三角函数的定义与三角变换教案示例

三角函数的定义与三角变换重点：任意角的三角函数定义难点：三角变换公式的应用内容安排说明及分析：本部分内容分为两大块，一块是三角的基础与预备知识，另一块是三角变换公式及其应用。把三角变换公式提到三角函数图象与性质之前来复习，其目的是突出“工具提前”的原则。即众多的三角变换公式是解决三角学中一系列典型问题的工具，也是进一步研究三角函数的图象和性质的重要工具。由于本部分内容的基础性与工具性，这是高中数学的重要内容之一，因此，最近几年的高考试题中占有一定的比例，约占13%左右。有试题多为选择题，有时也有解答题，难度多为容易题与中等题。知识要点及典型例题分析：一、三角函数的定义1角的概念（1）角的定义及正角，负角与零角（2）象限角与轴上角的表达（3）终边相同的角（4）角度制（5）弧度制2任意角的三角函数定义任意角的6个三角函数定义的本质是给角这个几何量以代数表达。借助直角坐标系这个工具，把角放进直角坐标系中完成的。由任意角的三角函数定义直接可以得到：（1）三角函数的定义域（2）三角函数值在四个象限中的符号（3）同角三角函数的关系（4）单位圆中的三角函数线：要充分利用三角函数线在记忆三角函数性质与公式以及解决三角函数问题中的作用。3诱导公式总共9组共36个公式，记忆口决为“奇变偶不变，符号看象限”，并弄清口决中的字词含义，并根据结构总结使用功能。“奇变”是指所涉及的轴上角为的奇数倍时（包括4组：a，a）函数名称变为原来函数的余函数；其主要功能在于：当需要改变函数名称时，比如：由于“和差化积”公式都是同名函数的和差。使用时，对于不同名的函数先化为同名函数，又如：复数化三角形式，有时也需要改变函数名称，如：sina-icosa=cos(+a)+isin(+a)。“偶不变”是指所涉及的轴上角为的偶数倍时（包括5组：2kp+a, pa, 2p-a, -a）, 函数名称不变，其主要功能在于：求任意角的三角函数值，化简及某些证明问题。二、典型例题分析：例1（1）已知-ab, 求a+b与a-b的范围。（2）已知a的终边在第二象限，确定p-a所在象限。解：（1）-ab, -pa+bp，-pa-b0.（2）有两种思路：其一是先把a的终边关于x轴对称放到-a的终边（在第三象限），再将-a的终边按逆时方向旋转p放到p-a的终边即-a的终边的反向延长线，此时p-a的终边也在第二象限。思路2：是先把a的终边（第二象限）按顺时针方向旋转p，得到a+(-p)（第四象限），再将它关于x轴对称得到-(a-p)=p-a的终边，此时也在第一象限。例2若A=x|x=, kZ, B=x|x=+, kZ, 则A _B。解：由B中的x=+=可视为的奇数倍所构成的集合。 而A中的x=是的所有奇数倍，因此AB。例3设0q2p, 问5q与角q终边相同，求q。解：由已知 5q=2kp+q, kZ,有q=， 0q2p, k=1时，q=；k=2时，q=p；k=3时，q=.例4若=ctgq-cscq，求q取值范围。解：先看一看右边=ctgq-cscq=-=，这样就决定了左边的变形方向。=，=， q无解， 不存在这样的q使所给等式成立。例5已知sin(p-a)-cos(p+a)=, ap. 求：（1）sina-cosa的值 （2）sin3(+a)+cos3(+a)的值解：（1）由已知，得sina+cosa=,平方得：1+2sinacosa=, 2sinacosa=-, ap, sina-cosa=.（2）sin3(+a)+cos3(+a)=cos3a-sin3a=(cosa-sina)(cos2a+sinacosa+sin2a)=-(1-)=-.例6已知sin(a-p)=2cos(a-2p),求下列三角函数的值：（1） （2）1+cos2a-sin2a.解：由已知：-sina=2cosa，有 tga=-2, 则（1）原式=-。（2）1+cos2a-sin2a=.评述：对于形如为关于sina与cosa的一次分式齐次式，处理的方法，就是将分子与分母同除以cosa，即可化为只含tga的式子。而对于1+cos2a-sin2a属于关于sina与cosa的二次齐次式。即sin2a+2cos2a-5sinacosa. 此时若能将分母的“1”用sin2a+cos2a表示的话，这样就构成了关于sina与cosa的二次分式齐次式，分子分母同除以cos2a即可化为只含有tga的分式形式。例7求函数y=+logsinx(2sinx-1)的定义域。解：使函数有意义的不等式为： 将上面的每个不等式的范围在数轴上表示出来，然后，取公共部分，由于x-5,5，故下面的不等式的范围只取落入-5，5之内的值，即因此函数的定义域为：-5,-)(-,-)()()。