3，由03，可得：y232315，则输出y的值是15故答案为：15【点睛】本题考点是伪代码，考查读懂一些简单程序的能力，对程序语句的了解是解题的关键，属于基础题4.某同学近5次考试的数学附加题的得分分别为30，26，32，27，35，则这组数据的方差为_【答案】【解析】【分析】先求出某同学近5次考试的数学附加题的得分平均数，由此能求出这组数据的方差【详解】某同学近5次考试的数学附加题的得分分别为30，26，32，27，35，某同学近5次考试的数学附加题的得分平均数为：（30+26+32+27+35）30，则这组数据的方差为：S2（3030）2+（2630）2+（3230）2+（2730）2+（3530）2故答案为：【点睛】本题考查方差的求法，考查平均数、方差的公式，考查运算能力，是基础题5.设不等式的解集为，在区间上随机取一个实数，则的概率为_【答案】【解析】【分析】求解对数不等式得x的范围，再由测度比是长度比得答案【详解】由log2x1，得0x2在区间3，5上随机取一个实数x，则xD概率为故答案为：【点睛】本题考查几何概型概率的求法，考查对数不等式的解法，是基础题6.已知圆锥的底面面积为，侧面积为，则该圆锥的体积为_【答案】【解析】【分析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由圆柱的侧面积、圆面积公式列出方程组求解，代入柱体的体积公式求解【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则，解得r，l，所以高h2，所以V故答案为：【点睛】本题考查圆柱的侧面积、体积公式，考查了方程思想，属于基础题7.设等差数列的前项和为，若，则的值为_【答案】21【解析】【分析】由a20得a1d，代入S3+S4，可得d3，将所求用通项公式表示，计算即可得到结果【详解】因为数列an是等差数列，a20则a1d，所以S3+S47a1+9d2d6，即d3所以a5+a62a1+9d7d3721故答案为：21【点睛】本题考查了等差数列的前n项和公式，通项公式，属于基础题8.已知，则的值为_【答案】-2【解析】【分析】通过正切的二倍角公式可求tan的值，再将分子分母同时除以cos，得到关于tan的式子，代入tan的值，即可计算出结果【详解】tan或tan，又，tan且cos，故答案为：-2.【点睛】本题主要考查二倍角公式及同角基本关系式的应用，考查了弦化切的技巧，属于基础题9.在平面直角坐标系xoy中，已知双曲线 (，)的右焦点为，左顶点为，过点且垂直于轴的直线与双曲线交于P，Q两点若，则双曲线的离心率为_【答案】2【解析】【分析】令xc，代入双曲线方程求得P，Q的坐标，可得三角形APQ为等腰直角三角形，可得|AF2|PQ|，化简整理，由离心率公式可得所求值【详解】右焦点为F2（c，0），左顶点为A（a，0），令xc，代入双曲线中，可得yb，可设P（c，），Q（c，），由APAQ，可得三角形APQ为等腰直角三角形，可得|AF2|PQ|，即a+c，化为caa，即c2a，e2故答案为：2【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查等腰直角三角形的性质，考查了化简运算能力，属于基础题10.已知函数满足，且对任意实数都有，则的值为_【答案】0【解析】【分析】根据题意可得f（x）（x+a）3+1，进而可得f（x）+f（2x）变形分析可得a的值，即可得函数的解析式，将x0代入计算可得答案【详解】根据题意，函数f（x）满足f（xa）x3+1，则f（x）（x+a）3+1，则f（2x）（2x+a）3+1，若对任意实数x都有f（x）+f（2x）2，则有f（x）+f（2x）（x+a）3+1+（2x+a）3+12，变形可得（x+a）3+（2x+a）30，所以有：x+a=（2x+a），可得a1，则f（x）（x1）3+1，则f（0）（01）3+1（1）+10；故答案为：0【点睛】本题考查函数解析式的求解及函数值的计算，关键是求出a的值11.在梯形中，若，则的值为_【答案】7【解析】【分析】用表示出各向量，根据3，计算，再计算的值【详解】ABCD，AB4，CD2，（）（）3，即93，4又，（）927故答案为：7【点睛】本题考查了平面向量的基本定理的应用，考查了数量积的运算性质的应用，属于中档题12.若，且，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】由a2+2ab3b21得（a+3b）（ab）1，再换元令xa+3b，yab，然后利用基本不等式可得【详解】由a2+2ab3b21得（a+3b）（ab）1，令xa+3b，yab，则xy1且a，b，所以a2+b2（）2+（）2，当且仅当x2，y2时取等故答案为【点睛】本题考查了基本不等式及其应用，考查了换元法的技巧，属于中档题13.在平面直角坐标系中，的外接圆方程为，边的中点关于直线y=x+2的对称点为，则线段长度的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据题意，由圆心角定理分析可得AOB，进而可得|OM|1，据此可得M的轨迹；进而分析可得点N的轨迹，结合点与圆的位置关系分析可得答案【详解】由，知，所以，所以点的轨迹方程为.则M在以O为圆心，半径为1的圆上，设，因为，关于直线的对称，所以解得代入得，则点N的轨迹为以（2，2）为圆心，半径为1的圆，设P（2，2），则|OP|2，则有21|ON|21， 所以线段长度的取值范围是.【点睛】本题考查直线与圆的综合应用，涉及直线与圆的位置关系及对称问题，属于综合题14.