数学精英备考讲座第五讲立体几何第一节空间几何体文

第一节 空间几何体三视图和几何体的结构特征是新课标高考的必考点，.几何体的表面积和体积也是高考命题的重点和热点，几乎年年出现，大多以小题出现，难度不大，大题中也有以三视图为背景条件的求面积.体积及位置关系问题，总体难度一般控制在0.40.7之间.考试要求 （1）认识柱.锥.台.球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；（2）能画出简单空间图形（长方体，球，圆柱，圆锥，棱柱等简单组合体）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图；（3）会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；（4）会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸.线条等不作严格要求）（5）了解球.棱柱.棱锥.台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）；俯视图正(主)视图侧(左)视图2322图5-1-1题型一 三视图 例1（1）右图5-1-1，是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）ABCD 点拨 识别上述三视图表示的立体图形解 从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱体组合而成的简单几何体，其表面积为：，故选D. 易错点 对原几何体的下部分（圆柱体）的分析出错，误以为是长方体.（2）将正三棱柱截去三个角（如图5-1-2所示，分别是三边的中点）得到几何体如图5-1-3，则该几何体按所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）点拨: 底面和HGDE垂直，分析点B的位置解：在左视图中，E，D两点重合，B，C两点重合，且平面ADE与平面FDE夹角为直角，故选（A）.易错点 对于左视图中点B的位置分析不正确. 变式与引申 1.（1）一个体积为的正三棱柱的三视图如图5-1-4所示，则这个三棱柱的左视图的面积为 （ ）A B8 C D12（2）用若干个体积为1的正方体搭成一个几何体，其正视图.侧视图都是如图5-1-5所示的图形，则这个几何体的最大体积与最小体积的差是（ ）.A6 B7 C8 D9题型二 与球有关组合体prArBrCror图5-1-6例2 如图5-1-6正三棱锥的高为1，底面边长为，内有一个球与四个面都相切. 求棱锥的表面积和球的半径.点拨 解决这类题的关键是根据空间想象能力和组合体的特点画出截面图.解：如图5-1-7过PA与球心O作截面PAE与平面PCB交于PE，与平面ABC交于AE，ArErorFrDr图5-1-7pr因ABC是正三角形，易知AE即是ABC中BC边上的高，又是BC边上的中线，作为正三棱锥的高PD通过球心，且D是三角形ABC的重心，据此根据底面边长为，即可算出由POFPED，知易错点，立体几何问题转化为平面问题解决.，截面图准确画出是最关键，也是容易出错的地方.变式与引申 2如图5-1-8棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示，求图中三角形（正四面体的截面）的面积.题型三：旋转体问题 例3 一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，其中有一个高为cm的内接圆柱：（1）求圆锥的侧面积；（2）当为何值时，圆柱侧面积最大？并求出最大值. rxr图5-1-9点拨：充分利用轴截面，将立体几何问题转化为平面几何问题，然后注意平面几何的性质. 例如相似图形对应边成比例.直角三角形的勾股定理等.解： （1）母线长侧面积（2）如图5-1-9所示，在轴截面图中设圆柱底面半径为，则 （06）这时即故当时，圆柱侧面积最大，最大值为易错点： 不能建立圆柱的侧面积与的函数关系式；忽视的取值范围； 变式与引申 3. 如图5-1-10，ABC的三边之长分别是AC=3，BC=3，AB=5. 现以AB所在的直线为轴，将此三角形旋转一周如图5-1-11，求所得旋转体的表面积和体积.题型四 ：割补应用BACDEF图5-1-12例4如图5-1-12，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且AED.BCF均为正三角形，EFAB， EF=2，求该多面体的体积. 点拨：这是一个五面体，由于EF与AB不等，这个几何体不是很规则，如果我们过AD作EF直截面ADM，过BC作EF直截面GBC，则面ADM面GBC.这个五面体就分割成直三棱柱ADM-BCG和两个三棱锥：E-ADM，F-BCG.解：如图5-1-13，过BC作EF的直截面BCG，过AD作EF的直截面ADM 则面BCG面ADM，ADMBCG为直三棱柱.FBCG与EADM是体积相等的两个三棱锥，取BC中点为O，由于BCF为正三角形 易错点；“补”，“割”在解立几问题中是比较重要的思想方法，将不规则几何体怎样“补”，“割”FEABCD图5-1-14成熟悉的几何体是关键，本题如何“割”是易错处.变式与引申 4.如图5-1-14已知ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，E.F分别为棱AA1与CC1的中点，求四棱锥A1EBFD1的体积.本节主要考查 （1）知识点有识别三视图和三视图的还原.几何体的结构特征.几何体的面积和体积.（2）技能技巧：割补法.等积变换等.（3）数学思想：数形结合，转化化归的应用以及观察能力，归纳能力，空间想象能力，运算求解能力等基本数学能力.点 评 （1）三视图是立体几何的重点，也是新课标的一个重点内容，也是高考的热点，主要考察如何识别三视图和还原成直观图（如例题1）；（2）在分析三视图还原成几何体过程中，还原几何体是要注意确定三视方向分析组合体的组成形式，特点交线位置和虚实；还原数据时要注意对应：主，俯长对正；主，左高平齐；左，俯宽相等.（3）多面体的表面积是各个面的面积之和.圆柱.圆锥.圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理.（4）求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公式进行计算即可.常用方法为：割补法和等积变换法：割补法：求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱体.锥体，分别求出锥体和柱体的体积，从而得出几何体的体积；等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面.求体积时，可选择容易计算的方式来计算；利用“等积性”可求“点到面的距离”.习题51图5-1-173. 已知某几何体的俯视图是如图5-1-17所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8.高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6.高为4的等腰三角形 (1)求该儿何体的体积V； (2)求该几何体的侧面积SPBCADEF图5-1-184. 如图5-1-18所示，等腰ABC的底边，高CD=3，点E是线段BD上异于点B.D的动点，点F在BC边上，且EFAB现没EF将BEF折起到PEF的位置，使PEAE，记BE=表示四棱锥PACFE的体积.（1）求证：面PEF面ACFE；（2）求的表达式，并求当为何值时取得最大值？【答案】变式与引申：1.（1）A提示：设正三棱柱的底边长为，则，解得，又由，解得，所以三棱柱的左视图的面积为，故选A（2）A提示：由正视图、侧视图可知，体积最小时，底层有3个小正方体，上面有2个，共5个；体积最大时，底层有9个小正方体，上面有2个，共11个，故这个几何体的最大体积与最小体积的差是6.故选A.2解：如图5-1-1，ABE为题中的三角形，图5-1-1由已知得AB=2，BE=，BF=，AF=，ABE的面积为注：解决这类问题的关键是准确分析出组合体的结构特征，发挥自己的空间想象能力，把立体图和截面图对照分析，找出几何体中的数量关系.与球有关的截面问题为了增加图形的直观性，解题时常常画一个截面圆起衬托作用.BCAD图5-1-23. 解：如图5-1-2所示，所得的旋转体是两个底面重合的圆锥，高的和为AB=5，而底面半径为旋转体的表面积为体积为习题5-11B232 提示：如图5-1-4，设球一条半径与圆柱相应的母线夹角为，