例8求证：=.证法一（左边化弦后再证等价命题）左边=要证 =只需证：(1+sina+cosa)cosa=(1-sina+cosa)(1+sina)左边=cosa+sinacosa+cos2a右边=1-sin2a+cosa+cosasina=cos2a+cosa+sinacosa左边=右边，原等式成立。或证等价命题：-=0证法二（利用化“1”的技巧）左边=seca+tga=右边。证法三（利用同角关系及比例的性质）由公式 sec2a-tg2a=1(seca-tga)(seca+tga)=1=.由等比定理有：=seca+tga=.证法四（利用三角函数定义）证seca=, tga=, sina=, cosa=.然后代入所证等式的两边，再证是等价命题。其证明过程同学自己尝试一下。评述：证明三角恒等式的实质，就是逐步消除等号两边结构差异的过程，而“消除差异”的理论依据除了必要三角公式以外，还需要有下列等式的性质：(1)若A=B，B=C则A=C（传递性）(2)A=BA-B=0(3)A=B=1 (B0)(4)= AD=BC (BD0)(5)比例：一些性质，如等比定理：若=，则=。1如果q是第二象限角，则所在的象限是（）A、第一象限 B、第一或第三象限 C、第二象限 D、第二或第四象限2在下列表示中正确的是（）A、终边在y轴上的角的集合是a|a=2kp+, kZB、终边在y=x的直线上的角的集合是a|a=kp+, kZC、与(-)的终边相同的角的集合是a|a=kp-, kZD、终边在y=-x的直线上的角的集合是a|a=2kp-, kZ3若pqp, 则等于（）A、sin(q-p) B、-sinq C、cos(p-q) D、-cscq4函数y=2sin()在p，2p上的最小值是（）A、2 B、1 C、-1 D、-25已知函数y=cos(sinx)，下列结论中正确的是（）A、它的定义域是-1，1 B、它是奇函数；C、它的值域是0, 1 D、它是周期为p的函数6设0x，下列关系中正确的是（）A、sin(sinx)sinxsin(tgx) B、sin(sinx)sin(tgx)sinxC、sin(tgx)sinxsin(sinx) D、sinxsin(tgx)B B、AB C、Acosx成立的x取值范围为（ ）。 A、 B、 C、 D、解：在内，sinxcosx，在内sinxcosx；在内，sinxcosx；综上， 应选C。2（2001年全国） 的值为（ ）。 A、 B、 C、 D、解： 应选B。3（1998年全国）已知点P(sina-cosa,tga)在第一象限，则在0，2p内a的取值范围是（ ）。 A、 B、 C、 D、解：由题设，有 在0，2p）的范围内，在同一坐标系中作出y=sinx和y=cosx的图像，可在a时，sinacosa。 a 应选B。4（1998年全国）sin600的值是（ ）。 A、 B、 C、 D、解：sin600=sin(360+240)=sin240 =sin(180+60)=-sin60 = 应选D。北 京 四 中科 目：数 学 年 级：高 三 责 编：辛文升撰 稿：徐晓阳 编 审：石小燕 录 入：刘红梅高三数学第二学期开学测试（03.2）一、选择题：（每小题5分，共60分）1函数f(x)=的定义域为A，函数g(x)=的定义域为B，若AB=，则实数a的取值范围是（ ）。 A、a|-1a3 B、a|-2a4 C、a|-2a4 D、a|-1a32三个数60.7, 0.76, log0.76的大小顺序是（ ）。 A、0.76log0.7660.7 B、0.7660.7log0.76 C、log0.7660.70.76 D、log0.760.76x20,m、n、p的大小关系是（ ）。 A、mnp B、nmp C、npm D、pnm二、填空题：（每小题4分，共16分）13若，且a0，则a=_。14正方形ABCD与CDEF组成一个二面角，对角线AC与面CDEF成30角，则二面角A-CD-E的大小是_。15若椭圆与圆2相交，则椭圆的离心率的取值范围是_。16从5双不同的鞋子中任取4只，4只中至少有两只配成一双的取法种数是_。三、解答题：17（本小题12分）已知：函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且在(0, +)上是增函数。（1）判断y=f(x)在(-,0)上单调性，并加以证明；（2）若，求：不等式的解。18（本小题12分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，且，求的值。