已知函数，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】将问题中的不等式进行参数分离，得到构造函数h(x),求导分析h(x)的单调性及极值，结合题意求得满足条件的a的范围.【详解】由，可得，设，则.令 ，则，所以在上单调递增.由于，所以，所以在单调递减：在单调递增.要使不等式的解集中恰有两个整数，即的解集中恰有两个整数，必须解集中的两个整数为2和3.所以，解得.【点睛】本题考查了利用导数研究其单调性与极值及其函数的性质，考查了方程与不等式的解法及零点存在性定理，考查了构造方法及推理能力与计算能力，属于难题二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知函数（1）若，求函数的值域；（2）在中，已知为锐角，求边的长【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简f（x），利用正弦函数的性质可求其值域（2）由（1）可知sin（C），由范围C（，），可求C的值，根据正弦定理可得BC的值【详解】（1）sin2xsin（2x）， x0，2x，sin（2x）1，即函数f（x）的值域是，1.（2）由（1）可知sin（C），C为锐角，C（，），C，可得：C在ABC中，AB3，A，由正弦定理可得：，即：， 解得.【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的性质以及正弦定理的应用，考查了转化思想，属于中档题16.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面平面，点为上一点（1）若平面，求证：点为中点；（2）求证：平面平面【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）连接AC交BD于O，连接OM，由PA平面MBD证明PAOM，利用平行四边形证明M是PC的中点；（2）ABD中利用余弦定理求出BD的值，判断ABD是Rt，得出ABBD，再由题意得出BDCD，证得BD平面PCD，平面MBD平面PCD【详解】（1）连接AC交BD于O，连接OM，如图所示；因为PA平面MBD，PA平面PAC，平面PAC平面MBDOM，所以PAOM；因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是AC中点，所以M是PC的中点；（2）ABD中，AD2，AB1，BAD60，所以BD2AB2+AD22ABADcosBAD3，所以AD2AB2+BD2，所以ABBD；因为四边形ABCD是平行四边形，所以ABCD，所以BDCD；又因为平面PCD平面ABCD，且平面PCD平面ABCDCD，BD平面ABCD，所以BD平面PCD；因为BD平面MBD，所以平面MBD平面PCD【点睛】本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，考查了线面平行的性质定理与面面垂直的判定定理，是中档题17.某公司代理销售某种品牌小商品，该产品进价为5元/件，销售时还需交纳品牌使用费3元/件，售价为元/件，其中，且根据市场调查，当，且时，每月的销售量（万件）与成正比；当，且时，每月的销售量（万件）与成反比已知售价为15元/件时，月销售量为9万件（1）求该公司的月利润（万件）与每件产品的售价（元）的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，该公司的月利润最大？并求出最大值【答案】（1）；（2）每件产品的售价为11元时，该公司的月利润最大，且最大值为147万元.【解析】【分析】（1）根据h（15）9分别求出h（x）在不同区间上的解析式，再得出f（x）的解析式；（2）利用导数判断f（x）的单调性，结合换元法分别求出f（x）在不同区间上的最大值，比较得出f（x）的最大值及对应的x的值【详解】（1）（，）， ，因为当时，代入上述两式可得，.所以.（2）当，时，所以，令，得.列表如下：因为，且，所以当时，取最大值147.当，时，令，则，即（，）.因为，所以在且上单调递增，所以当时，取最大值99，此时.综上，当时，取最大值147.所以当每件产品的售价为11元时，该公司的月利润最大，且最大值为147万元.【点睛】本题考查了分段函数解析式的求解，分段函数最值的计算，考查了利用导数研究函数单调性并求解函数最值的方法，属于中档题18.如图，在平面直角坐标系中，椭圆 ()的短轴长为2，椭圆上的点到右焦点距离的最大值为过点作斜率为的直线交椭圆于，两点（，），是线段的中点，直线交椭圆于，两点（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求的值；（3）若存在直线，使得四边形为平行四边形，求的取值范围【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由题意列出关于a，b，c的方程，解得a，b则可得椭圆的方程.（2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理可得D的坐标，进而得到直线的方程，再与椭圆的方程联立，可得M的的坐标，代入已知的向量关系式中，解得k即可.（3）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及，得到关于m与k的不等关系式，再将四边形为平行四边形转化为向量关系，得到m与k的等量关系，代入不等式消去k可得m的范围.