浙江温州中学自主招生考试数学

浙江省温州中学2006年自主招生考试数学试卷本卷满分150分;考试时间：110分钟.一、选择题（每小题6分，共计36分）1、方程实根的个数为（ ）A、1 B、2 C、3 D、42、如图1，在以为圆心的两个同心圆中，为大圆上任意一点，过作小圆的割线，若，则图中圆环的面积为（ ）A、 B、 C、 D、 图 3、已知且，那么，的大小关系是（ ）A、 B、C、 D、4、设是不等于零的有理数，是无理数，则下列四个数，中必为无理数的有（ ）A、0个 B、1 个 C、2个 D、3个5、甲，乙，丙，丁，戊与小强六位同学参加乒乓球比赛，每两人都要比赛一场，到现在为止，甲已经赛了场，乙已经赛了场，丙已经赛了场，丁已经赛了场，戊已经赛了场，小强已经赛了（ ）A、场 B、场 C、场 D、场6、将自然数1至6分别写在一个正方体的6个面上,然后把任意相邻两个面上的数之和写在这两个面的公共棱上则在这个正方体中所有棱上不同数的个数的最小值和最大值分别是（ ）A、7，9 B、6，9 C、7，10 D、6，10二、填空题：（共6小题，每题6分，共36分）7、设，为函数图象上的两点，且，则实数的取值范围是 8、已知是一个三位数，且，则 9、已知，则实数的取值范围是 10、如图2，O外接于边长为2的正方形，为弧AD上一点，且，则 图11、如图3所示，有一电路连着三个开关，每个开关闭合的可能性均为，若不考虑元件的故障因素，则电灯点亮的可能性为 图12、如图4所示，已知中，分别是三边上的点，则的最小值为 图三、解答题（共5题，共78分）13、（本题满分15分,共2小题）已知四个互不相等的实数，其中，. 请列举，从小到大排列的所有可能情况.已知为实数，函数与轴交于，两点，函数与轴交于，两点.若这四个交点从左到右依次标为,且，求的值.14、（本题满分15分,共2小题）如图5所示，,梯形的面积是180， 是的中点，是边上的点,且,分别交于设,是整数. 若，求的面积. 若的面积为整数，求的值. 图515、（本题满分15分, 共2小题）个数围成一圈，每次操作把其中某一个数换成这个数依次加上相邻的两个数后所得的和，或者换成这个数依次减去与它相邻的两个数后所得的差.例如： 能否通过若干次操作完成图6-1中的变换？请说明理由.图6-1 能否通过若干次操作完成图6-2中的变换？ 请说明理由.图6-2 能否通过若干次操作完成图6-3中的变换？ 请说明理由. 图6-316、（本题满分15分）如图所示，在中，已知是边上的点，为的外接圆圆心，的外接圆与的外接圆相交于，两点.求证：.图717、（本题满分18分,共3小题）已知方程. 若，求方程的根. 找出一组正整数，,使得方程的三个根均为整数. 证明:只有一组正整数，,使得方程的三个根均为整数.参考答案一、 选择题（每小题6分，共计36分）题号123456答案BCDBCA二、 填空题（每小题6分，共36分）7、 8、 432 9、 10、 11、 12、 三、解答题（共5题，共78分）13、（本题满分15分,共2小题）已知四个互不相等的实数，其中，. 请列举，从小到大排列的所有可能情况.已知为实数，函数与轴交于，两点，函数与轴交于，两点.若这四个交点从左到右依次标为,且，求的值.解：，,（6分）上述6种情况中第3，6种情况不可能出现。否则，两个函数的对称轴相同，则，从而，这与题意不符。（9分）在其他4种情况中，都有（12分）因此有，即（舍去），经检验满足题意（15分）14、（本题满分15分,共2小题）如图5所示，,梯形的面积是180， 是的中点，是边上的点,且,分别交于设,是整数. 若，求的面积. 若的面积为整数，求的值.解：，是的中点，为中点，又 是的中点，故为 图5的重心，因此（3分） 所以有,（6分） 作交于，则.（9分）（12分）即为整数，所以，因为,所以2，3或6经验证，3或6，即2或5. （15分）15、（本题满分15分, 共2小题）个数围成一圈，每次操作把其中某一个数换成这个数依次加上相邻的两个数后所得的和，或者换成这个数依次减去与它相邻的两个数后所得的差.例如： 能否通过若干次操作完成图6-1中的变换？请说明理由.图6-1 能否通过若干次操作完成图6-2中的变换？ 请说明理由.图6-2 能否通过若干次操作完成图6-3中的变换？ 请说明理由. 图6-3解：(6分)不能.,因此不管如何操作,变换后的4个数仍然除4余2.不可能出现0. (12分)不能如果个奇数个偶数的圈能变出个奇数，由于这个操作的过程是可逆的，则个奇数的圈通过有限次操作后能变成个奇数个偶数但不管如何操作，个奇数的圈变换后仍然是个奇数故要求的变换不能实现(18分)16、（本题满分15分）如图所示，在中，已知是边上的点，为的外接圆圆心，的外接圆与的外接圆相交于，两点.求证：.图7证明：如图，在上取点，连接，则因为，共圆，共圆，因此(6分)因为，所以，所以(12分)所以所以(15分)17、（本题满分18分,共3小题）已知方程. 若，求方程的根. 找出一组正整数，,使得方程的三个根均为整数. 证明:只有一组正整数，,使得方程的三个根均为整数.解：若，则方程化为，即.所以（分）方程化为（分）设方程的两个解为则当时，方程的三个根均为整数.（分）设（其中为整数）所以，即，不妨设