19（本小题12分）已知：正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高是底面边长的2倍，M是侧棱DD1的中点，（1）求证：B1M平面ACM；（2）求：直线BD1与平面ACB1所成的角；（3）求：平面ACB1与平面A1C1B所成的角的大小（文科生只求三角函数值）。20（本小题12分）某种射线在通过平板玻璃时，每经过1mm的厚度其强度衰减为原来的a%。实验发现将10块1mm厚的平板玻璃叠加，该射线通过这10块玻璃后的射线强度与通过一块11mm厚的平板玻璃后的射线强度相同，这种现象说明每两块玻璃之间的缝隙也有衰减，为不高于通过一块20mm厚的平板玻璃后的射线强度，至少需要多少块1mm厚的平板玻璃叠加？（注：假设每两块平板玻璃之间的缝隙相同，可设每通过一个缝隙后射线强度衰减为原来的x%）。21（本小题12分）已知：数列an和bn满足条件：，, （1）求：数列an的通项公式；（2）求：。22（本小题14分）双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，A、B为它右支上不同于顶点的两点，M、N分别为AF1F2、BF1F2的内切圆圆心。（1）设圆M和F1F2相切于点P，求证：|PF1|-|PF2|=2a;（2）求证：直线MN和y轴平行；（3）如果点F2在线段AB上，直线AB的倾斜角的正弦值为，且，求此双曲线的方程。本周学习内容：测试讲评、提要求重点：1、引导同学正确看待测试（淡化对分数、名次的计较），侧重于发现学习中存在的问题，正确定位自己确立现阶段学习目标，措施，通过对概念符号、方法的真正理解和方法体系的归纳总结实现学习上的稳步提高；2、应试策略的训练（中场，后二十分钟的心态调整），应试心理调适，树整体、阶段性观念，克服焦虑情绪。测试讲评一、选择题：题号123456789101112答案DDABBBAABDBB1依题设可解得 即如图示，可知，解得：。点评：此题很容易，但易错，开、闭区间交为空，端点的取舍，有同学错选为A:(-1,3).3由又由定义域：xR且且，故选A。点评：解决三角问题的策略：函数、方程，此题函数，故正确方向：先再切弦；关注定义域。7依题设，y=kx+b, 过(a, 0)则 ak+b=0，故可排除D，又由，可得：p2(k2+1)=b2=a2k2点评：此题较为灵活，难点是开始不能确定如何下手，其实认真读懂题稍用批判意识即可得选项：a=b=0呢？8法一：特例检测法。举自然数列n其中1、2、4满足题设要求，（还有2，4，8等）可算出A。法二：依题设 , d0, 故可得 代入式即可求解。10选D，法一，补法。如左图， D、E均为中点，延长B1D，C1E，A1A，三线必交于一点A2,可证明A2A=AA1。设三棱柱ABC-A1B1C1体积为V，则由，计算可得，故；或直接分析V2是V3的7倍，2V是V2+V3的3倍，口算解得。法二：割法。提示：分割台体ADE-A1B1C1为三份，算出每份间的关系，再算出与V间的关系。12选B。从函数的凸性，知f(x)下凸，中值的函数值小于函数值的中值，故nm.又由及f(x)单调性知，mp。二、填空题：1321445或135151613015由图示可知，三边同除以a可得，解不等式组 可得。点评：此题选方法很重要，若选用直接解方程组，则十分费力。解析几何问题一定要多立足于图形，认真挖掘性质，再辅以代数表达式求解。三、解答题：17解：（1）f(x)在(-,0)上单调增，任取x1, x2(-,0)，令x1-x20 依题设 f(x)在(0,+)上增， f(-x1)f(-x2), 又 f(x)为奇函数， -f(x1)-f(x2), f(x1)a).则|F1P|+|F2P|=2C，由（1），|F1P|=C+a,|F2P|=C-a,|F1P|F2P|,点P在OF2上， 点P为双曲线右顶点，坐标为(a,0), MPx轴， M点横坐标为a, 同理可证得N点横坐标为a，直线MN/y轴。（3）设AB倾斜角为a，则。如图，连结MF2，NF2，则依题设，MF2，NF2分别平分AF2F1，BF2F1，又 |F2P|=C-a, |NP|=(C-a), , ， ， C-a=2, 又 C2-a2=20, a=4, 双曲线方程为：。北 京 四 中科 目：数 学 年 级：高 三 责 编：辛文升撰 稿：肖 瑜 编 审：石小燕 录 入：刘红梅数学归纳法重点难点分析：1了解数学归纳法的原理，明确数学归纳法是一种只适用于与自然数有关的命题的证明方法；掌握数学归纳法的两个步骤：1）证明当n取第一个值n0时结论正确；2）假设当n=k(kN,kn0)时结论正确，证明n=k+1时结论也正确，从而确定对nN，nn0时结论都正确。