详解】（1）由条件，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）当时，直线的方程为，设 ，由消去得：.因为点在椭圆内，所以.所以，所以.所以，直线的方程为：.由消去得：，所以 .因为，所以，因为，解得.（3）直线的方程为，由消去得：.所以，即（*），且，所以.因为，关于原点对称，由（2）易知，.由四边形为平行四边形，所以，可得，即.由于将代入（*）式恒成立，所以当时，因为，所以.【点睛】本题考查椭圆的标准方程求法，考查了韦达定理、向量加法的平行四边形法则的应用，考查了运算能力及转化能力，属于较难题19.已知函数，（1）若直线与函数的图象相切，求实数的值；（2）若存在，使，且，求实数的取值范围；（3）当时，求证：【答案】（1）；（2）；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）由f（x0）可得切线方程为：y（）x+lnx0，与直线y2x完全相同，可得2，lnx00即可得出a（2）设t（x）exx，xRt（x）ex1，利用导数研究其单调性可得0是函数t（x）的极小值点，可得再由g（x2）0，解得x2，可得x1的范围从而问题可转化为函数f（x）lnxax+1在x（1，+）上有零点由f（x）a对a分类讨论，研究其单调性即可得出（3）构造函数F（x）x2+g（x）f（x），利用导数研究其单调性极值与最值即可得出【详解】（1）设切点坐标为，由，得，所以切线方程为：，即.因为直线与函数的图象相切，所以，解得.（2）设，则，令，得，且当时，：当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在时取得极小值为0，即.由，可得，所以即为，由题意可得：函数在上有零点.因为，当时，函数在上单调递增，所以，函数在上无零点：当时，令，得.若，即时，在上恒成立，所以函数在上单调递减，所以，函数在上无零点：若，即时，当时，：当时，.所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，因为，所以函数在上无零点：又，令，则在上恒成立，所以在上单调递增，所以，即，所以，且在的图象连续不断，所以函数在上有且只有一个零点，即函数在上有零点.综上所述，.（3）当时，令 ，则，令，则当时，所以函数在区间上是增函数，又，所以函数存在唯一的零点，且当时，；当时，.所以当时，；当时，.所以函数在上递减，在上递增，故，由得：，两边取对数得：，故，所以，即.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题20.已知数列的各项均为正数，前项和为，首项为2若对任意的正整数，恒成立（1）求，；（2）求证：是等比数列；（3）设数列满足，若数列，（，）为等差数列，求的最大值【答案】（1）,，；（2）详见解析；（3）3.【解析】【分析】（1）由题意利用赋值法，对m，n进行赋值，可得a2，a3，a4；（2）取m1，得，取m2，得两式相除，得，（nN*）结合，可得Sn+2是首项为4，公比为2的等比数列，求得进一步求得利用定义证得an是等比数列；（3）由（2）知，设，成等差数列，则.得到，分tr+1和tr+2两类分析得答案【详解】（1）由，对任意的正整数，恒成立取，得，即，得.取，得，取，得，解得，.（2）取，得，取，得，两式相除，得，即，即 .由于，所以对任意均成立，所以是首项为4，公比为2的等比数列，所以，即.时，而也符合上式，所以 .因为（常数），所以是等比数列.（3）由（2）知，.设，成等差数列，则.即，整理得，.若，则，因为，所以只能为2或4，所以只能为1或2.若，则.因为，故矛盾.综上，只能是，成等差数列或，成等差数列，其中为奇数.所以的最大值为3.【点睛】本题考查了数列递推式的应用，考查了等比数列的证明及数列的函数特性，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属于难题第II卷（附加题，共40分）【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤21.已知矩阵的两个特征值为，求直线在矩阵对应变换作用下的直线的方程【答案】【解析】【分析】本题先写出矩阵M的特征多项式，然后将两个特征值12，23代入特征多项式等于0，可得a、b的值然后根据题意设P（x，y）是直线l上任意一点，在矩阵M对应的变换作用下得到点P（x，y），则P在直线l上根据变换可用x，y表示出x，y，然后代入到直线l：xy+20方程中可得到曲线l的方程【详解】矩阵的特征多项式，由于矩阵的两个特征值为，所以，解得，所以.设直线上任意一点，在矩阵对应变换作用下点，则，即， 所以解得因为点在直线上，所以，即，所以变换后的直线的方程为.【点睛】本题主要考查根据特征值与特征多项式的相关概念得出矩阵中的参数，以及一条直线在矩阵对应的变换作用下得到的曲线问题，属于中档题22.在极坐标系中，已知圆的方程为，直线的方程为若直线与圆相切，求实数的值【答案】或【解析】【分析】先把直线与圆极坐标方程化成直角坐标方程，再根据相切，利用圆心到直线的距离等于半径，列方程可解得【详解】由，得，所以圆的直角坐标方程为.由，得，所以直线的直角坐标方程为.因为直线与圆相切，所以，解得或.【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查了直线与圆的关系，属于中档题23.设函数（1）求函数的最大值；（2）若存在，使成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）利用分类讨论法去掉绝对值，即可求出函数f（