第一步是递推的“基础”，第二步是递推的“依据”，二者缺一不可。2高考对数学归纳法的考察往往是结合不完全归纳法的，重点是有关数列问题的证明和不等式的证明。例题分析：例1用数学归纳法证明等式 对所以nN均成立。证明：i)当n=1时，左式=，右式=， 左式=右式，等式成立。ii)假设当n=k(kN)时等式成立，即，则当n=k+1时， 即n=k+1时，等式也成立，由i) ii)可知，等式对nN均成立。小结：在利用归纳假设论证n=k+1等式成立时，注意分析n=k与n=k+1的两个等式的差别。n=k+1时，等式左边增加两项，右边增加一项，而且右式的首项由变为。因此在证明中，右式中的应与-合并，才能得到所证式。因而，在论证之前，把n=k+1时等式的左右两边的结构先作一分析是有效的。由例1可以看出，数学归纳法的证明过程中，要把握好两个关键之处：一是f(n)与n的关系；二是f(k)与f(k+1)的关系。例2用数学归纳法证明： .证明：i) 当n=2时，左式=， 右式=， ， ， 即n=2时，原不等式成立。ii)假设n=k(k2, kZ)时，不等式成立，即 ,则 n=k+1时， 左边= 右边=，要证左边右边，只要证 ，只要证 ， 只要证 4k2+8k+44k2+8k+3只要证 43.而上式显然成立，所以原不等式成立，即n=k+1时，左式右式。由i), ii)可知，原不等式对n2，nN均成立。小结：用数学归纳法证明不等式时，应分析f(k)与f(k+1)的两个不等式，找出证明的关键点（一般要利用不等式的传递性），然后再综合运用不等式证明的方法。如上题，关键是证明不等式。除了分析法，还可以用比较法和放缩法来解决。例3已知，求证：n1时，。证明：i) n=2时，左式=, 右式=， ， 左式右式，不等式成立，n=3时，左式=, 右式=， 左式-右式=，左式右式，不等式成立。ii)假设n=k(kN, k3)时不等式成立，即，当n=k+1时，即n=k+1时，不等式也成立。由i, ii)可知，n1, nN时，都有。小结：注意f(n)的意义，它表示连续自然数的倒数和，最后一项为。可以通过第一步验证中加强对f(n)的理解，本题中i)验证了n=2,3两个数值，正是由于此原因（当然不是必要的）。因而f(2n)的表达式应为f(2n)=1。因此在归纳法证明中，重视第一步的验证工作，许多难题的特殊情形启发我们的思路，甚至蕴含一般情形的方法。例4已知数列为其前n项和，计算得,观察上述结果，推测出计算Sn的公式，并用数学归纳法加以证明。解：推测.证明：i) 略ii) 假设n=k(kN)时等式成立，即，则 即 n=k+1时，等式成立。由i), ii) 可知，对一切nN，等式均成立。小结：这是一个探索性问题，需要观察（归纳），从而发现规律，得出结论，进而用数学归纳法。例5设an是正数组成的数列，其前n项和为Sn, 并且对于自然数n, an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项。1)写出数列an的前三项； 2) 求数列an的通项公式；3) 令， 求。解：1) 由题意， an0, nN.令n=1时， 得a1=2.令n=2时，解得a2=6.令n=3时，解得a3=10.2）由此猜想 an=4n-2 (nN).证明：i) 略ii) 假设n=k(kN).时结论成立，即ak=4k-2, 而 ， 又 ak=4k-2, Sk+1=Sk+ak+1, , , ak+1=2+4k=4(k+1)-2即n=k+1时，结论也成立。由i),ii)可知，对一切nN，an=4n-2.3) 令cn=bn-1, 由，得 从而 b1+b2+b3+bn-n=c1+c2+c3+cn = 。小结：本题考察了Sn与an之间的关系；另外在归纳假设这一步论证中，应利用去求Sk，而不是利用求和Sk=a1+a2+ak。此外，若本题没有归纳法的要求，还可用如下方法。， 可求a1=2,又 Sn+1=, an+1=Sn+1-Sn=,整理，得(an+1+an)(an+1-an-4)=0 an+1+an0, an+1-an=4(nN) an是首项为2，公差为4的等差数列，故an=4n-2.例6数列an的前n项和Sn=npan(nN)，且a1a2， 1) 求常数p的值； 2) 证明：数列an是等差数列。解：1) 令n=1, S1=1pa1, 即a1=pa1,若p=1, 则Sn=nan,令n=2， 有S2=2a2, a1+a2=2a2, a1=a2与已知矛盾！ p1，从而a1=0,再令 n=2, 在S2=2pa2